高三第四次大练习数学试题(文科)

高三第四次大练习数学试题（文科）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生了概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分； 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若函数)(x f y =的图象如右图所示，则
函数)1(x f y -=的图象大致为（ ）
A B C D
2.设全集是实数集，若{}01≤+=x x M ，{
}
2
222
+==x x x N ，则N M 等于（ ）
A. {}
2≤x x B. φ C. {}1- D.{}2 3. 函数x
x y cos sin 21
++=
的最大值是（ ）
A.
122
- B. 122+ C. 221-
D. 2
2
1-- 4. 设m 、n 是异面直线，则
(1)一定存在平面α，使α⊂m 且n ∥α (2)一定存在平面α，使α⊂m 且α⊥n
(3)一定存在平面γ，使m ，n 到γ的距离相等
(4)一定存在平面α、β，使α⊂m ，β⊂n ，且βα⊥
上述4个命题中正确的个数为 （ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 5．已知等差数列==16
884,31
,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前 （ ）
A ．
8
1
B ．
31 C ．
9
1 D ．
10
3
6．双曲线122
22=-b
y a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则
双曲线的离心率为（ ）
A ．
3
32 B ．2 C ．3
D ．2 7.等差数列为则已知中n a a a a a n n ,33,4,3
1
,}{521==+=
（ ）
A ．48
B ．49
C ．50
D ．51
8. 直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）
A. 直线与圆相切
B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离
D. 直线过圆心
9．定义在R 上的偶函数0)(log ,0)2
1(,),0[)(4
1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的
集合为 （ ）
A ．),2()21,(+∞⋃-∞
B ．)2,1()1,2
1(⋃ C ．),2()1,2
1(+∞⋃
D ．),2()2
1,0(+∞⋃
10. 某校有6名学生参加全国数学联赛后，预测至少有两名学生获一等奖.则这种预测各种
可能的种数为：①26C ；②66
5646362C C C C +++；③726
-；④2
6A ，则正确的结论是 （ ）
A. 仅有①
B. 仅有②
C. 有②和③
D. 仅有④ 11．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{}n a ，数列{}n b 满足1,2,21-=≥=n b n a b n b 时当，则b 5等于（ ） A ．63 B ．33
C ．17
D ．15
12. 如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长 为2的等边三角形，设直线)20(:≤≤=t t x l 截这个三角形 所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f )(t ，则 函数)(t f s =的图像只可能是（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．若A （6，m ）是抛物线px y 22=上的点，F 是抛物线的焦点，且|AF|=10，则此抛物线
的焦点到准线的距离为 .
14．若实数x,y 满足22(x 1)(y 2)5
y 2x ⎧-+-≤⎨≥⎩
，则x+y 的最大值为 。

15．将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一
个公共点(3，1)，则向量a =_________. 16．给出下列四个命题：① 函数c bx x x x f ++=)(为奇函数的充要条件是c =0； ②函数)0(2>=-x y x
的反函数是2log (0)y x x =->；
③若函数)lg()(2a ax x x f -+=的值域是R ，则4-≤a 或0≥a ；
④ 若函数)1(-=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称。

其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数.3
cos 33cos 3sin
)(2x
x x x f += （Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2
=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函
数f(x)的值域.
18. （本小题满分12分）有A ，B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B 袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2.从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片. 求：（Ⅰ）取出的3张卡片都写0的概率；
（Ⅱ）取出的3张卡片数字之积是4的概率. 19．（本小题满分12分）如图所示，△ABC 是正三角形， AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ，CD=a ，F 为 BE 的中点.
（1）求证：DF ∥平面ABC ； （2）求证：AF ⊥BD ；
（3）求平面ABC 与平面BED 所成锐二面角的大小。

20. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,1n n a n a S n n +=⋅=++， （2）令n
n
n S T 2=
，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：
（1）求数列{}n a 的通项公式;
②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

21. （本小题满分12分）设函数3
2
1
1g(x)=x ax bx,(a,b R)3
2
+-∈在其图象上一点P(x,y)处的切线的的斜率记为f(x).
（1）讨论函数g(x)的极值的个数。

(2)若方程f(x)=0有两个实根分别为,αβ，且α=β+1，求证：f(-a)=2
1(a 1);4
- （3）若g(x)在区间[1,3]-上是单调递减函数，求2
2
a b +的最小值。

