2020年数学新导学同步选修2-2人教A版作业及测试：课时作业6函数的极值与导数 Word版含解析.doc

课时作业6函数的极值与导数
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为() A．－e B．－1
C．1－e D．0
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1
x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.
答案：B
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x ＝x4处取得极小值．
答案：C
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则() A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
4．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
9．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝1
3x
3－x2－3x；
(2)f(x)＝x4－4x3＋5；
(3)f(x)＝ln x x.
解析：(1)函数的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
当x＝－1时，f(x)有极大值5 3.
当x＝3时，f(x)有极小值－9.
(2)因为f(x)＝x4－4x3＋5，
所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.
(3)函数f(x)＝ln x
x的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝1－ln x x2.
令f′(x)＝1－ln x
x2＝0，
得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－23，(1，＋∞)，单调递减区间是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，1，极大值为2749，极小值为－12.
14．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.
所以由f (x )的单调性可知，
f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，
在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：
因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．。