2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习十一余弦定理95

(25分钟• 50分)
、选择题（每小题4分，共16分）
3
检测)在厶 ABC 中，如果 BC=6 AB=4, cos B='，贝U AC=(
3
【解析】 选 A.由余弦定理可得 AC=A B+B C-2AB • BCcos B=42+62-2X 4X 6X ' =36,
2
C.2
D.3
【加练•固】
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
基础练
课时素养评价十
余弦定理
A.6
B.2
C.3
1.(2019 •嘉兴高
所以AC=6.
2. △ ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c.已知
5
3
a=l , c=2, cos A='，贝U
b=
选D.由余弦定理，得 5=b 2+22-2X b x 2X ' ,
.. 2 2 2 3.在厶 ABC 中，若 a<b<c ,且 c <a +b ，则△ ABC 为( 【解
析】
解得b=3
1
盲舍去
A. 直角三角形
B. 锐角三角
形 C.钝角三角形
D.不存在
【解析】选B.因为
c 2<a 2+b 2，所以/ C 为锐角.
因为a<b<c ，所以/ C 为最大角，所以△ ABC 为锐角三角形.
在厶ABC 中，A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若 2ab
>0, 则厶ABC( )
<0,即cos C<0，所以△ ABC 为钝角三角形
4.
若 a , b , c 为
^ ABC 的三边，B=120°，贝U a 2+c 2+ac-b 2 的值 （ ）
A.大于0
B.小于0
C.
等于0 D.不确定
=cos 120°= - ^，所以 a 2+c 2-b 2=-ac , 所以 a 2+c 2+ac-b 2=-ac+ac=0.
、填空题（每小题4分，共8分）
5. 在厶ABC 中,角A, B , C 所对的边分别为 a, b , c.若a=\ ' , b=2, A=60° ,则c=
2 2 2
【解析】由余弦定理得a =b +c -2bccos A , 所以7=4+c 2-2c ，解得c=3（负值舍去） 答案：3
6. △ ABC 内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 2ccos B=2a+b ，则/ C= _____________
【解析】因为2ccos B=2a+b ,
疋 +C l -b
整理得 a 2+b 2-c 2=-ab ,
a 2 +
b 2 -
c 2 1
又因为0° <C<180，所以 C=120 . 答案：120°
三、解答题（共26分）
7.
（12 分）在厶 ABC 中，A+C=2B a+c=8, ac=15，求 b.
【解析】在厶ABC 中，
a 2 + h 2_c
【解析】选C .由题意知
【解析】选C .由题意知,
1
cos B=
2ac
所以由余弦定理得 2c x
因为A+C=2B A+B+C=180 ,所以B=60° .由余弦定理，
2 2 2 2 2
得b =a+c-2accosB=(a+c) -2ac-2accosB=8 -2X 15- 2X 15X =19.
所以b=\ .
2.3
8. (14 分)在厶ABC中，BC=a AC=b 且a, b 是方程x-2 I ' x+2=0 的两根，2cos(A+B)=1 ,
(1)求角C的度数.
⑵求AB的长.
【解析】(1)因为cos C=cos[ n -(A+B)] =-cos(A+B)
1271
2可
=广，且C€ (0 , n )，所以C= ' .
⑵因为a, b是方程x2-2 l '.+2=0的两根,
/ a + b= 2 y 3
: ab = 2
所以
所以AB2=b2+a2-2abcos 120°
2
=(a+b) -ab=10 ,
能力练
/TO
所以AB仝.
(15分钟• 30分)
1.(4 分)(2018 •全国卷n )在厶ABC中, cos 2= 5
,BC=1, AC=5 贝U AB=
【解析】选A.cos C=2cos2「1=2「"
-仁-'，在△ ABC中，由余弦定理得
C.2
Ah心+C丘2CA • CB- cos C ,
所以 AB=4\ 一.
2.
(4分)△ ABC 的内角A , B, C 所对边的长分别为 a , b , c ,设向量p=(a+c , b) , q=(b-a , c-a),
若p // q ，则C 的大小为
( )
n n
A 肓
u 2n 2 -3 C. J D.
