北京市宣武区第一学期期末质量检测高三(数学文)

高三数学（文）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1. 设全集为R ，若集合}{R
x x x M ∈≥=,1|，},50|{R x x x N ∈<≤=，则
)(M c N R ⋂等于 （ ）
A. { x
x ≥5}
B. {x
0≤x ＜1}
C. {x
x>5}
D. {x
1≤x ≤5}
2.在△ABC 中，“∠A 为锐角”是“cosA>0”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=)0(12≥+x x 的反函数是 （ ） A.21
1)(x x f -=-（1≥x ）
B. 1)(21
-=-x x f
（0≥x ）
C.21
1)(x x f
-=-（0≥x ） D. 1)(21-=-x x f （1≥x ）
4.已知等差数列{n a }中，,1,16497==+a a a 则12a 的值为 （ ） A. 15 B.30 C.31 D. 64
5. 关于直线a,b,c,以及平面M,N ，给出下列命题：
（1）若a ∥M, b ∥M ,则a ∥b; （2）若a ∥M, b ⊥M, 则a ⊥b; （3）若a ∥b, b ∥M, 则a ∥M; （4）若a ⊥M, a ∥N, 则M ⊥N.
其中正确命题的个数为 （ ） A .0 B. 1 C.2 D.3 6. 函数x y a log =的定义域为[2，π]，若它的最大值比最小值大1，则底数a 的值是 （ ） A.
2π B. π2 C. 2π ，π
2
D.以上都不对
7. ΔABC 中，c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边，且,3,02)cos(32cos ==+++b C A B 则b ：B sin 的值是 ( ) A. 3：1 B. 3 ：1 C. 2：1 D. 2 ：1
8.
如
图
，
在
直
三
棱
柱
A 1
B 1
C 1-ABC
中,2
π
=
∠BAC ,AB=AC=A 1A=1,已知G 与E 分别是棱A 1B 1
和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）。

若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围是
（ ）
A.[
5
1，1) B. [
5
1
,2)
C. [1, 2)
D. [
5
1，2)
第II 卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9. . 设函数,)
0(log )0(2)(⎩⎨⎧>≤=x x x x f x 则)]21
([f f =_________.
10. 6
)21(x -的展开式中，2
x 的系数为___________；其所有项的系数之和为_________. 11. 设,21=a 数列{1－2n a }是公比为2的等比数列，则=6a ___________.
12. 某企业要从某下属的6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1
人，则这8个名额的分配方案有___________种。

13. 已知球面上三点A ，B ，C ，且AB=3cm ，BC=4cm ，AC=5cm ，球的半径为
3
2
5cm ，则球心到平面ABC 的距离是_________cm.
14. 函数x y cos =的图象按向量)2,2
(π
-
=a 平移后与函数)(x g 的图象重合，则函数)(x g
的表达式是____________________.
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）
已知： a =(2cosx,sinx), b =(3cosx,2cosx). 设函数f(x)=a ⋅b －3.（x ∈R) 求：（1）f(x)的最小正周期； （2）f(x)的单调增区间； （3）若x ∈[4π-,
4
π
]时，求f(x)的值域。

16.（本题满分13分）
设{a
n }是正数数列，其前n项和S
n
满足S
n
=
4
1
(a
n
—1)(a
n
+3).
(1)求a
1
的值；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3)对于数列{b
n }，T n为数列{b
n
}的前n项和，令b
n
=
n
s
1
, 试求T n的表达式。

17.（本题满分13分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置上投球，命中率分别为3
1
与ｐ, 且乙投球两次均为命中的概率为
25
1。

（１）求乙投球的命中率ｐ；
（２）求甲投三次，至少命中一次的概率；
（３）若甲、乙二人各投两次，求两人共命中两次的概率。

18.（本题满分13分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ＡＢＣＤ， ＰＤ＝ＤＣ2=，Ｅ是ＰＣ的中点． (1)证明：ＰＡ∥平面ＥＤＢ；
(2)求ＥＢ与底面ＡＢＣＤ所成角的正切值； (3)求二面角E －BD －C 的余弦值。

19.（本题满分14分）
已知：函数f(x)=ax3+bx2－c (其中a,b,c都是常数，x∈R). 当x=1时，函数f(x)的极植为－3－c.
（1）试确定a,b的值；
(2) 讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对于任意x>0,不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围。

