四川省成都市中考数学模拟卷(二)(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

2020年某某省某某市中考数学模拟卷（二）
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019·某某中考模拟）比﹣3大2的数是（）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解析】
﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1．
故选B．
【点睛】
此题考查有理数运算，难度不大
2．（2019·某某中考模拟）下列运算正确的是( )
A．3m+3n＝6mn B．4x3﹣3x3＝1 C．﹣xy+xy＝0 D．a4+a2＝a6
【答案】C
【解析】
A、3m+3n＝6mn，错误；
B、4x3﹣3x3＝1，错误，4x3﹣3x3＝x3；
C、﹣xy+xy＝0，正确；
D、a4+a2＝a6，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了整式的加减，比较简单，容易掌握．注意不是同类项的不能合并．
3．（2019·某某中考模拟）地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用科学记数法表示为（）
A．1.5×108 B．1.5×107 C．1.5×109 D．1.5×106
【答案】A
150 000 000=1.5×108，
故选：A．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2019·某某中考模拟）由7个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置放置的小正方体的个数，则其左视图是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
该几何体的左视图如图所示：
故选A．
【点睛】
本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
5．（2019·某某中考模拟）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180° C．∠2＋∠4＜180° D．∠3＋∠5＝180°
【解析】
A 、∵OC 与OD 不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B 、∵O
C 与O
D 不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C 、∵AB ∥C
D ，∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D 、∵AB ∥CD ，∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选D ．
6．（2019·某某中考模拟）若点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，则m+n 的值是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．﹣12 【答案】C
【解析】
∵点A （m ，n ）和点B （5，-7）关于x 轴对称，∴m=5，n=7，则m+n 的值是：12．故选C ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴对称点的性质，熟记横纵坐标的符号是解题的关键．
7．（2019·某某中考模拟）解分式方程13211x x
-=--，去分母得（） A ．12(1)3--=-x B ．12(1)3--=x
C ．1223--=-x
D ．1223-+=x 【答案】A
【解析】
解：方程两边乘以（x-1）
去分母得：12(1)3--=-x ．故选：A ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．（2019·某某中考模拟）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）
A．80 B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重D．该校初三学生的体重
【答案】C
【解析】
样本是被抽取的80名初三学生的体重，故选C．
【点睛】
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是X围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
9．（2019·某某博海学校中考模拟）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）
A．8 B．10 C．3D．45
【答案】D
【解析】
解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD2222
--=,
BO BD
543
∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB22
+，
8445
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．
10．（2019·某某中考模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值X围为() A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解析】
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值X围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与
b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11．（2019·某某中考模拟）已知a＜0，那么2a|可化简为_____．
【答案】﹣3a
【解析】
∵a＜0，
∴2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．
【点睛】
本题主要考查了根据二次根式的意义化简．当a≥0a；当a≤0
＝﹣a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．
12．（2019·某某中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是_____．
【答案】15
【解析】
解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是:1
2
×DE×BC=
1
2
×10×3=15，
故答案为15．
13．（2019·某某师X大学附属中学仙林学校中考模拟）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在
反比例函数y＝6
x
的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是__________．
【答案】y3＜y2＜y1．
【解析】
把点A（1，y1）,B（2,y2）,C（-3,y3）代入反比例函数得，所以．14．（2019·某某中考模拟）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为_____．
【答案】14
【解析】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD 的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
三、解答题 （本大题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（1）214cos 45()12
-︒+-.
【解析】
解：原式4412
=⨯+-
=
【点睛】
本题考查二次根式的性质、特殊角三角函数值、负整数指数幂和零次幂的性质，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
（2）（2019·某某中考模拟）（x+3）（x ﹣1）=12（用配方法）
【答案】x 1=3，x 2=﹣5
【解析】
将原方程整理，得x 2
+2x =15，
两边都加上12，得x 2+2x +12=15+12，
即（x +1）2=16，
开平方，得x +1=±4，
即x +1=4，或x +1=－4，
∴x 1=3，x 2=－5.
