龙贝格公式及实现

龙贝格公式就是逐次对分积分区间的方法，可以把前面计算的结果作为一个整体带入对分后的计算公式中，只需要增加新的分点的函数值。

以)(0
k T
表示],[b a 二分k 次后的梯
形值，
)(k m
T 表示
)(0
k T 的m 次加速值，
则有
)
,2,1(,1
411
4
4)(1
4
)1(1
)( =--
-=
-+-k T
T
T
k m k m m
m
k m
龙贝格算法：
步
1 初始化：计算
)]
()([2
)0(0
b f a f a
b T
+-=
，置1:=k （k
记录区间],[b a 的二分次数），
a b h -=；
步2（二分） 计算积分值： ∑
-=+---+
=
1
2
2/11
)1(0
)(0
1
)
(2
2
1k j j k k k x f h T
T
；
步3（加速） 求加速值：计算
)(1
)1(1
)(1
411
44
j k j j
j k j j
j
j k j
T
T
T
--+-----
-=
，
),,2,1(k j =；
步4 精度检验：对指定的精度
ε，若
ε
<--)0(1
)0(k k
T
T
，则终止计算，并取)
0(k
T
作为所求的结果；否则置1:+=k k ，
h
h 21:=
，转步2。

计算次序：
(0)0
T
第1次循环 二分：(1)0
T
加速：(0)
1T 第2次循环
二分：(2)
1
T
加速：(1)
(0)12
,T T
第3次循环 二分：(3)2
T
加速：(2)
(1)(0)12
3
,,T T T
第4次循环 二分：(4)3
T
加速：(3)
(2)(1)(0)12
3
4
,,,T T T
T
……
在命令窗口输入： a = 0; b = 1;
epsilon = 5e-6;
f = @(x)sin(x);%@(X)申请变量空间,计算sin 积分
y = romberg(f,a,b,epsilon) %函数调用
安回车，出结果。