2018年03月七年级下学期月考数学综合训练题

2018年03月七年级下学期月考数学综合训练题
一．选择题（共7小题）
1．（2017秋•长春期末)如图，a∥b,点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=34°，则∠2的大小为（）
A．34°B．54°C．56°D．66°
2．(2017秋•鞍山期末)如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE,若∠BOD=32°,则∠EOF的度数为（)
A．32°B．48°C．58°D．64°
3．(2017秋•鸡西期末）如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于(）
A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2 4．（2017秋•赫章县期末）如图所示，AB∥CD∥EF，BC∥AD．AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角有（)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2017秋•锡山区期末）如图，点P是直线a外的一点,点A、B、C在直线a
上，且PB⊥a，垂足是B,PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
6．（2017秋•滕州市期末）下列图形中，已知∠1=∠2,则可得到AB∥CD的是（）A．B．C．
D．
7．(2017秋•顺德区期末）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为(）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二．填空题（共5小题）
8．（2017秋•长春期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点0，CD⊥EF，OG平分∠BOF．若∠FOG=29°，则∠BOD的大小为度．
9．（2017秋•兴化市期末）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是cm．
10．(2017秋•鸡西期末）一个小区大门的栏杆如图所示,BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD=度．
11．(2017•兴庆区校级二模)如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=10，DH=4,平移距离为6，则阴影部分的面积．
12．（2016秋•东营区期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为．
三．解答题(共14小题）
13．（2017秋•宜阳县期末）如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD,∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式)
解:∵EF∥AD，（已知)
∴∠2=（）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=（）
∴∥，（）
∴∠AGD+ =180°，（两直线平行,同旁内角互补)
∵，（已知）
∴∠AGD=（等式性质）
14．（2017秋•岐山县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1）若∠EOC=70°,求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC:∠EOD=2：3，求∠BOD的度数．
15．（2017秋•榆树市期末）在数学实践课上，老师在黑板上画出如下的图形（其中点B、F、C、E在同一条直线上）,并写出四个条件:①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．
（1)写出所有的真命题．（用序号表示题设、结论）
(2）请选择一个给予证明．
16．(2017秋•南关区校级期末)探究:如图①，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E 作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=40°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整,并填空(理由或数学式）
解：∵DE∥BC，
∴∠DEF=．（）
∵EF∥AB，
∴=∠ABC．（）
∴∠DEF=∠ABC．（等量代换)
∵∠ABC=40°，
∴∠DEF=°．
应用：如图②,直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C,点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=60°，则∠DEF=°．
17．（2017秋•农安县期末)如图①,已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么?
(2)若点E、F在线段CD上,且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3)若点E在直线CD上,且满足∠EAC=∠BAC,求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
18．（2017秋•长春期末）如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D 分别在射线BN、AM上，且∠A=∠BCD=108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合）,且BD平分∠EBC．
(1)求∠ABC的度数．
（2）请在图中找出与∠ABC相等的角,并说明理由．
（3）若平行移动CD,且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化?若变化，找出变化规律;若不变，求出这个比值．
19．（2017秋•河口区期末)如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
(1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°,则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．
（2）拓展应用，如图2,线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由)
20．（2016秋•临河区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
①；②．
（2）如果∠AOD=40°．
①那么根据，可得∠BOC=度．
②因为OP是∠BOC的平分线,所以∠COP=∠=度．
③求∠BOF的度数．
21．（2016秋•市中区期末)问题情景:如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：∠APC=110°，请你补全他的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD．（）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．(）
问题迁移：
（2）如图3,AD∥BC,当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由．
(3）在（2）的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
22．（2017春•永新县期末)如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时,那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
23．（2017春•庐江县期末）已知:如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．
（1)如图1,当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD=∠PCA+∠PDB,请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；
(3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论)?