22. (本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为24
9
-=y ，且离心率e 满足
32，e ，3
4
成等比数列. (1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线
21
-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
高三数学试题参考答案（文科）
一、选择题:
1A 2 C 3B 4C 5D 6B 7 C 8A 9D 10C 11C 12C
二、填空题：
13．8； 14． 6 ； 15． (2,0) ； 16．①③
17．(本小题满分12分)
（I ）解： 2
3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f
由)332sin(
π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ2
13)(332得
即对称中心的横坐标为z k k ∈-π2
1
3…………6分 （Ⅱ）由已知b 2
=ac ，
2222221
cos
2222
125
cos109
233339
52
||||sin sin()1
3292333
2
sin()1
33
a c
b a
c ac ac ac
x
ac ac ac
x
x x
x
x
ππππ
ππππππ
π
+-+--
==≥=
∴≤<<≤<+≤
->-∴<+≤
++≤+
分
即)
(x
f的值域为]
2
3
1,3
(+
综上所述，]
3
,0(
π
∈
x)
(x
f值域为]
2
3
1,3
(+…………12分
18. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)
21
1
2
7
1
6
2
4
1
1=
⋅
⋅
=
C
C
C
C
P…………………………………………………6分
(Ⅱ)
63
4
2
7
1
6
1
2
1
1
1
3
2
2
1
2=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
C
C
C
C
C
C
C
P…………………………………………12分
19. (1)取AB的中点G,连结FG、GC. F为BE的中点. ∴FG∥AE且FG=
2
1
AE=a,而AE⊥平面ABC ∴FG⊥平面ABC,又CD⊥平面ABC, ∴FG∥CD且FG=CD=a. ∴CDFG为平行四边形.于是DF∥CG. 故DF∥平面ABC (4分)
(2). AE⊥平面ABC. ∴平面EAB⊥平面ABC,又△ABC为正三角形,G为AB的中点,
∴CG⊥AB,则CG⊥平面EAB. 由(1)可知DF∥CG. ∴DF⊥平面EAB. ∴DF⊥AF.而
EA=AB. F为BE中点. ∴BE⊥AF. 于是AF⊥平面EBD ∴AF⊥BD (8分)
(3)延长ED,AC交于H,连结BH,则BH为所求二面角的棱,过CK⊥BH,垂足为K,连结DK,
DC⊥平面BCH, ∴DK⊥BH, ∴∠DKC为所求二面角的平面角.由,
2
,a
AE
a
CD=
=知,
2a
CH=由余弦定理得,
3
2a
BH=又由120
sin
.
2.
2.
2
1
a
a°=CK
a.
3
2.
2
1
得∴
=.a
CK∠DKC=45°即平面ABC与平面BED所成二面角的大小为45°。

(12分) 20．解：（1）令1
=
n，2
1
1
1
2
⋅
+
=
⋅a
a，即2
1
2
=
-a
a
由
()
()()
⎩
⎨
⎧
-
+
=
⋅
-
+
+
=
⋅
-
+
1
1
1
1
1
n
n
S
a
n
n
n
S
a
n
n
n
n
n()()2
2
2
1
1
1
≥
=
-
⇒
+
=
-
-
⋅
⇒
+
+
n
a
a
n
a
a
n
a
n
n
n
n
n
n
∵2
1
2
=
-a
a，∴()*
1
2N
n
a
a
n
n
∈
=
-
+
，即数列{}n a是以2为首项、2为公差的等差
数列， ∴n a n 2= （6分） （2）①()()()112
21212++++=>+==
n n n n n n n n T n n S T ，即
()
*2N n n ∈> （9分） ②∵2
3
,123211====
T T S T ，又∵2>n 时，1+>n n T T ∴各项中数值最大为
2
3
，∵对一切正整数n ，总有m T n ≤恒成立，因此3m 2≥（12分）
21．解：根据导数的几何意义知/2f (x)g (x)x ax b ==+-
（1）当20,a +b 0∆≤≤时即时，2f (x)x ax b 0=+-≥恒成立，
g(x)在R 上单调递增，g(x)无极值。

当2
0,a +b 0∆>>时即时，
f (x)=0有两个不等的实根，设为12x x <，由于12f (x)x x ,)-∞+∞在（，），（大于零，在12(x ,x )小于零，
12g(x)x x ,)-∞+∞在（，），（递增，在12(x ,x )递减，所以12x ,x 分别为g(x)的极大值
和极小值，共两个。

------------(4分)
（2）由已知,αβ是方程2
x ax b=0+-的两个实根。

由韦达定理，得a b αβαβ+=-⎧⎨=-⎩
又222221a 1
1,b (a 1)
(1)b 41f (a)a a b=-b=(a 1)4
βαβββ+=-⎧=+∴∴-=-⎨+=-⎩∴-=---，得证。

（8分） （3）g(x)在区间[1,3]-上是单调递减函数，所以在[-1，3]区间上恒有
/2f (x)g (x)x ax b 0==+-≤，即2f (x)x ax b 0=+-≤在[-1，3]恒成立，
这只需满足f (1)0a b 1
f (3)0b 3a 9
-≤+≥⎧⎧⎨
⎨
≤-≥⎩⎩即可，也即 而22
a b +可视为平面区域a b 1
b 3a 9+≥⎧⎨
-≥⎩
内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原
点最近。

所以当a 2b 3
=-⎧⎨
=⎩时，22
a b +有最小值13．-----------------（12分）
22．解：（1）∵
34,,32e 成等比数列 ∴34322⨯=e 23
2
=e ……………3分 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
99,3222
4
9)22(2222=+=+++y x y y x 化简得………………………5分
即19
2
2
=+y x 为所求的椭圆方程.……………………………………………………7分 （2）假设l 存在，因l 与直线2
1
-
=x 相交，不可能垂直x 轴 因此可设l 的方程为：m kx y +=由………………………………………………8分
整理得得消去9)(9,9
92
22
2=++⎩⎨⎧=++=m kx x y y x m kx y 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①…………………………………………9分
方程①有两个不等的实数根
∴090)9)(9(442
2
2
2
2
2
<-->-+-=∆k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9
22
21+-=+k km
x x ∵线段MN 恰被直线21
-
=x 平分 ∴19
2221221
-=+-+=-k km x x 即………11分 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29(
22
2<+-+k k k ∵092
>+k ∴22
9104k k
+-< ∴32
>k 解得3>k 或3-<k ∴直线l 的倾斜角范围为)3
2,2()2,3(π
ππ
π ……………………………………14分。