点睛：用配方法进行配方时先将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
16．（2019·某某中考模拟）先化简，再求值：2311221
x x x x x x -⎛⎫-
÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 满足210x x --=. 【答案】1
【解析】 原式=2
1(2)2111
x x x x x x x x x -+⋅-+-+=+ ∵x 2−x −1=0，∴x 2
=x+1， 则原式=1.
17．（2019·某某中考模拟）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为°；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【答案】（1）200，40；（2）144；（3）该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
【解析】
解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1﹣30
200
﹣20%﹣25%）＝
144°，
故答案为：144；
（3）20000×（1﹣30
200
﹣20%）＝13000（人），
答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．
18．（2019·某某中考模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为米.求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．
【答案】AH的高度是(7.53+1.5)米，AB的高度是31)米.
【解析】
解：由题意可知∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，FG＝15.
设CD＝x米，则在Rt△ACD中，由tan
AC ADC
DC
∠＝得AC3x.
又Rt△ACE中，由cot
EC AEC
AC
＝
∠得EC＝3x. ∴3x＝15＋x.
∴x ＝7.5. ∴AC ＝7.53.∴AH ＝7.53 1.5＋.
∵在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∴BC ＝DC ＝7.5.∴AB ＝AC ﹣BC ＝()7.5
31-． 答：AH 的高度是(7.53 1.5＋)米，AB 的高度是()7.5
31-米. 【点睛】
本题考查的是三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
19．（2019·某某中考模拟）如图，直线y=kx+2与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0）和点B ，与反比例函数y=m x
的图象在第一象限内交于点C （1，n ）． （1）求一次函数y=kx+2与反比例函数y=m x
的表达式； （2）过x 轴上的点D （a ，0）作平行于y 轴的直线l （a ＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=
m x 交于P 、Q 两点，且PQ=2QD ，求点D 的坐标．
【答案】()1一次函数解析式为22y x =+；反比例函数解析式为4y x =
；()()22,0D ． 【解析】
（1）把A （﹣1，0）代入y =kx +2得﹣k +2=0，解得k =2，
∴一次函数解析式为y =2x +2；
把C （1，n ）代入y =2x +2得n =4，
∴C （1，4），
把C （1，4）代入y =m x
得m =1×4=4， ∴反比例函数解析式为y =
4x ； （2）∵PD ∥y 轴，
而D （a ，0），
∴P（a，2a+2），Q（a，4
a ），
∵PQ=2QD，
∴2a+2﹣4
a
=2×
4
a
，
整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），
∴D（2，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.
20．（2019·某某中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC=90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB=∠P，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=∠P，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠B AC=90°，
在Rt△ABC中，
，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴
∵△ABD∽△DCP，
∴AB BD
CD CP
=，
2
CP
=，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.
