第03章+平面力系

物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
MB (F )=0, FAy 鬃 4m+10kN 2m - 20kN鬃 2m=0 4m M A (F )=0, FBy ?4m 10kN? 2m 20kN鬃 2m=0 4m FBy =45kN
FAy =145kN
FB =235kN
O i i =1
n
O
R
R
O
n
O
R
i 1
O
i
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
3. 平面一般力系平衡的情形 若 F =0, M =0 时, 这表明原力系与两个平衡力系等效,
R O
即原力系既不能使物体有移动效应, 又不能使物体产生转动效
⑴ F 0, M =0 ,表明附加力偶系为一平衡力系，亦可撤去， R o 那么一个作用在简化中心O点的力与原力系等效。显然， R 就 F 是这个力系的合力，合力的作用线通过简化中心O。合力矢等 于力系的主矢，即 FR =FR = F （此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） ⑵ F 0, M 0 , 则原力系与作用线过简化中心的一个力和 R o 一个同平面的力偶等效, 原力系可以继续简化为一个合力。如下 图所示
⑵ 三力矩形式的平衡方程
å å å
M A ( Fi ) = 0 ü ï ï M B ( Fi ) = 0 ý ï M C ( Fi ) = 0ï þ
例3-2 简支梁AB承受荷载如图所示，试计算梁在A、B端 所受的约束反力。
解：⑴ 作粱AB的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
x Ax
å F =0, F =0 6m+10kN 4m+8kN m=0 å M (F )=0, - F 创 2m+8kN m=0 å M (F )=0, F ? 6m 10kN醋
• ① 平面汇交力系 — 平面力系中各力的作用线汇交于一点。
• ② 平面平行力系 — 平面力系中各力的作用线相互平行。 • ③ 平面任意力系 — 平面力系中各力的作用线任意分布。 • ④ 平面力偶系 — 仅由力偶组成的平面力系。
平面力系举例
① 平面汇交力系：
• ② 平面平行力系：
• ③ 平面一般力系：
q
A
y l
M
F
45
B
q
A
M
45
B
F
x
å F = 0, F å F = 0, F
x
Ax
- F cos 45 = 0


l
å
- ql - F sin 45 = 0 Ay y Ay ql 2 M A ( F ) = 0, M A - Fl cos 45 + M = 0 2
F
解方程得：
FAy = ql + 0.707F FAx = F cos 45 = 0.707F 1 2 M A = ql + 0.707 Fl - M 2
应，所以物体平衡，故原力系为平衡力系。
总结平面一般力系的最后简化结果, 当 FR =0 时，原力系 要么平衡，要么是一个力偶；当 FR 0 时，不论主矩是否为
零，原力系合成结果都是一个力。平面一般力系的最后简化结 果与简化中心的位置无关，因为最后简化结果为：要么是平衡 、要么是一个力偶、要么是一个力，三者必居其一。这三种结 果与简化中心的位置都无关
• 目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方 程基本形式求解平衡问题。
• 教学重点：平衡方程的正确运用。
• 教学难点：对平衡方程的理解。
引
言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 ④平面一般力系
平面特殊力系 平面任意力系
平面力系
• 平面力系 — 各力的作用线都在同一平面内。
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
三、平面任意力系向作用面内一点简化
设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图(a)。 应用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′,F2′,…, Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图(b)。 再将其进一步合成过点O的一个力FRˊ，对点O的一个力偶 n n MO，即 ⅱ
• ④ 平面力偶系：
第一节 平面任意力系的简化
一、力的投影及合力投影定理 1. 力的投影（在平面直角坐标轴上的投影） 沿y轴的分力 b1 Fy a1 a 沿x轴的分力
Fx = F cos a (x轴上的投影)
Fy = F ?sin a
Fx
b
F cos b
(y轴上的投影)
注意
F = Fx2 + Fy2
i =1 4
Fx = å Fxi
i =1 4
4
Fy = å Fyi
i =1
二、力的平移定理
B d F A
B
F’ d F F”
F’
A
B m
d
A
M =F d F = Fⅱ F = ? 力F ¢ 力偶m Þ 力系F , FⅱF , 力F 作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。 ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系。

二、平面任意力系平衡方程的其它形式
前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形 式，它是两个投影式和一个力矩式.共有三个独立 的方程，可以求出三个未知数。 应该指出，投影轴和矩心都可以任意选取的。 两坐标轴不一定是正交，只要不相平行即可。矩心 不一定是坐标轴原点。为了求解方便，应尽量使每 个方程式中的未知数含量越少越好。一般投影轴尽 可能选取该力系中多数力（尤其是未知力）的作用 线平行或垂直，矩心选在未知力的交点上。
由此可得结论, 平面一般力系平衡的解析条件是：所有各 力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和都等于零; 力系中所 有各力对任一点的力矩的代数和等于零。
图示一悬臂梁，A为固定端， 设梁上受强度为q的均布载荷作 用，在自由端B受一集中力F和 一力偶M作用，梁的跨度为l， 求固定端的约束力。 解：取梁为研究对 FAx 象，受力分析如图：
例3-6 试计算支座A、 B、C处的约束反力。 解：⑴ 取DC杆为研究 对象，列出平衡方程：
å
MC ( F )=0 FD ? 6m 120kN 3m=0 FD =60kN
⑵ 取整个梁为研究对 象，列出平衡方程：
å
å
å
Fx =0, FAx =0
M B (F )=0, FAy ?8m 40kN 鬃 4m+120kN ?5m FD 8m=0 8m M A (F )=0, FB ?8m 40kN 鬃 4m - 120kN ?13m FD 16m=0 8m
第二节 平面任意力系的平衡条件
平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力系 对于任一点的矩都等于零，即
FR =0, MO =0
由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。
1. 平衡方程的基本形式
FR =
Fx Fy
2
2
MO =mO ( F )
Fx =0 Fy =0 mO ( F )=0
除此以外，有时还不能避免要解联立方程。因 此为了简化计算，还可选择适当的平衡方程形式， 除了式（3-10）所表示的基本形式外，还有其它两 种形式： ⑴ 二力矩形式的平衡方程
å å å
ü ï ï M A ( Fi ) = 0ý ï M B ( Fi ) = 0ï þ Fx = 0
或
å å å
ü ï ï M A ( Fi ) = 0ý ï M B ( Fi ) = 0ï þ Fy = 0
B Ay
A B
⑶ 解方程组可得：
FAx =0, FAy =8kN, FB =2kN
三、平面汇交力系和平行力系的平衡方程 ⒈ 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴上 投影的代数和分别等于零