40 动态几何之直角三角形存在性问题(压轴题)-决胜中考数学压轴题全揭秘精品

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一、选择题
1. (2021年新疆区、兵团5分)如图,Rt△ABC中,∠AC B =90° ,∠ABC =60° ,BC =2cm ,D为BC的中点,假设动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6 ) ,连接DE ,当△BDE是直角三角形时,t的值为【】
A、2
B、或
C、或
D、2或或
二、填空题
三、解答题
1. (2021年福建漳州14分 )抛物线l ：y =ax 2 +bx +c (a ,b ,c 均不为0 )的顶点为M ,与y 轴的交点为N ,我们称以N 为顶点 ,对称轴是y 轴且过点M 的抛物线为抛物线l 的衍生抛物线 ,直线MN 为抛物线l 的衍生直线． (1 )如图 ,抛物线y =x 2﹣2x ﹣3的衍生抛物线的解析式是 ▲ ,衍生直线的解析式是 ▲ ； (2 )假设一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y =﹣2x 2 +1和y =﹣2x +1 ,求这条抛物线的解析式； (3 )如图 ,设 (1 )中的抛物线y =x 2﹣2x ﹣3的顶点为M ,与y 轴交点为N ,将它的衍生直线MN 先绕点N 旋转到与x 轴平行 ,再沿y 轴向上平移1个单位得直线n ,P 是直线n 上的动点 ,是否存在点P ,使△POM 为直角三角形 ?假设存在 ,求出所有点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．
2. (2021年广东省9分 )如图 ,在△ABC 中 ,AB =AC ,AD ⊥AB 点D ,BC =10cm ,AD =8cm ,点P 从点B 出发 ,在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动 ,与此同时 ,垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发 ,以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移 ,分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ,当点P 到达点C 时 ,点P 与直线m 同时停止运动 ,设运动时间为t 秒 (t ＞0 ).
(1 )当t =2时 ,连接DE 、DF ,求证：四边形AEDF 为菱形；
(2 )在整个运动过程中 ,所形成的△PEF 的面积存在最|大值 ,当△PEF 的面积最|大时 ,求线段BP 的长； (3 )是否存在某一时刻t ,使△PEF 为直角三角形 ?假设存在 ,请求出此时刻t 的值 ,假设不存在 ,请说明理由.
3. ( 2021年广西河池12分 )如图 (1 ) ,在平面直角坐标系xOy 中 ,抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴交于()()A 1,0,B 3,0- ,与y 轴交于C(0 ,3) ,顶点为D(1,4) ,对称轴为DE.
(1 )抛物线的解析式是▲ ；
(2 )如图(2 ) ,点P是AD上的一个动点,P'是P关于DE的对称点,连结PE ,过P'作P'F∥PE交x轴于F. 设
EPP'F y,E
S F x
==
四边形
,求y关于x的函数关系式,并求y的最|大值；
(3 )在(1 )中的抛物线上是否存在点Q ,使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形?假设存在,求出Q的坐标；假设不存在,请说明理由.
4. (2021年广西来宾12分)如图,抛物线y =ax2 +bx +2与x轴交于点A (1 ,0 )和B (4 ,0 )．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )假设抛物线的对称轴交x轴于点E ,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C ,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标；
(3 )在(2 )的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△OCP是直角三角形?假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由．
5. (2021年湖北襄阳12分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,矩形OCDE 的三个顶点分别是C (3 ,0 ) ,D (3 ,4 ) ,E (0 ,4 )．点A 在DE 上 ,以A 为顶点的抛物线过点C ,且对称轴x =1交x 轴于点B ．连接EC ,AC ．点P ,Q 为动点 ,设运动时间为t 秒．
(1 )填空：点A 坐标为 ▲ ；抛物线的解析式为 ▲ ．
(2 )在图1中 ,假设点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位/秒的速度运动 ,同时 ,点Q 在线段CE 上从点C 向点E 以2个单位/秒的速度运动 ,当一个点到达终点时 ,另一个点随之停止运动．当t 为何值时 ,△PCQ 为直角三角形 ?
(3 )在图2中 ,假设点P 在对称轴上从点A 开始向点B 以1个单位/秒的速度运动 ,过点P 做PF ⊥AB ,交AC 于点F ,过点F 作FG ⊥AD 于点G ,交抛物线于点Q ,连接AQ ,CQ ．当t 为何值时 ,△ACQ 的面积最|大 ?最|大值是多少 ?
