人教A版数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点.docx

函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
【选题明细表】
题号
知识点、方法
易中难
求函数的零点2、6 10 8 判定函数零点的个数 3 5、9
判定函数零点所在的区间 1 4、7
基础达标
1.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )
(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如下图所示:
故选C.
2.下列函数不存在零点的是( D )
(A)y=x- (B)y=--
(C)y=
-(D)y=
-
解析:令y=0,得A中函数的零点为1,-1;
B中函数的零点为-,1;C中函数的零点为1,-1;
只有D中函数无零点.故选D.
3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 123.5 21.5 -7.82 11.57 -53.7 -126.7 -129.6 那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( B )
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
解析:由表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,
f(4)·f(5)<0.
∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点.
故选B.
4.(2013天津一中高一期中)函数f(x)=2x-1+log2x的零点所在区间是( C )
(A)(,) (B)(,)
(C)(,1) (D)(1,2)
解析:函数f(x)=2x-1+log2x的图象在[,1]上连续不断,且
f()=2×-1+log2=-1<0,f(1)=2×1-1+log21=1>0,f()·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(,1)内有零点.故选C.
5.(2012湖北黄冈中学高一期中)函数f(x)=x3-()x的零点个数是( B )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个
解析:作出y=x3与y=()x的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.
6.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点
是.
解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2、3,
∴即a=5,b=-6,
∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-、-,即为函数g(x)的零点.
答案:-,-
7.(2012南通市通州区高一期中)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k= .
解析:方程为log3x+x-3=0,设f(x)=log3x+x-3,
∵f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,
即f(2)·f(3)<0,
∴函数在(2,3)内存在零点,∴k=2.
答案:2
能力提升
8.已知m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点,则实数a的取值范围
是.
解析:(1)当m=0时,由f(x)=x-a=0,
得x=a,此时a∈R.
(2)当m≠0时,令f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解,
Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立,
即4m2+4am+1≥0恒成立,
则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0,即-1≤a≤1.
所以对m∈R,函数f(x)恒有零点时,有a∈[-1,1].
答案:[-1,1]
9.求函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.
解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0,即log2x=x-2.
令y1=log2x,y2=x-2.
画出两个函数的大致图象,如图所示,
有两个不同的交点.
所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.
10.求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出其简图.
解:令f(x)=x3-2x2-x+2=0,
则有x2(x-2)-(x-2)
=(x+1)(x-1)(x-2)=0,
∴函数f(x)的零点为-1,1,2.
又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.其图象如图所示.。