高考数学一轮复习 基本不等式课时跟踪检测 理 湘教版

高考数学一轮复习 基本不等式课时跟踪检测 理 湘
教版
第Ⅰ组：全员必做题
1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2
＋14)＞lg x (x ＞0)
B ．sin x ＋
1
sin x
≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2
＋1
＞1(x ∈R ) 2．(2014·宁波模拟)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.1
2 B ．1 C ．2
D ．4
3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D.52
4．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋
b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
6．(2013·临沂二模)已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数
列，则
a ＋b
2
cd
的最小值是________．
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
8.
创新题规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若
1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝
k ⊗x
x
的最小值为________． 9．正数x ，y 满足1x ＋9
y
＝1.
(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．
10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3
2＋y ＝1，则xy 的最小值为( )
A ．4
B ．4 3
C ．9
D ．16
2．(2013·北京海淀模拟)已知f (x )＝32x
－(k ＋1)3x
＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，22－1)
C ．(－1,22－1)
D ．(－22－1,22－1)
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选C 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排
除B ；
取x ＝0，则
1
x 2＋1
＝1，故排除D. 2．选A ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1
2.当且仅当a ＝1，b
＝1
2
时等号成立． 3．选B ∵a >1，b >1.∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤
lg a ＋lg b
2
4
＝
lg ab 2
4
＝1.
当且仅当a ＝b ＝10时取等号． 4．选A ∵x >1，∴x －1>0.
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1
＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1
＝
x －1
2
＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3
x －1
＋2
≥2
x －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x －1＋2＝23＋2.
当且仅当x －1＝
3
x －1
， 即x ＝1＋3时，取等号． 5．选C 由1a ＋1b ＋k
a ＋b
≥0得k ≥－
a ＋
b 2
ab
，而
a ＋
b 2
ab
＝b a ＋a b
＋2≥4(a ＝b 时取等
号)，所以－
a ＋b
2
ab
≤－4，因此要使k ≥－
a ＋b
2
ab
恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的
最小值等于－4.
6．解析：∵x ，a ，b ，y 成等差数列， ∴a ＋b ＝x ＋y .
∵x ，c ，d ，y 成等比数列，∴cd ＝xy ，
则
a ＋
b 2
cd
＝
x ＋y 2
xy
＝y x ＋x y ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y
时，取等号．
答案：4
7．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20
x
；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x
＋20
x
≥2
0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20
x
，即x ＝5时“＝”成立．
答案：5
8．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.
f (x )＝
1⊗x x ＝x ＋x ＋1x
＝1＋x ＋
1
x
≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1
x
即x ＝1时等号成立．
答案：1 3
9．解：(1)由1＝1x ＋9
y
≥2
1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9
y
，即y ＝9x ＝18时取等号，
故xy 的最小值为36.
(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x
y
≥19＋2
2y x ·9x
y
＝19＋62，
当且仅当2y x ＝9x y
，即9x 2＝2y 2
时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.
10．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为
y ＝f (x )＝72x ＋x x －12
×2＋100＝x 2
＋71x ＋100，
综上可知y ＝f (x )＝x 2
＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f x ×10 0001 000x ＝10f x
x
＝
10x 2
＋71x ＋100
x
＝10x ＋1 000
x
＋710≥2
10x ·1 000
x
＋710＝910.
当且仅当10x ＝1 000
x
，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均
综合费用最低，为每平方米910元．
第Ⅱ组：重点选做题
1．选D 由32＋x ＋32＋y
＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8
＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故
xy 的最小值为16.
2．选B 由f (x )>0得32x
－(k ＋1)3x
＋2>0， 则k ＋1<3x ＋23x ，而3x
＋23
x ≥2 2.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立，
∴k ＋1<22，k <22－1.。