6. (2021年江苏常州9分 )在平面直角坐标系xOy 中 ,二次函数213y x x 222=-++的图像与x 轴交于点A ,B (点B 在点A 的左侧 ) ,与y 轴交于点C ,过动点H (0, m )作平行于x 轴的直线 ,直线与二次函数
213y x x 222
=-++的图像相交于点D ,E. (1 )写出点A,点B 的坐标；
(2 )假设m >0 ,以DE 为直径作⊙Q ,当⊙Q 与x 轴相切时 ,求m 的值；
(3 )直线上是否存在一点F ,使得△ACF 是等腰直角三角形 ?假设存在 ,求m 的值；假设不存在 ,请说明理
由.
7. (2021年江苏苏州10分 )如图 ,二次函数22y a x 2()mx 3m =-- (其中a ,m 是常数 ,且a>0 ,m>0 )的图象与x 轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧 ) ,与y 轴交于点C(0 ,－3) ,点D 在二次函数的图象上 ,CD ∥AB ,连接AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ,AB 平分∠DAE ．
(1 )用含m 的代数式表示a ；
(2 ))求证：AD AE
为定值； (3 )设该二次函数图象的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ,连接CF ,以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形 ?如果存在 ,只要找出一个满足要求的点G 即可 ,并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在 ,请说明理由．
8. (2021年山东德州12分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,点A 的坐标是 (4 ,0 ) ,并且OA =OC =4OB ,动点P 在过A ,B ,C 三点的抛物线上．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )是否存在点P ,使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形 ?假设存在 ,求出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在 ,说明理由；
(3 )过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ,交直线AC 于点D ,过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ,连接EF ,当线段EF 的长度最|短时 ,求出点P 的坐标．
9. (2021年山东东营12分)如图,直线y =2x +2与x轴交于点A ,与y轴交于点B ,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C ,过点B的抛物线y =﹣x2 +bx +c与直线BC交于点D (3 ,﹣4 )．
(1 )求直线BD和抛物线的解析式；
(2 )在第|一象限内的抛物线上,是否存在点M ,作MN垂直于x轴,垂足为点N ,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?假设存在,求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由；
(3 )在直线BD上方的抛物线上有一动点P ,过点P作PH垂直于x轴,交直线BD于点H ,当四边形BOHP 是平行四边形时,试求动点P的坐标．
10. (2021年山东临沂13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A (﹣1 ,0 )和点B (1 ,0 ) ,直线y =2x﹣1与y轴交于点C ,与抛物线交于点C、D．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )求点A到直线CD的距离；
(3 )平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q ,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标．
11. (2021年四川内江12分)如图,抛物线y =ax2 +bx +c经过A (﹣3 ,0 )、C (0 ,4 ) ,点B在抛物线上,CB∥x 轴,且AB平分∠CAO．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )线段AB上有一动点P ,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q ,求线段PQ的最|大值；
(3 )抛物线的对称轴上是否存在点M ,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标；如果不存在,说明理由．
12．(2021年四川南充10分)如图,抛物线y =x2 +bx +c与直线y =x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3 ,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m ,过点P作PC⊥x轴于C ,交直线AB 于D．
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )当m为何值时,S四边形OBDC =2S△BPD；
(3 )是否存在点P ,使△PAD是直角三角形?假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,说明理由．
13. (2021年湖北襄阳13分)如图,抛物线y =ax2 +bx +c与x轴的一个交点A的坐标为(﹣1 ,0 ) ,对称轴为直线x =﹣2．
(1 )求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
(2 )点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点．以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标；
(3 )点P是(2 )中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P 运动的时间为t秒．
①当t为▲ 秒时,△PAD的周长最|小?当t为▲ 秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形? (结果保存根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P ,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由．
14. (2021年浙江宁波14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0 ,4 ) ,点B的坐标为(4 ,0 ) ,点C的坐标为(﹣4 ,0 ) ,点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D ,连结BD．过P ,D ,B 三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E ,延长DQ交⊙Q于点F ,连结EF ,BF．
(1 )求直线AB的函数解析式；
(2 )当点P在线段AB (不包括A ,B两点)上时．
①求证：∠BDE =∠ADP；
②设DE =x ,DF =y ．请求出y 关于x 的函数解析式；
(3 )请你探究：点P 在运动过程中 ,是否存在以B ,D ,F 为顶点的直角三角形 ,满足两条直角边之比为2：1 ?如果存在 ,求出此时点P 的坐标：如果不存在 ,请说明理由．
15. (2021年浙江湖州12分 )如图① ,O 为坐标原点 ,点B 在x 轴的正半轴上 ,四边形OACB 是平行四边形 ,sin ∠AOB =45 ,反比例函数k y x
= (k ＞0 )在第|一象限内的图象经过点A ,与BC 交于点F ． (1 )假设OA =10 ,求反比例函数解析式；
(2 )假设点F 为BC 的中点 ,且△AOF 的面积S =12 ,求OA 的长和点C 的坐标；
16. (2021年山西省14分 )综合与探究：如图,抛物线213y x x 442
=--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中|心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为 (m ,0 ) ,过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q .
