高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入

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解
析
：
利
用
复
数
的
运
算
性
质
，
2＋bi3 1＋2i
＝
21＋＋b2ii311－－22ii＝2－2b－5 4＋bi，该复数对应的点为
(2－52b，－4＋5 b)，所以2－52b－4＋5 b＝0，可得 b＝－23.
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【例 1】 已知 m∈R，复数 z＝mmm－＋12＋(m2＋ 2m－3)i，当 m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是虚数？ (3)z 是纯虚数？
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热点 提示
1.从近几年的高考试题看，复数的概念及其代 数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题 型，即选择题和填空题．一是考查复数的概念 ，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形 式的加、减、乘、除四则运算等基础知识． 2．预测2011年高考命题仍会以考查复数的概 念，包括以实部与虚部、虚数与纯虚数以及复 数的代数形式的运算为重点进行命题.
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此题是基础题，用到了复数的分类．在对复数进行分 类时要注意，使得虚部和实部均有意义，如当z为实数时， 应有虚部b＝0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时，应 有虚部b≠0，还要保证实部a有意义；当z为纯虚数时，应 有实部a＝0，还要保证虚部b≠0，否则容易发生错误，在 做题时要特别小心.
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解析：z＝zz12＝12－i i＝－22＋2i＝－1＋i，共轭复数 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
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3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝
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变式迁移 2 已知1＋m i＝1－ni，其中 m、n 是实
数，i 是虚数单位，则 m＋ni＝
A．1＋2i B．1－2i
()
C．2＋i D．2－i
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解析：直接推算或对四个选项中的 m，n 值逐一代 入条件检验．
由1＋m i＝1－ni，得m2 －m2 i＝1－ni， 则m2 ＝1 且－m2 ＝－n，故 m＝2，n＝1.∴选 C.
答案：C
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1.理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 考纲 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 要求 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意 义．
(2)原式＝i11＋＋22 33ii＋1－2i21005
＝i＋(－22i)1005＝i＋i1005
＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
＝1＋2 i26＋
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
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任意两复数能比较大小吗？ 提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较 大小.
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【例2】 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4 －6i，求x，y.
思路分析：设x＝a＋bi，y＝a－bi(a，b∈R)，根据复 数相等的条件求解．
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答案：B
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4．若复数21＋＋b2ii3(b∈R)在复平面上对应的点恰好 在直线 x＋y＝0 上，则 b 的值为________．
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变式迁移 1 当实数 m 为何值时，z＝m2m－＋m3＋6 ＋(m2＋5m＋6)i
(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数？
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解：设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi， x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， 根据复数相等得4－a23＝a42＋b2＝－6 ， 解得ab＝ ＝11 或ab＝ ＝1－1 或ab＝ ＝1－1 或ab＝ ＝－ －11 .
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解：(1)要使 z 是实数，m 须满足： m2＋2m－3＝0 且mmm－＋12有意义，解得 m＝－3. ∴当 m＝－3 时，复数 z 为实数． (2)要使 z 是虚数，m 须满足：m2＋2m－3≠0， 且mmm－＋12有意义，解得 m≠1 且 m≠－3. ∴当 m∈R 且 m≠1，－3 时，z 为虚数．
3．设复数 z＝11－ ＋ii＋(1＋i)2，则(1＋z)7 展开式的第
五项是
A．－21 C．－21i
B．35 D．－35i
()
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解析：由 z＝11－＋ii＋(1＋i)2 得 z＝i，则 T5＝T4＋1 ＝C47z4＝35×i4＝35，故选 B.
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解：(1)若 z 为实数，则mm2＋＋35≠m0＋，6＝0， 解得 m＝－2， (2)若 z 为虚数，则 m2＋5m＋6≠0 且 m＋3≠0，
解得 m≠－2 且 m≠－3.
m2＋5m＋6≠0， (3)若 z 为纯虚数，则m2m－＋m3－6＝0，
解得 m＝3.
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1．复数(1＋1i )3＋(1－1i )3 等于
A．0 C．4
B．1 D．－4
()
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解析：(1＋1i )3＋(1－1i )3＝(1－i)3＋(1＋i)3＝－2i(1 －i)＋2i(1＋i)＝2i·2i＝－4.
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解：(1)原式＝1－
161＋i4 3i41－
3i
＝－2－21632ii221－
3i＝41＋
－64 3i21－
3i
＝1＋－31i6×4＝1＋－43i＝－1＋ 3i.
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(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mmm－＋12＝0 且 m2＋2m－3≠0. 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
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建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴．实轴上的点
都表示；实除数原点外，虚轴上的点都表示
纯；虚各数象 限
内的点都表示
．非纯虚数
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答案：D
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2．若复数z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则复数z＝
复数所对应的点位于复平面的
(
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
的共轭 )
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(ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
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(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
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(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d(a ， b ， c ，
d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a ，
b，c，d∈R)．
(4)复平面
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解法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
3ii 3i
＝－1＋i.
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【例 3】 计算：(1)12－＋23ii45；
(2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2010；
(3)(11＋ －ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i.
思路分析：主要是应用复数的加、减、乘、除的运算 法则及其运算技巧．
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5．设i为虚数单位，那么1＋i＋i2＋…＋i10＝________. 解析：1＋i＋i2＋…＋i10＝[1＋i＋(－1)＋(－i)]＋[1＋i ＋(－1)＋(－i)]＋(1＋i－1)＝0＋0＋i＝i. 答案：i
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1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是 它的 实部和虚部 ．若 b＝0 ， 则 a ＋ bi 为 实 数 ， 若 b≠0 ，则a＋bi为虚数，若 a＝0且b≠0 ，则a＋bi 为纯虚数．
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故所求复数为xy＝＝11＋－ii 或xy＝＝11－＋ii 或xy＝＝－－11＋－ii 或xy＝＝－－11－＋ii .
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解这类题的关键是将复数设成z＝a＋bi(a，b∈R)的代 数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向实数问题的 转化，使问题得以解决.