B 卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
21．（2019·某某中考模拟）若关于x 的分式方程2
233
x m x x -=
--有增根，则m 的值为_____． 3【解析】
方程两边都乘x-3，得 x-2（x-3）=m 2， ∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=3 【点睛】
解决增根问题的步骤： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22．（2019·某某中考模拟）若a 是方程2310x x -+=的解，计算：2
2
331
a
a a a -++=______. 【答案】0 【解析】
∵a 是方程x 2﹣3x +1=0的一根，
∴a 2﹣3a +1=0，即a 2﹣3a =﹣1，a 2+1=3a ∴2
233=11=01
-+
-++a
a a a 故答案为0． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．
23．（2019·中考模拟）高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,A B C D E 的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
在,,,,A B C D E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________. 【答案】B 【解析】
同时开放A 、E 两个安全出口，与同时开放D 、E 两个安全出口，20分钟的通过数量发现得到D 疏散乘客比A 快；
同理同时开放BC 与 CD 进行对比，可知B 疏散乘客比D 快; 同理同时开放BC 与 AB 进行对比，可知C 疏散乘客比A 快; 同理同时开放DE 与 CD 进行对比，可知E 疏散乘客比C 快; 同理同时开放AB 与 AE 进行对比，可知B 疏散乘客比E 快; 所以B 口的速度最快 故答案为B ． 【点睛】
本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是
基础题．
24．（2019·某某中考模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB 的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于_____．
【答案】6
【解析】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝S Rt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝S Rt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝S Rt△ABC﹣S Rt△ABC+S Rt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故答案是：6．
【点睛】
本题考查正方形的性质及三角形全等的判定与性质，根据已知条件证得S2＝S Rt△ABC，S3＝S Rt△AQF＝S Rt△ABC，S4＝S Rt△ABC是解决问题的关键．
25．（2019·某某中考模拟）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=
3
x
（x＞0）上，点B1的坐标为
（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____．
【答案】（6，0）．
【解析】
如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A23，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a3）．
∵点A2在双曲线y=
3
x
（x＞0）上，
∴（2+a33
解得2﹣1，或a=2﹣1（舍去），∴OB2=OB1+2B12﹣2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A33，
OD=OB2+B2D=22+b，A2（22+b，3b）．
∵点A3在双曲线y=
3
x
（x＞0）上，
∴（22+b）•3b=3，
解得b=﹣2+3，或b=﹣2﹣3（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=22﹣22+23=23，
∴点B3的坐标为（23，0）；
同理可得点B4的坐标为（24，0）即（4，0）；
…，
∴点B n的坐标为（2n，0），
∴点B6的坐标为（26，0），
故答案为：（26，0）．
【点睛】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点B n的规律是解题的关键．
二、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）26．（2019·某某中考模拟）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值X围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否
在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？
【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】
解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
，
解得：20
500k b =-⎧⎨=⎩
，
即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；
（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣
2b a ＝31
2
＝时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝时，y ＝190， 50×190＜12000，
故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ， 由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，
w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），
当x ＝13时，w ＝1680，
此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值X围内求最大值（或最小值）.
27．（2018·某某中考模拟）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=2AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=25，CE=2，求线段AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.
【解析】
解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠
DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，
EK ED EKF ADE KF AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平
分CD ，而CE =2，∴EH =DH =CH =2，Rt △ACH 中，AH =22252（）（）
=32，∴AE =AH +EH =42．
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
28．（2019·某某中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；
（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y==x 2
-4x+3； （2）AS △ACD =2；
（3）①∠DFE=90°时，E 1（22）; E 2（22）；②∠EDF=90°时，E 3（1，2）、E 4（4，-1）． 【解析】
解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a （x-2）2-1，代入C （O ，3）后，得：
word
21 / 21 a （0-2）2-1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=（x-2）2-1=x 2-4x+3．（2）由（1）知，A （1，0）、B （3，0）；设直线BC 的解析式为：y=kx+3，代入点B 的坐标后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直线BC ：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D （2，1）；∴
，
，
，即：AC 2=AD 2+CD 2，△ACD 是直角三角形，且AD ⊥CD ；
∴S △ACD =12AD•CD=12
=2．（3）由题意知：EF ∥y 轴，则∠FED=∠OCB ，若△OCB 与△FED 相似，则有：①∠DFE=90°，即 DF ∥x 轴；将点D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x 2
-4x+3=1，解得
；当
时，
；当
时，
；∴E 1（
，
）、E 2（
，
）．②∠EDF=90°；易知，直线AD ：y=x-1，联立抛物线的解析式有： x 2-4x+3=x-1，
x 2-5x+4=0，解得 x 1=1、x 2=4；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴E 3（1，2）、E 4（4，-1）；综上，存在符合条件的点E ，且坐标为：（
，
）、（
，
）、（1，2）或（4，-1）． “点睛”此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．。