24．（2017春•顺义区期末）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C 的直线DE∥OB，CF平分∠ACD,CG⊥CF于C．
(1）若∠O=40°,求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
25．（2016秋•新野县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．小明的思路是:过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．(1）按小明的思路,易求得∠APC的度数为度;
(2）问题迁移：如图2，AB∥CD,点P在直线BD上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，①当点P在线段BD上运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由;
②如果点P在射线BF或射线DE上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
26．（2017春•高阳县期末）课上教师呈现一个问题：
已知：如图，AB∥CD,EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG 的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
（1）请你根据乙同学所画的图形,描述辅助线的做法,并写出相应的分析思路．辅助线：；
分析思路：
（2）请你根据丙同学所画的图形,求∠EFG的度数．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．（2017秋•长春期末）如图,a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=34°，则∠2的大小为（）
A．34°B．54°C．56°D．66°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=34°,
又∵AB⊥BC，
∴∠2=90°﹣34°=56°，
故选：C．
2．(2017秋•鞍山期末)如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为(）
A．32°B．48°C．58°D．64°
【解答】解：∵∠DOF=90°，∠BOD=32°，
∴∠AOF=90°﹣32°=58°,
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=58°．
故选：C．
3．（2017秋•鸡西期末）如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（)
A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF．
∴∠BCD=∠1,∠ECD=180°﹣∠2．
∴∠BCE=180°﹣∠2+∠1．
故选C．
4．（2017秋•赫章县期末）如图所示,AB∥CD∥EF，BC∥AD．AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解:根据对顶角相等得出∠CGF=∠AGE,
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∵AB∥CD∥EF，BC∥AD，
∴∠CGF=∠CAB=∠DCA，∠DAC=∠ACB，
∴与∠AGE相等的角有∠CGF、∠CAB、∠DAC、∠ACB，∠DCA，共5个，
故选C．
5．（2017秋•锡山区期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a
上,且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是()
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【解答】解:A、根据点到直线的距离的定义:即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选C．
6．（2017秋•滕州市期末）下列图形中,已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是(）A．B．C．
D．
【解答】解:A、∠1和∠2的是对顶角，不能判断AB∥CD，此选项不正确；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确;
C、∠1和∠2的是内错角,又相等，故AC∥BD，不是AB∥CD，此选项错误；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等两直线不平行，此选项错误．
故选B．
7．（2017秋•顺德区期末)如图,将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为()
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解:如图，由三角形的外角性质可得：
∠3=30°+∠1=30°+30°=60°，
∵AB∥CD,
∴∠2=∠3=60°．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
8．(2017秋•长春期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点0，CD⊥EF,OG平分∠BOF．若∠FOG=29°，则∠BOD的大小为32度．
【解答】解：∵∠FOG=29°，OG平分∠BOF，
∴∠BOF=2∠FOG=58°,
∴∠COE=∠BOF=58°．
又CD⊥EF，
∴∠COE=90°，
∴∠BOD=90°﹣58°=32°．
故答案是：32．
9．（2017秋•兴化市期末）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是16cm．
【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴△ADG与△CEG的周长之和=AD+CE+CD+AE=BE+AB+AE=16,
故答案为：16;
10．(2017秋•鸡西期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD=270度．
【解答】解：作CH⊥AE于H,如图，
∵AB⊥AE,CH⊥AE，
∴AB∥CH,
∴∠ABC+∠BCH=180°,
∵CD∥AE，
∴∠DCH+∠CHE=180°,
而∠CHE=90°，
∴∠DCH=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°．
故答案为270．
11．(2017•兴庆区校级二模）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6,则阴影部分的面积48．
【解答】解：根据题意得，DE=AB=10；BE=CF=6；CH∥DF．
∴EH=10﹣4=6;
EH：HD=EC:CF，
即6：4=EC：6，
∴EC=9．
=×10×(9+6）=75；
∴S
△EFD
S△ECH=×6×9=27．
=75﹣27=48．
∴S
阴影部分
故答案为48．
12．（2016秋•东营区期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为200m．
【解答】解:∵荷塘中小桥的总长为100米，
∴荷塘周长为：2×100=200（m)
故答案为：200m．
三．解答题(共14小题）
13．（2017秋•宜阳县期末)如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD,∠1=∠2，∠BAC=70°,求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式）
解:∵EF∥AD，（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行同位角相等)
∵∠1=∠2，（已知)
∴∠1=∠3（等量代换)
∴DG∥BA，（内错角相等两直线平行）
∴∠AGD+ ∠CAB=180°，（两直线平行,同旁内角互补）
∵∠CAB=70°，（已知）
∴∠AGD=110°（等式性质)
【解答】解：∵EF∥AD，(已知）
∴∠2=∠3（两直线平行同位角相等）
∵∠1=∠2，（已知)
∴∠1=∠3（等量代换)
∴DG∥BA，（内错角相等两直线平行)
∴∠AGD+∠CAB=180°，（两直线平行，同旁内角互补)
∵∠CAB=70°，（已知）
∴∠AGD=110°（等式性质）．
故答案为:∠3；两直线平行同位角相等；∠3;等量代换；DG;BA;内错角相等两直线平行；∠CAB;∠CAB；70°；110°
14．(2017秋•岐山县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2）若∠EOC:∠EOD=2：3，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOC=35°;
(2)设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得：
2x+3x=180°，
解得:x=36°,
∴∠EOC=2x=72°，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOC=36°．