(1 )求点A,B,C 的坐标 .
(2 )当点P 在线段OB 上运动时 ,直线l 分别交BD ,BC 于点M,N .试探究m 为何值时 ,四边形CQMD 是平行四边形 ,此时 ,请判断四边形CQBM 的形状 ,并说明理由 .
(3 )当点P 在线段EB 上运动时 ,是否存在点 Q ,使△BDQ 为直角三角形 ,假设存在 ,请直接写出点Q 的坐标；假设不存在 ,请说明理由 .
17. (2021年辽宁大连12分 )如图 ,抛物线2424y x x 455
=-+-与x 轴相交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点 (点P 、M 、C 不在同一条直线上 )．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线 ,垂足分别为D 、E ,连接点MD 、ME ．
(1 )求点A ,B 的坐标 (直接写出结果 ) ,并证明△MDE 是等腰三角形；
(2 )△MDE 能否为等腰直角三角形 ?假设能 ,求此时点P 的坐标；假设不能 ,说明理由；
(3 )假设将 "P 是抛物线在x 轴上方的一个动点 (点P 、M 、C 不在同一条直线上 )〞改为 "P 是抛物线在x 轴下方的一个动点〞 ,其他条件不变 ,△MDE 能否为等腰直角三角形 ?假设能 ,求此时点P 的坐标 (直接写出结果 )；假设不能 ,说明理由．
18. (2021年辽宁抚顺14分 )如图1 ,直线y =x +3与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,抛物线y =﹣x 2 +bx +c 经过A 、B 两点 ,与x 轴交于另一个点C ,对称轴与直线AB 交于点E ,抛物线顶点为D ．
(1 )求抛物线的解析式；
(3 )点P 从点D 出发 ,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动 ,设运动的时间为t 秒 ,当t 为何值时 ,以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 ?直接写出所有符合条件的t 值．
19. (2021年湖北黄冈15分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是梯形,其中A (6 ,0 ) ,B (3 ,3) ,C (1 ,3) ,动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动,动点Q也同时从点B沿B→ C→O 的线路以每秒1个单位的速度向点O运动,当点P到达A点时,点Q也随之停止,设点P、Q运动的时间为t (秒).
(1 )求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2 )当点Q在CO边上运动时,求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
(3 )以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗?假设能,请求出t的值,假设不能,请说明理由；
(4 )经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗?假设能,请求出此时t的值(或范围) ,假设不能,请说明理由.
20. (2021年四川眉山11分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB =OC =3 ,OA =OD =1 ,抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M．
(1 )求这条抛物线的解析式；
(2 )P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P ,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?假设存在,请求出所有点P的坐标；假设不存在,请说明理由．
(3 )请直接写出将该抛物线沿射线AD2
21. (2021年辽宁铁岭14分 )如图 ,抛物线2y ax bx 4=++的对称轴是直线x =32
,与x 轴交于点A 、B 两点 ,与y 轴交于点C ,并且点A 的坐标为 ( -1 ,0 ).
(1 )求抛物线的解析式；
(2 )过点C 作CD//x 轴交抛物线于点D ,连接AD 交y 轴于点E ,连接AC ,设△AEC 的面积为S 1, △DEC 的面积为S 2 ,求S 1：S 2的值；
22. (2021重庆市12分 )：如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,∠B =90° ,AD =2 ,BC =6 ,AB =3．E 为BC 边上一点 ,以BE 为边作正方形BEFG ,使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．
(1 )当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时 ,求BE 的长；
(2 )将 (1 )问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移 ,记平移中的正方形BEFC 为正方形B′EFG ,当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ,正方形B′EFG 的边EF 与AC 交于点M ,连接B′D ,B′M ,DM ,是否存在这样的t ,使△B′DM 是直角三角形 ?假设存在 ,求出t 的值；假设不存在 ,请说明理由；
(3 )在 (2 )问的平移过程中 ,设正方形B′EFG 与△ADC 重叠局部的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．
23. (2021海南省13分 )如图 ,顶点为P (4 ,－4 )的二次函数图象经过原点 (0 ,0 ) ,点A 在该图象上 ,
OA 交其对称轴l 于点M ,点M 、N 关于点P 对称 ,连接AN 、ON
(1 )求该二次函数的关系式.