20.（本题满分14分）
设),(),,(2211y x B y x A 是函数x
x x f -+=
1log 21)(2的图象上满足下面条件的任意两点。

若)(2
1
OB OA OM +=，则点M 的横坐标为21。

（１）求证：M 点的横坐标为定植； （２）若),1
(
)2()1
(n
n f n f n f S n -+++= 求*).,2(N n n S n ∈≥ （３）已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++==+)
2()
1)(1(1)1(32
1n S S n a n n n ，(其中.*
N n ∈),又知n T 为数列{a n }的前n 项和，
若<n T λ)1(1++n S 对于一切.*
N n ∈都成立，试求λ的取值范围。

高三数学（文）参考答案及评分标准
2009.1 一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四
个选项中有且仅有一个是符合题目要求的
二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的
位置上
三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤
15. （本题满分13分） 解： 3)(-⋅=b a x f
3cos sin 2cos 322-+=x x x
)1cos 2(32sin 2-+=x x x x 2cos 32sin +=
)3
2sin(2π
+
=x ……………………………………………… 4分
（1）函数f(x)的最小正周期最小正周期为ππ
==2
2T …………………… 5分 （2）由223222π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k
得622652ππππ+≤≤-k x k ∴)(,12
125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ ∴函数)(x f 的单调增区间为)(,12,125Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-
ππππ……………………9分 （3） ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
∈4,4ππx ， ∴⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈2,22ππx ，
∴ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+
65,632πππ
x ， ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+
1,21)32sin(π
x ， ∴[]2,1)(-∈x f ……………………………………………………………………………………13分
16．（本题满分13分） 解：（1）由1a =1S =)3)(1(4
1
11+-a a ，及0>n a ，得1a =3 ……………………………… .4分 （2）由)3)(1(41
+-=
n n n
a a S 得)3)(1(4
1
111+-=---n n n a a S 。

∴当2≥n 时，)(2)(4
112
12---+-=n n n n n a a a a a
∴))(()(2111----+=+n n n n n n a a a a a a
01>+-n n a a ∴21=--n n
a a ，
∴由（1）知，{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴12+=n a n ………………………………………………………………………9分 （3）由（2）知
)2(+=n n S n
∴)2
11(211+-==
n n S b n n
，
])2)(1(3223[21)21111114121311(2121+++-=+-++--++-+-=+++=n n n n n n n b b b T n
n )
2)(1(23
243+++-
=
n n n …………………………………………………………………. 13分 17．（本题满分13分）
解：设“甲篮球运动员投球命中”为事件A
“乙篮球运动员投球命中”为事件B ，则p B P A P ==
)(,3
1
)(
（1） 乙投球两次均不命中的概率为
p
∴25
1)1(2=-p ∴511±=-p ∴5
6
,5421=
=
p p （舍去） …………………………………………………………. 4分 ∴5
4=p
（2）解法一，依题意有，甲投三次都不命中的概率为()()()
27
8323232=⨯⨯=
⋅⋅A P A P A P ∴甲投三次都命中的概率为()
27
19
13
=
-A P 。

……………………………………… 8分 解法二，甲投三次至少有一次命中的概率为
()()()()()()
()()()A P A P A P C A P A P A P C A P A P A P C 332313++
27
19271929431313132313133232313=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= …………8分
（3）甲乙两人各投两次，共命中两次的概率为
()()()()()()()()()()
()()B P B P A P A P B P B P A P A P B P B P C A P A P C ++⋅1
212
225
97
54543232515131315154232312=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯
= …………….13 分 18．（本题满分13分）
（1）连结AC ，交BD 于O ，连结EO 。

则O 是AC 的中点。

E 是PC 的中点，∴EO // PA
⊄PA 平面EDB ，⊂EO 平面EDB ，
∴PA // 平面EDB ……………………………………………………………………… 3分 （2）在平面PDC 中，作DC EM ⊥于M ，连结MB 。

侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，
∴平面PDC ⊥底面ABCD 。

EM ⊥DC ，平面PDC ⋂平面ABCD=DC ∴EM ⊥平面ABCD
∴∠EBM 是EB 与底面ABCD 所成的角。

PD=2 ，且EM 是∆PDC 的中位线，∴EM=1
而在直角∆BCD 中，∠BCD
90=，∴5=BM
∴55
5
1tan =
==
∠MB EM EBM ， 即EB 与底面ABCD 所成角的正切值为5
5。