15．(2017秋•榆树市期末）在数学实践课上，老师在黑板上画出如下的图形（其中点B、F、C、E在同一条直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC,④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．
（1）写出所有的真命题．（用序号表示题设、结论）
（2）请选择一个给予证明．
【解答】解：（1)情况一：题设：①②④；结论：③；
情况二：题设①③④；结论：②；
情况三：题设②③④；结论：①．
(2）选择的题设：①③④；结论:②；
理由：：∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF,
在△ABC和△DEF中，
,
∴△ABC≌△DEF（SAS）,
∴∠1=∠2;
16．（2017秋•南关区校级期末）探究：如图①，直线AB、BC、AC两两相交,交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=40°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）
解:∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF=∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC=40°，
∴∠DEF=40°．
应用：如图②，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=60°,则∠DEF=120°．
【解答】解:（1）∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF=∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC=40°，
∴∠DEF=40°．
故答案为：∠EFC，两直线平行,内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，40；
(2）∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠EADE=60°．(两直线平行,内同位角相等）
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF=180°．(两直线平行,同旁内角互补）
∴∠DEF=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
17．（2017秋•农安县期末）如图①,已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
(1）请问：AB与CD平行吗？为什么?
(2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上,且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD:∠AED的值（请自己画出正确图形,并解答）．
【解答】解：（1）平行．
如图①，∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠B=∠D=120°,
∴∠D+∠A=180°，
∴AB∥CD；
（2）如图②,∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，
∴∠DAB=60°，
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，
∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE)=∠DAB=30°;
（3)①如图3，当点E在线段CD上时，
由(1）可得AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE,
又∵∠EAC=∠BAC，
∴∠ACD：∠AED=2:3；
②如图4,当点E在DC的延长线上时，
由（1)可得AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE，
又∵∠EAC=∠BAC，
∴∠ACD:∠AED=2:1．
18．（2017秋•长春期末）如图，两条射线AM∥BN,线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A=∠BCD=108°．E是线段AD上一点（不与点A、D 重合)，且BD平分∠EBC．
(1）求∠ABC的度数．
（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．
（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
【解答】解:
（1)∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC=180°．
∴∠ABC=180°﹣∠A=180°﹣108°=72°．
（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．
∵AM∥BN,
∴∠ADC=∠DCN，∠ADC+∠BCD=180°．
∴∠ADC=180°﹣∠BCD=180°﹣108°=72°．
∴∠DCN=72°．
∴∠ADC=∠DCN=∠ABC．
（3）不发生变化．
∵AM∥BN，
∴∠AEB=∠EBC，∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠EBC,
∴∠DBC=∠EBC，
∴∠ADB=∠AEB，
∴∴=．
19．（2017秋•河口区期末）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°,∠D=60°，则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．
（2)拓展应用，如图2,线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域(不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求说明理由）
【解答】解：（1）①过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°,∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF,
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°,∠2=∠D=60°,
∴∠AED=∠1+∠2=80°;
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB(平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC(等量代换）．
(2）如图2，当点P在①区域时,
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=(∠PEB+∠PFC）﹣180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°,
∴∠EPF=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣（∠PEB+∠PFC）+180°=360°﹣（∠PEB+∠PFC）;
当点P在区域②时,如图3所示,
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
20．（2016秋•临河区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对:
①∠COE=∠BOF;②∠COP=∠BOP．
（2)如果∠AOD=40°．
①那么根据对顶角相等，可得∠BOC=40度．
②因为OP是∠BOC的平分线,所以∠COP=∠BOC=20度．
③求∠BOF的度数．
【解答】解：(1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；
（2）①对顶角相等，40度；
②∠COP=∠BOC=20°；
③∵∠AOD=40°，
∴∠BOF=90°﹣40°=50°．
21．（2016秋•市中区期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°,∠PCD=120°，求∠APC的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出:∠APC=110°，请你补全他的推理依据．
如图2,过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补)
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代换)
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3)在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O 三点不重合)，请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
【解答】解:（1)过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代换)
