广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法

广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法
闻道君;陈义安
【摘要】本文运用Banach压缩映象原理和投影技巧研究一类新的广义非凸变分不等式问题解的存在唯一性,并在非凸集上建立一个逼近广义非凸变分不等式解的三步投影算法,在一定条件下证明了该投影算法所产生的迭代序列的收敛性.%In this article, a new general nonconvex variational inequality is introduced and considered, and the existence and uniqueness of solution of the variational inequality problems is studied with Banach contraction principle and projection technique. A three-step projection method is established for solving the general nonconvex variational inequality, and the convergence of the projection method is discussed under suitable conditions.
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2012(032)003
【总页数】6页(P475-480)
【关键词】广义非凸变分不等式;近似正规锥;不动点;投影算法
【作者】闻道君;陈义安
【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
变分不等式理论在现代非线性分析中具有非常重要的作用,被广泛应用于经济决策、动力系统、优化理论和算子理论等领域.近年来,变分不等式问题已经被许多作者深
入研究,出现了混合变分不等式、拟变分不等式和随机变分不等式等各种推广形式,
并获得了一系列很好的结果[1−6].因此,讨论各种变分不等式问题解的存在性和有
效数值解法有着重要的理论意义和实用价值.目前,变分不等式问题的数值解法主要
包括投影技巧、预解算子技巧和辅助原理方法,其中投影方法具有重要作用.然而,求解变分不等式问题的各种投影算法,几乎关于所有收敛性分析的结论都是建立在凸
集上的,这是因为投影算子在凸集上具有的一些性质可能在更为一般的非凸集上不
再成立.例如,在Hilbert空间中投影算子在闭凸集上是非扩张的,然而,非扩张映象在凸集上和在非凸集上的性质却大不相同.如果非扩张映象在一个非空闭凸集上的不
动点集是非空的,则该不动点集一定是闭凸集,就可以在该不动点集上研究投影问题;而非扩张映象在一个非凸集上的不动点集却不一定是凸的,一般也就不能相应地考
虑投影问题.另一方面,在一致凸Banach空间中的有界闭凸集上的非扩张映象有不
动点,在非凸集合上,该结论却不一定成立,等等.
最近,文献[7,8]基于非线性凸分析和非光滑分析的观点,给出了一致近似正规集(非凸集)的定义.在此基础上,Noor[5,9]引入了一类非凸变分不等式问题:设T为一非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的一非凸子集,求u∈Kr,使得
建立了求解非凸变分不等式问题(1.1)的投影算法,并在算子T具有强单调性的条件
下证明了相应迭代序列的收敛性.
本文将进一步研究广义非凸变分不等式问题:设T,g为非线性算子,Kr为Hilbert空
间H 的一非凸子集,求u∈Kr,使得
运用(1.2)式与不动点问题的等价性(引理3.1),定义一个求解广义非凸变分不等式问题的三步投影算法:对给定的u0∈Kr和常数ρ＞0,由下式计算{un}:
其中αn,βn,γn∈(0,1),且PKr表示H 在非凸集Kr上的投影.
本文的目的是在Hilbert空间中,将投影算法推广到广义非凸变分不等式问题,并且在收敛分析中将对算子T的限制条件从强单调减弱到松弛余强制,所得的结果改进并推广了文献[5,6,9]中相应的结论.
设H 是一个实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖,K 是H 中的一个非空凸集.首先,我们介绍一些文献[7,8]中的基本概念和结论.
设u为Hilbert空间H中的一点,以dK(u)=inf
v∈K‖v-u‖ 表示H 到K 的距离,称
设Kr为H 的一个非空子集,对给定的常数r∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥(u)都可以表示为一个r-球,即对任意u∈Kr和0/=ξ∈(u),满足
则称Kr为一致r-近似正规集.
从文献[7,8]可知,一致近似正规集包含p-凸集,H 中的C1,1子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集合.如果r=∞,则一致r-近似正规集Kr与K等价,即Kr=K;如果Kr是一致近似正规集,则近似正规集(u)是闭的集值映象,所以
引理2.1[8,9]设K 为H 的非空闭子集,r∈(0,+∞]如果Kr={u∈H:d(u,K)＜r}是一致近似正规集,则
定义2.1称映象T:H→H 为µ-Lipschitz连续:如果存在常数µ＞0,使得
定义2.2称映象T:H→H 为r-强单调:如果存在常数r＞0,使得
定义2.3称映象T:H→H 为α-强制:如果存在常数α＞0,使得
定义2.4称映象T:H →H 为松弛(γ,r)-余强制:如果存在常数γ＞0,r＞0,使得
注2.1当γ=0时,松弛(γ,r)-余强制映象即r-强单调映象,但其逆命题并不成立.因此,松弛(γ,r)-余强制映象是比r-强单调映象条件更弱的一类映象形式.
由文献[9]可知,非凸变分不等式问题(1.1)与如下变分包含问题等价:
其中(u)表示Kr在u的近似正规锥.类似地,可以建立广义非凸变分不等式问题(1.2)
等价的变分包含问题,并进一步推导如下引理:
引理3.1 u∈Kr为广义非凸变分不等式(1.2)的解的充分必要条件是其中PKr为H 在一致近似正规集Kr上的投影.
证设u∈Kr为问题(1.2)的解,由式(3.1)得
记由引理3.1可知F(u)的不动点即广义非凸变分不等式(1.2)的解.据此,分析问题(1.2)解的存在唯一性和投影算法(1.3)的收敛性.
由式(3.2)得θ∈(0,1),则由Banach压缩映象原理可知F(u)存在唯一不动点,即问题(1.2)的唯一解.
证设u∗∈Kr为式(1.2)的解,由式(1.3),(3.7)和引理3.1得
由式(3.8)可知θ∈(0,1).同理可得
由式(3.10)和(3.11),以及βn,γn∈(0,1)得
将式(3.12)代入式(3.9)得
注3.1定理3.1和定理3.2改进并推广了文献[5,9]中相应的结论.
注3.2式(3.2)是文中收敛性分析的关键条件,如果取k=,δ=2,µ1=2,r1=4,γ1=0.51,可得ρ∈(0.49-,0.49+),说明的确存在这样的系数使得不等式(3.2)成立.
【相关文献】
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