(2 )假设点A 的坐标是 (6 ,－3 ) ,求△ANO 的面积.
(3 )当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动 ,请解答以下问题：
①证明：∠ANM =∠ONM
②△ANO 能否为直角三角形 ?如果能 ,请求出所有符合条件的点A 的坐标 ,如果不能 ,请说明理由.
24. (2021辽宁阜新12分 )在平面直角坐标系中 ,二次函数2y ax bx 2=++的图象与x 轴交于A (－3 ,0 ) ,B (1 ,0 )两点 ,与y 轴交于点C ．
(1 )求这个二次函数的关系解析式；
(2 )点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点 ,是否存在点P ,使△ACP 的面积最|大 ?假设存在 ,求出点P 的坐标；假设不存在 ,说明理由；
考生注意：下面的 (3 )、 (4 )、 (5 )题为三选一的选做题 ,即只能选做其中一个题目 ,多答时只按作答的首|题评分 ,切记啊 !
(3 )在平面直角坐标系中 ,是否存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形 ?假设存在 ,直接写出点Q 的坐标；假设不存在 ,说明理由；
(4 )点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点 ,过点Q 作QE 垂直于x 轴 ,垂足为E ．是否存在点Q ,使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似 ?假设存在 ,直接写出点Q 的坐标；假设不存在 ,说明理由；
(5 )点M 为抛物线上一动点 ,在x 轴上是否存在点Q ,使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ?假设存在 ,直接写出点Q 的坐标；假设不存在 ,说明理由．
25. (2021贵州黔南12分 )如图 ,对称轴为ｘ =3的抛物线2
y ax 2x =+与ｘ轴相交于点B 、O .
(1 )求抛物线的解析式 ,并求出顶点A 的坐标；
(2 )连结AB ,把AB 所在的直线平移 ,使它经过原点O ,得到直线ｌ .点P 是ｌ上一动点 .设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形面积为S ,点P 的横坐标为ｔ ,当0＜S≤18时 ,求ｔ的取值范围；
(3 )在 (2 )的条件下 ,当ｔ取最|大值时 ,抛物线上是否存在点Q ,使△OPQ 为直角三角形且OP 为直角边 .假设存在 ,直接写岀点Q 的坐标；假设不存在 ,说明理由 . (平面几何有个结论：如果两直线垂直 ,那么它们的斜率的乘积为－1 ,坐标轴所在直线除外 )
(1 )求证：△BDC ≌△COA ；
(2 )求BC 所在直线的函数关系式； (3 )抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形 ?假设存在 ,求出所有点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．
27. (2021广西河池12分 )如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =AC ,以底边BC 的垂直平分线和BC 所在的直线建立平面直角坐标系 ,抛物线217y
x x 422经过A 、B 两点.
(1 )写出点A 、点B 的坐标；
(2 )假设一条与y 轴重合的直线l 以每秒2个单位长度的速度向右平移 ,分别交线段OA 、CA 和抛物线于点E 、M 和点P ,连结PA 、PB.设直线l 移动的时间为t (0＜t ＜4 )秒 ,求四边形PBCA 的面积S (面积单位 )与t (秒 )的函数关系式 ,并求出四边形PBCA 的最|大面积；
(3 )在 (2 )的条件下 ,抛物线上是否存在一点P ,使得△PAM 是直角三角形 ?假设存在 ,请求出点P 的坐标；
假设不存在 ,请说明理由.
28. (2021云南省9分 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,直线1y x 23=-
+交x 轴于点P ,交y 轴于点A ．抛物线21y x bx c 2
=-++的图象过点E (－1 ,0 ) ,并与直线相交于A 、B 两点． (1 )求抛物线的解析式 (关系式 )；
(2 )过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ,求点C 的坐标；
(3 )除点C 外 ,在坐标轴上是否存在点M ,使得△MAB 是直角三角形 ?假设存在 ,请求出点M 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．。