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行;两直线平行同旁内角互补；等量代换．
(2)∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3)当P在BA延长线时，
过P作PE∥AD交CD于E,
同（2)可知:∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β﹣∠α;
当P在AB延长线时，
同（2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α﹣∠β．
22．（2017春•永新县期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合）,BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，(推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
(2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变,请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,求∠ABC的度数．
【解答】解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°﹣60°=120°,
∴∠ABP+∠PBN=120°,
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN,
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）不变，∠APB：∠ADB=2:1．
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
(3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD,
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°,
∴∠ABC+∠DBN=60°，
∴∠ABC=30°．
23．（2017春•庐江县期末）已知：如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．
(1）如图1，当点P在线段AB上运动时,总有：∠CPD=∠PCA+∠PDB，请说明理由；
(2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论）？
【解答】解：（1）证明:如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，
∴∠2=∠DPE,
∴∠3=∠1+∠2，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB；
（2）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．
理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD,∵直线a∥b，
∴a∥PE，
∴∠1=∠EPC，
∵∠3=∠EPC﹣∠EPD,
∴∠3=∠1﹣∠2，
即∠CPD=∠PCA﹣∠PDB;
（3）∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．
证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，
∵∠PFA是△PCF的外角,
∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠2=∠PFA，
∴∠2=∠1+∠3,
∴∠3=∠2﹣∠1,
即∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．
24．（2017春•顺义区期末）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C 的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
(1)若∠O=40°，求∠ECF的度数；
(2)求证：CG平分∠OCD;
(3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
【解答】解：（1）∵DE∥OB,
∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等)
∵∠O=40°，
∴∠ACE=40°，
∵∠ACD+∠ACE=180°，(平角定义）
∴∠ACD=140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=70°，（角平分线定义）
∴∠ECF=70°+40°=110°；
(2)证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠DCG+∠DCF=90°，
又∵∠AOC=180°，（平角定义)
∴∠GCO+∠FCA=90°,
∵∠ACF=∠DCF，
∴∠GCO=∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD．
(3）结论：当∠O=60°时,CD平分∠OCF．
当∠O=60°时，
∵DE∥OB,
∴∠DCO=∠O=60°．
∴∠ACD=120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=60°，
∴∠DCO=∠DCF，
即CD平分∠OCF．
25．（2016秋•新野县期末)问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；
（2)问题迁移:如图2,AB∥CD,点P在直线BD上运动，记∠PA B=α，∠PCD=β,
①当点P在线段BD上运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系?请说明理由；
②如果点P在射线BF或射线DE上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】解：（1)如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110;
(2)∠APC=∠α+∠β,
理由:如图2,过P作PE∥AB，
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示,当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α﹣∠β；
理由：如图，过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PG∥CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG﹣∠CPG=∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时,∠CPA=∠β﹣∠α．
理由:如图，过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PG∥CD,
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠β﹣∠α；
综上所述,∠APG=｜∠α﹣∠β｜．
26．（2017春•高阳县期末）课上教师呈现一个问题:
已知:如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG 的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
（1)请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N;
分析思路:
（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．
【解答】解:（1）根据乙同学所画的图形:
辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N，
分析思路:（1)欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠NPG，因此,只需转化为求∠NPG的度数;
(2）欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数；
（3）又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
（4）由已知EF⊥AB,可得∠4=90°；
（5)由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4,所以可得∠2的度数；
（6）从而可以求出∠EFG的度数．
（2)选择丙同学所画的图形：
过点O作ON∥FG，交CD于点N，
∵ON∥FG，∠1=30°，
∴∠4=∠1=30°，
∵AB∥CD,
∴∠2=∠4=30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON=∠3+∠2=90°+30°=120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG=∠EON=120°．。