中考难题集锦(答案版)

3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB
D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点
C 的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B
落在边OA 上的点为B ′，设OB ′＝x ，OC ＝y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y
的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′′，且使B ′′
D ∥OB ，求此时点C
3．解：（Ⅰ）如图1，折叠后点B 与点A 重合，则△ACD ≌△BCD ．
设点C 的坐标为（0，m ）（m ＞0），则BC ＝OB －OC ＝4－m ． 于是AC ＝BC ＝4－m ．
在Rt △AOC 中，由勾股定理，得AC 2
＝OC 2
＋OA
2
．
即(4－m )2＝m
2＋2
2
，解得m ＝
2
3
． ∴点C 的坐标为（0，
2
3）． ······················································ 4分 （Ⅱ）如图2，折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，则△B ′CD ≌△BCD ．
由题设OB ′＝x ，OC ＝y ，则B ′C ＝BC ＝OB －OC ＝4－y ．
在Rt △B ′OC 中，由勾股定理，得B ′C
2＝OC 2＋OB
2
．
∴(4－y )2＝y 2＋x
2
，即y ＝－8
1x
2＋2． ··································· 6分
图1
∵点B ′ 在边OA 上，∴0≤x ≤2．∴解析式y ＝－8
1x
2
＋2（0≤x ≤2）为所求．∵当≤x ≤2
时，y 随x 的增大而减小．∴y 的取值范围为2
3≤y ≤2． ···················································· 7分
（Ⅲ）如图3，折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′′，且B ′′D ∥OB ，则∠OCB ′′＝∠CB ′′D ．
又∵∠CBD ＝∠CB ′′D ，∴∠OCB ′′＝∠CBD ． ∴CB ′′∥BA ，∴Rt △COB ′′∽Rt △BOA ． ∴
OA OB ''＝
OB
OC
，∴OC ＝2OB ′′． ··············································· 9分 在Rt △B ′′OC 中，设OB ′′＝x 0（x 0＞0），则OC ＝2x 0．
由（Ⅱ）知，2x 0＝－8
1x
02
＋2，解得x 0＝－8±54．
∵x 0＞0，∴x 0＝－8＋54＝54－8．
∴点C 的坐标为（0，58－16）． ····················································································· 10分 4．（天津市）已知函数y 1＝x ，y 2＝x
2
＋bx ＋c ，α，β为方程y 1－y 2＝0的两个根，点M (1，
T )在函数y 2的图象上．（Ⅰ）若α＝31，β＝21，求函数y 2的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件
下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
3
121
时，求t 的值；（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜1时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
4．解：（Ⅰ）∵y 1＝x ，y 2＝x
2＋bx ＋c ，y 1－y 2＝0．∴x
2
＋(b －1)x ＋c ＝0． ····················· 1分
将α＝31，β＝21分别代入x
2＋(b －1)x ＋c ＝0，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯02112103113122
＝＋)－(＋)(＝＋)－(＋)(c b c b 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧6165＝＝－c b ∴函数y 2的解析式为y 2＝x
2
－
65x ＋6
1
． ·············································································· 3分 （Ⅱ）由已知，得AB ＝
62，设△ABM 的高为h ．则S △ABM
＝21AB ·h ＝122h ＝312
1，即2h ＝1441．根据题意，|t －T |＝2h ．由T ＝t 2＋61t ＋61，得|－t
2＋65t －61|＝144
1
．
当－t
2
＋
65t －61＝1144时，解得t 1＝t 2＝125；当t
2
－65t ＋61＝1144
时，解得t 3＝1225－，t 4
＝1225＋．∴t 的值为12
5，1225－，1225＋． ··································································· 6分
（Ⅲ）由已知，得α＝α
2＋b α＋c ，β＝β2＋b β＋c ，T ＝t 2
＋bt ＋c ．∴T －α＝(t －α)(t ＋α＋b )，
T －β＝(t －β)(t ＋β＋b )．α－β＝(α
2＋b α＋c )－(β2
＋b β＋c )，整理得(α－β)(α＋β＋b －1)
＝0．∵0＜α＜β＜1，∴α－β≠0，∴α＋β＋b －1＝0．∴α＋b ＝1－β＞0，β＋b ＝1－α＞0．又0＜t ＜1，∴t ＋α＋b ＞0，t ＋β＋b ＞0．∴当0＜t ≤α时，T ≤α＜β；当α＜t ≤β时，α＜T ≤β；当β＜t ＜1时，α＜β＜T ． ···································································································· 10分
图3
（10年，第25题）（本小题10分） 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上两个动点且2EF =当四边形CDEF 周长最小时求点E 、F 坐标. 解：（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE . 若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、DE '、D E ''.由
DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+，可知△CDE 的周长最小.
∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点， ∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有
OE D O
BC D B
'=
'. ∴ 23
16
D O BC O
E D B '⋅⨯==='.∴ 点E 的坐标为（1，0）. ．
．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取2CG =，连接D G '与x 轴交于
点E ，在EA 上截取2EF =.
∵ GC ∥EF ，GC EF =，
∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =. 又 DC 、EF 的长为定值，
∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，
∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有
OE D O BG D B '='.∴ (
63
D O BG D O BC O
E D B D B ''⋅⋅
====''.
∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 坐标为（13
，0），点F 坐标为（7
3，0
）. ．．10分
第（25）题
（10年，第26题）（本小题10分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.
解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+. ∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，．∵ 方程220x x c -++=
的两个根为11x =
，21x = 此时，抛物线与x
轴的交点为10( )A
，10()B +． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F
∵ S △BCE = S △ABC ，∴ S △BCF = S △ABC ． ∴ BF AB ==
设对称轴1x =与x 轴交于点D ， 则1
2
DF AB BF =
+= 由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠．
∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有
ED CO DF OB =
．∴=．结合题意，解得 4c =． ∴ 点54(0 )C ，，5
2
( 0)B ，．设直线BC 的解析式为y mx n =+，则
5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4
m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+. ．．．6分 （Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，（0h >，0k >）则抛物线的解析式为2()y x h k =--+，此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x 轴的交点为0()A h -，0()B h +.0h >）过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，
x
则S△BCE = S△BCF.由S△BCE = 2S△AOC，∴S△BCF = 2S△AOC.
得2) BF AO h
==.
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D.则
1
2
2
DF AB BF h =+=.
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有E D C O
D F O B
=．∴
2
，
即2
220
h h k
-+=．结合题意，解得
h=①
∵点()
E h k
，在直线43
y x
=-+上，有43
k h
=-+．②∴
由①②，结合题意，解得1
=．有1
k=，
1
2
h=．∴抛物线的解析式为2
3
4
y x x
=-++．．．．．．．．．．．．．．10分7．（09重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边
与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
5
6
，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q
7．解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）．∵∠ADE＝90°
－∠
∴AE＝AD·tan∠ADE＝2tan∠BCD＝2×
2
1
＝1∴点E的坐标为（0，1）． ························1分设过点E、D、C的抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
将点E的坐标代入，得c＝1．
将c＝1和点D、C的坐标分别代入，得
⎩
⎨
⎧
1
＋
3
＋
9
2
1
＋
2
＋
4
＝
＝
b
a
b
a
······
解得
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
6
13
6
5
＝
＝－
b
a
∴抛物线的解析式为y＝－
6
5
x2＋
6
13
x＋1． ·····················
（2）EF＝2GO成立． ···············································································
证明如下：∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为
5
6
．
∴点M 的纵坐标为－
65×(56)2＋613×56＋1＝
5
12
． ·························································· 5分 设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)将点D 、M 的坐标分别代入，得
⎪⎩
⎪⎨⎧512
562211＝＋＝＋b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧
3211＝＝－
b k ∴DM 的解析式为y ＝－21x ＋3． ··································· 6分 ∴点F 的坐标为（0，3），EF ＝2． ······················································································· 7分 如图1，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK ．∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK ．又∵∠F AD ＝∠GKD ＝90°，∴Rt △DAF ≌Rt △DKG ．
∴KG ＝AF ＝1，∴GO ＝1．∴EF ＝2GO ． ············································································ 8分 （3）存在这样的点Q ，解答如下：
∵点P 在AB 上，∴可设点P 的坐标为（x p ，2）． 又∵点G 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（3，0）． ∴PG 2＝(x p －1)2＋2
2，PC 2＝(x p －3)2＋2
2
，GC ＝2．
①若PG ＝PC ，则(x p －1)2＋2
2＝(x p －3)2＋2
2
．
解得x p ＝2
∴点P 的坐标为(2，2)，此时Q 、P 、D 三点重合，如图2．
∴点Q 的坐标为(2，2)． ······································································································ 9分 ②若PG ＝GC ，则(x p －1)2
＋2
2
＝2
2
．解得x p ＝1
∴点P 的坐标为(1，2)，此时PG ⊥x 轴，如图3． ∴PG 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1． ∴点Q 的纵坐标为－65×12＋6
13×1＋1＝37
∴点Q 的坐标为(1，
3
7
)． ························································· 10分 ③若PC ＝GC ，则(x p －3)2
＋2
2
＝2
2
．
解得x p ＝3∴点P 的坐标为(3，2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图4，
过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ．设QH ＝h ，则点Q 的坐标为(h ＋1，h )．∴－65
(h
＋1)2
＋613(h ＋1)＋1＝h ．解得h 1＝5
7，h 2＝－2（不合题意，舍去）．
∴点Q 的坐标为(512，5
7
)． ······························································································· 12分
综上所述，存在三个满足条件的点Q
即Q 1(2，2)、Q 2(1，
37)和Q 3(125，75
)．
图4。