四川省乐山市竹根镇中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析

四川省乐山市竹根镇中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下面选项正确的有（）
A. 分针每小时旋转2π弧度；
B. 在△ABC中，若，则；
C. 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
D. 函数是奇函数.
参考答案：
BD
【分析】
依次判断各个选项，根据正负角的概念可知错误；由正弦定理可判断出正确；根据函数图象可判断出错误；由奇函数的定义可判断出正确.
【详解】选项：分针为顺时针旋转，每小时应旋转弧度，可知错误；
选项：由正弦定理可知，若，则，所以，可知正确；
选项：和在同一坐标系中图象如下：
通过图象可知和有且仅有个公共点，可知错误；
选项：，即定义域关于原点对称
又
为奇函数，可知正确.
本题正确选项：，
【点睛】本题考查与函数、三角函数、解三角形有关的命题的辨析，考查学生对于函数奇偶性、角的概念、初等函数图象、正弦定理的掌握情况.
2. 设，则sin2θ=
A. －
B. －
C.
D.
参考答案：
A
3. 已知等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 已知非零向量、满足, ,则的形状是
( )
A.非等腰三角形
B.等腰三角形而非等边三角形 C .直角三角形 D. 等边三角形
参考答案：
D
5. 已知等差数列{a n}的公差为2，若成等比数列，则（）
A. －4
B. －6
C. －8
D. －10
参考答案：
B
【分析】
通过成等比数列，可以列出一个等式，根据等差数列的性质，可以把该等式变成关于的方程，解这个方程即可.
【详解】因为成等比数列，所以有，又因为是公差为2的等差数列，所以有
，故本题选
B.
【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
6. 函数的定义域是（）
A．B．[1，+∞） C．D．（﹣∞，1]
参考答案：
C
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．
【解答】解：欲使函数的有意义，
须，
∴
解之得：
故选C．
【点评】对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．
7.
参考答案：
D
略
8. 空间一点到三条两两垂直的射线的距离分别是，且垂足分别是，则三棱锥的体积为A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
9. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为（）
A. 5,5
B. 2,5
C. 8,8
D. 5,8
参考答案：
D
【分析】
将甲组和乙组数据从小到大列出来，然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组，解出和的值。

【详解】甲组的个数分别为、、、、或、、、、，由于甲组数据的中位数为，则有，得，
组的个数据分别为、、、、，由于乙组的平均数为，则有
，解得，故选：D
【点睛】本题考查茎叶图以及样本的数据特征，解决茎叶图中的数据问题，弄清楚主干中的数据作高位，叶子中的数据代表低位的数据，另外就是在列数据时，一般是按照由小到大或由大到小进行排列，考查计算能力，属于中等题。

10. 已知函数f(x) (x∈R，f(x)≠0)是偶函数，则函数h(x)=，(x∈R)
A. 非奇函数，又非偶函数
B.是奇函数，又是偶函数
C.是偶函数
D. 是奇函数
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，则= _________
．
参考答案：
12. 在平面直角坐标系中，已知角
的顶点和点
重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一
点坐标为，则．
参考答案：
13. 若集合，则实数a 的值是 ____
参考答案：
略
14. 一条光线从A （﹣，0）处射到点B （0，1）后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为．
参考答案：
2x+y ﹣1=0
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】由反射定律可得点A （﹣，0）关于y
轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，
再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．
【解答】解：由反射定律可得点点A（﹣，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，
再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，
用两点式求得反射光线所在的直线方程为，即2x+y﹣1=0，
故答案为：2x+y﹣1=0．
15. 如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①+=2；② =2+2；
③?=；④（ ?）=（?）．
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
参考答案：
①②④．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的运算法则及正六边形的边、对角线的关系判断出各个命题的正误．
【解答】解：① +==2，故①正确；
②取AD 的中点O，有=2=2（+）=2+2，故②正确；
③∵?﹣?=（+）?﹣?=?≠0，故③错误；
④∵=2，∴（ ?）?=2（?）?=2?（?），故④正确；
故答案为：①②④．
16. 已知||＝||＝2，(＋2)·(－)＝－2，则与的夹角为________．
参考答案：
17. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B＝5b cos A，a sin A﹣b sin B＝2sin C，则边c的值为_______．
参考答案：
3
【分析】
由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解.
【详解】由acosB＝5bcosA得.
由asinA﹣bsinB＝2sinC得，
所以.
故答案：3
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
（1）试求的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
参考答案：
试题解析：（1）当时，设…………1分
因为这时图像过点，代入得
所以…………3分
当时，设，过点
得，即…………6分
故所求函数的关系式为…………7分
略
19. 化简：．
参考答案：
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则，把每一项分别化简求值即可得解
【解答】解：原式=
==6+52=31
【点评】本题考查指数运算与对数运算，须注意根数、分式与指数幂的互化．要求熟练掌握运算法则．属简单题
20. 设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．
（1）求sin（2α+）的值；
（2）求tan（2β﹣）的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2（α+）、cos2
（α+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2α+）的值．
（2）由条件求得tan（α+）、tan（β﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2β﹣）=tan2（β﹣）的值【解答】解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，
∴sin（α+）==，
sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2=，
∴cos2（α+）=1﹣2=，
故sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）cos﹣cos2（α+）sin
=﹣=．
（2）由（1）可得，tan（α+）==，
tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]= = =，
∴tan（2β﹣）=tan2（β﹣）==．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
21. 已知集合，
，求a+b的值；
参考答案：
解析：∵
22. （本小题满分9分）设，b∈R且≠2，函数在区间(－b，b)上是奇函数．
（Ⅰ）求的取值集合；
（Ⅱ）讨论函数在 (－b，b)上的单调性．
`
参考答案：
( 本小题满分9分）(1)函数f(x)＝lg 在区间(－b，b)内是奇函数等价于对任意x∈(－b，b)都有由f(－x)＝－f(x)，得lg ＝－lg ，
由此可得＝，即a2x2＝4x2，此式对任意x∈(－b，b)都成立相当于a2＝4，又∵a≠2，∴a＝－2， ------------ (3分)
代入>0得>0，即－<x<，
此式对任意x∈(－b，b)都成立，相当于－≤－b<b≤，所以b的取值范围是(0，]．
∴的取值集合为[-1，0）. ------------ (5分)
(2)设任意的x1，x2∈(－b，b)，且x1<x2，由b∈(0，]，得－≤－b<x1<x2<b≤，
所以0<1－2x2<1－2x1,0<1＋2x1<1＋2x2， ------------ (7分)
从而f(x2)－f(x1)＝lg －lg ＝lg <lg 1＝0，
因此f(x)在(－b，b)内是减函数． ------------ (9分) 略。