【解析】选B.因为p=(a+c , b), q=(b-a , c-a) , p / q , 所以(a+c)(c_a)_b(b_a)=O
2 2 2
目卩 a +b -c
=ab.
a 1 +
b 2 -
c L ab 1
由余弦定理，得
c 2ab 2ab 2
cos C=
=
=,
n
3
因为0<C<n ，所以C=.
H
3
3.
(4分)三角形一边长为14,它的对角为 '，另外两边之比为 8 : 5,则此三角形的面积为 _______ .
【解析】设此三角形未知的两边之长为
8k , 5k(k>0)，结合已知条件，由余弦定理得
n
222
3
14 =(8k) +(5k) -2X 8k x 5kcos ,
解得k=2,
所以该三角形三边长分别为
14, 16, 10,
n
3
长度为16的边上的咼为 10X sin ,
1 7T
2
頁
3
所以此三角形的面积为
16X 10X Sin =4^
.
所以 AB=1+25-2X 1X 5X
=32,
14
所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B= 培优练
2 11 “
14 IT
X + X
3v3
答案：40「；
3
4. (4分)在厶ABC中，角A,B, C的对边分别为a, b, c.若
(a2+c2-b 2)tan B= ' ac,则角B的
度数为__________ .匚|
【解析】由余弦定理，得2accos B - tan B= ' ac,整理，得sin B=」，所以B=60°或120°
答案：60°或120°
1
2
5. （14 分）（2019 •北京高考）在厶ABC中，a=3, b-c=2 , cos B=- .
⑴求b, c的值.
⑵求sin（B+C）的值.
【解析】（1）由已知及余弦定理,
c2 + a2 _ b L 9 +(C + b)(c -巧
9 _ 2[c十b) 1
6c =2
即9-2b+c=0 , 又b-c=2 ,
所以b=7, c=5.
⑵由（1）及余弦定理，
a2 + M _ 3
2 2
又sin C+cos C=1, 0<C<n ,
14 ~T
所以sin C= ，同理sin B= ,
cos B=
6c
cos C=
2ab 2x3x7 14
A.(1 , I ；')
B.( J 门,5)
TT
.IT
C.( l l ' )
D.(1 , I ' ) U (\
- , 5)
22 + 32 一幺
【解析】 选D.(1)若x>3，则x 对角的余弦值 亠 '二入-<0且2+3>x ,解得\ '门<x<5.
2n 參 7 X 7 X Y
⑵ 若x<3，则3对角的余弦值」
-
'<0
s
且 x+2>3，解得 1<x<l .
TT
yY?
故x 的取值范围是(1 , \ ' ) U (\ ' , 5).
【加练•固】
如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度确定
【解析】选A.设直角三角形三边为 a , b ，c ,且a 2+b 2=c 2.
则(a+x) 2+(b+x) 2-(c+x)
2
=2(a+b-c)x+x >0.
设最大边(c+x)所对的角为0，则
(Q + X$ + (b + £)2 - (C + 科
cos
所以0为锐角，故三角形的形状为锐角三角形
=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x >0,
2
a ,
b ,
c , 且 a -(b-c)
2.在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为
C
BC边上的中线AM的长为
sin Asin B=cos (1)求角A和角B的大小.
⑵求厶ABC的周长.
2 2 * i'
【解析】⑴由a -(b-c) =(2- I )bc ,
得a2-b2-c2=-'"
bc
14
在厶 ABC 中 c 2=a 2+b 2-2abcos C
2n
2 2
丁
=2 +2 -2X 2X 2X cos
=12,
所以c=2\【所以△ ABC 的周长为4+2、1
所以cos A= b 2 + c 2 -伉气话
2bc
又0<A<n ，所以A=1 C 1
1 + cosC
由 sin Asin B=cos '，得'sin
B= 即 sin B=1+cos C ，贝U cos C<0 , 即C 为钝角. 5JT
所以B 为锐角，且 I 则sin
B+C 」', 化简得cos 2n
=1+cos C , c + J
=-1,
71 解得c= J , z. 所以B=. ⑵由⑴知, a=b ,在厶 ACM 中, b 2 b l
由余弦定理得 \2J
AM=b 2+
-2b •
-cos C=b 2+ 丨 + _ =（ \ "） 2
,解得b=2,所以a=2.。