……………………………………….. 9分 （3）在平面EDB 内，作EH ⊥BD 于D 。

由（2）知，EM ⊥平面ABCD ，连结MH ，则MH ⊥BD 。

∴∠EHM 为二面角E-BD-C 的平面角。

在DMH Rt ∆中，∠DHM 90=
，∠CDB 45=，DM=1，∴2
2=
MH 。

EM=1，∴在EMH Rt ∆中，2
6=
EH ， ∴3
3
cos ==
∠EH MH EHM ， 即，二面角E-BD-C 的余弦值为
3
3。

…………………………………………….. 13分
如图建立空间直角坐标系，则A （0，2，0），B （-2，2，0），D （0，0，0）， C （-2，0，0），P （0，0，2） ，E （-1，0，1） （1） 连结AC ，交BD 于H ，则H （-1，1，0） =（0，2，-2），=（0，1，-1）， ∴PA =2，又PA 与EH 不共线， ∴PA//EH
又 EH ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴PA//平面EDB …………………… 4分 （2） 取OC 中点M ，连结EM ，则
EM //
PD 2
1
PD ⊥底面ABCD ，∴EM ⊥底面ABCD ，
连结BM ，则∠EBM 为EB 与底面ABCD 所
成角，
BE =（1，-2，1）
，BM =（1，-2，0）
∴30
5
560
41=
⨯++=
=
∴5
5tan =
∠EBM 即EB 与底面ABCD 所成角的正切值为
5
5。

……………………………………….. 9分 （3） 设平面EBD 的一个法向量为=（x ，y ，z ）
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0，得⎩⎨⎧=+-=+-020z y x z x ，则取n =（1，1，1），
而平面BDC 的一个法向量为ME =（0，0，1），
设与所成角为θ
，则3
33
1cos =
=
=
θ， 即，二面角E-BD-C 的余弦值为
3
3。

………………………………… 13分 19．（本题满分14分）
解:（1）由c bx ax x f -+=23)(，得bx ax x f 23)(2/+=，
当x=1时，)(x f 的极值为c --3，
∴⎩⎨
⎧--==c
f f 3)1(0)1(/，得⎩⎨⎧--=-+=+c c b a b a 3023，∴⎩⎨⎧-==96
b a ∴
c x x x f --=2396)( ……………………………………………………… 4分
（2） c x x x f --=2396)(， ∴x x x f 1818)(2/-=，
令 0)(/=x f ，则02
=-x x ，得x=0或x=1 当x 变化时，)(/
x f ，)(x f 的变化情况列表如下
∴函数)(x f 的单调递增区间是()0,∞- 和 ()+∞,1，单调递减区间是()1,0。

……… 8分
（3） 22)(c x f -≥对任意0>x 恒成立，
∴2
23296c c x x -≥---对任意0>x 恒成立，
当x=1时，c x f --=3)(min
∴223c c -≥--，得0322
≥--c c ，
∴1-≤c 或2
3
≥
c ………………………………………………………………… 14分 20．（本题满分14分） 解：（1） )OB OA (2
1
OM +=
∴M 是AB 中点，设M 为（x ，y ） 由
2
1
x )x x (2121==+，得1x x 21=+， ∴21x 1x -=或12x 1x -=
∴()()[])x 1x l o g 21
x 1x l o g 21(21x f x f 2
1
)y y (2
1
y 222
122121-++-+=+=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅-+=
-+-+=
22112222112x 1x x 1x log 1(21
)x 1x log x 1x log 1(21
2
1)x x x x log 1(2112212=⋅+=
∴M 点的纵坐标的定值为
2
1
……………………………………………………. 4分 （2）由（1）知，1x x 21=+， 则()()1y y x f x f 2121=+=+， ⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=n 1n f ...n 2f n 1f S n ，
⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=n 1f ...n 2-n f n 1-n f S n ，
上述两式相加，得
1
...11n 1f n 1n f ...n 2n f n 2f n 1n f n 1f 2S n +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∴)N n ,2n (2
1n S n *∈≥-=
………………………………………………… 8分
（3）当n=1时，32a T 1n ==，231S 1S 21n =+=++， 由()1S T 1n n +<+λ，得λ2323<，得9
4
>λ。

当2n ≥时，()()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++=++=
+2n 11n 1
42n 1n 41S 1S 1a 1n n n
∴2n 2n 2n 131
432a ...a a T n 21n +=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=+++= 由()1S T 1n n +<+λ，得
n
2n 2n 2n +<<+λ， ∴()4n
4n 4
44n n 4n 2n 4n 2
2++=++=+>λ， 21
4444
n 4n 4=+≤++，
（当且仅当n=2时，=成立） ∴2
1
>λ 。

综上所述，若对一切.*
N n ∈都有<n T λ)1(1++n S 成立，由于2194<，所以2
1
>λ… 14分。