南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(19)
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︵ (1) 用 θ 表示 AE，EF 及弧长 EF ； (2) 记路程 AE、弧长︵ EF 及 BE，FC 四段长总和为 l，当 θ 取何值时，l 取得最小值?
10(km)
R＝103 3(km)
（第 18 题）
解 (1)在 ΔABE 中，由正弦定理可知:siAn6E0º＝s1in0θ∴AE＝5sinθ3
3/7
17．(本小题满分 14 分) 如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点)、澳门(B 点)､香港(C 点)．线段 AB 长度为 10(km)，线段 BC 长 度为 40(km)，且∠ABC＝60º．澳门(B 点)与香港(C 点)之间有一段海底隧道，连接人工岛 E 和人
工岛 F，海底隧道是以 O 为圆心，半径 R＝103 3(km)的一段圆弧 EF，从珠海点 A 到人工岛 E 所 在的直线 AE 与圆 O 相切，切点为点 E，记∠AEB＝θ，θ∈[π6，π2)．
金陵中学 2020 届高三数学检测卷（19）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． 1．若集合 P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{0，2，3}，则 P∩Q＝________． [答案] {0，2} [解析]因为 0，2∈P，且 0，2∈Q，所以 P∩Q＝{0，2}． 2．若复数 z＝a＋2i(i 为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则 a 的值为 ．
[答案]
8 3
解析：2a2－ab－b2－4＝(a－b)(2a＋b)＝4，
令 a－b＝t，2a＋b＝4t ，t＞0，则 a＝13(t＋4t )，b＝23(2t －t)，
∴2a－b＝43(t＋1t )≥83，当且仅当 t＝1 时取等号．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2＋y2＝1，直线 l：x＋ay－3＝0，过直线 l 上一点 Q 作圆 O 的切线，切点为 P，N，且→ QP·→ QN＝23，则正实数 a 的取值范围是 ▲ ．
3(4cos3θ－4cos2θ－7cosθ＋4) 3sin2θ
………………10 分
5 3(2cosθ－1)(2cos2θ－cosθ－4)
即 l'＝
3sin2θ
……………12 分
由 t＝cosθ∈(0， 23]，则 2cos2θ－cosθ－4＝2t2－t－4＜0
……………14 分
当π6≤θ＜π3时，l'＜0；当π3≤θ＜π2时，l'＞0
的最小值为2π． 3
9. 函数 f(x)＝a·ex－e－x 在 x＝0 处的切线与直线 y＝2x－3 平行，则不等式 f(x2－1)＋f(1－x)＜0 的
解集为 ▲ ．
[答案] (0，1)
1/7
[解析]由 f'(0)＝a＋1＝2，解得 a＝1，所以 f(x)＝ex－e－x 既是奇函数又是增函数，不等式 f(x2－1)＋
(n＋1)． 11．设 a 为实数，已知函数 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，且 f(2a－3)＝f(a)，则满足条件的 a 构成的集合为
▲． [答案] {1，3}
解析：f(x)＝－ 2，2x－，1x≤＜x－≤11， 2x，x＞1
由 f(2a－3)＝f(a)，得 2a－3＝a 或 2a－3＋a＝0 或－ －11≤ ≤a2≤ a－13≤1，解得 a＝1 或 a＝3． 12．已知 a，b∈R，a＞b，若 2a2－ab－b2－4＝0，则 2a－b 的最小值为 ▲ ．
在△ABC 中，因为 AB＝AC，E 是 BC 的中点，所以 AE⊥BC．②···················12 分
由①，②及 BC1∩BC＝B，BC1，BC平面 BCC1B1，
知 AE⊥平面 BCC1B1． ··············································································14 分
∴l 在(π6，π3)上单调递减，在(π3，π2)上单调递增
答：当 θ＝π3时，l 取得最小值．
……………16 分
4/7
18．(本小题满分 16 分) 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左､右焦点分别为 F1，F2，点 M(0，2)是椭圆的一个顶点，ΔF1MF2 是等腰直角三角形．
法，所以甲与乙中至少有一人被录用共有 6－1＝5 种选法，甲与乙中至少有一人被录用的概率为56．
7．已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
[答案] －3
[解析]因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2mm－＋2nn＝＝9－，8，解得mn＝＝52，，故 m－n＝－3．
∴正实数 a≥ 2．
14．设函数 f(x)＝|2x3－3x2－a|，若对任意的实数 a，总存在 x0∈[0，2]，使得 f(x0)≥m，则实数 m 的取值范围是___▲_____．
[答案] (－∞，52] 解析：令 g(x)＝2x3－3x2－a，x∈[0，2]，g’(x)＝6x(x－1)，
知 g(x)在(0，1)递减，(1，2)递增，g(0)＝－a，g(1)＝－a－1，g(2)＝4－a． ①a≥4 时，f(x)∈[a－4，a＋4] a＋1≥5≥m； ②a≤－1 时，f(x)∈[－a－1，4－a] 4－a≥5≥m； ③a∈(－1，32]时，f(x)∈[0，4－a] 4－a≥52≥m； ④a∈(32，4)时，f(x)∈[0，a＋1] a＋1＞52≥m． 综上，m∈(－∞，52]．
……………2 分
在 ΔOEF 中，EF＝2Rsinθ＝203 3sinθ ︵ EF ＝2θ·R＝203 3θ
……………4 分 ……………6 分
(2)l＝5sinθ3＋203 3θ＋40－203 3sinθ，π6≤θ＜π2
……………8 分
∴l'＝5
3(－3cosθ＋34ssinin2θ2θ－4cosθsin2θ)＝5
960∶940∶900＝48∶47∶45，故抽取高二年级学生人数为 140×48＋4477＋45＝47．
4．函数 y＝ log21x的定义域为________．
[答案] (0，1]
[解析]由xlo＞g120x，≥0，得xx＞≤01，，所以 0＜x≤1，即该函数的定义域为(0，
1]．
1 5．下图是一个算法流程图，若输入 x 的值为16，则输出的 y 的值
是
．
[答案] －2
[解析]根据算法的流程图可知 y＝22＋x，log2xx≥，1x， ＜1．，由于输入 x＝116，则有 y＝2＋log2116＝2－4＝ －2．
6．某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中
至少有一人被录用的概率为
．
[答案]
5 6
[解析]从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人共有 6 种选法，甲与乙都没有被录用共有 1 中选
16．(本小题满分 14 分)
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC，A1C⊥BC1，
A1
AB1⊥BC1，D，E 分别是 AB1 和 BC 的中点．
C1
求证：(1)DE//平面 ACC1A1；
B1
(2)AE⊥平面 BCC1B1．
证 (1)如图，连结 A1B．
D
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1 ∥=BB1，
[答案] [ 2，＋∞) 解析：设∠POQ＝θ (0＜θ＜π2)，OQ＝d＞1，
则→ QP ·→ QN＝|→ QP |2·cos2θ＝(d2－1)(1－2sinθ)＝(d2－1)(1－d22)＝d2＋d22－3，
∴d2＋d22－3＝23，解得 d＝ 3，即点 Q 在圆 x2＋y2＝3 上． 又点 Q 在直线 l：x＋ay－3＝0 上，∴圆心 O 到直线 l 的距离错误!≤错误!，
[答案] 5 [解析]因为 z＝a＋2i(i 为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，即 a2＋4＝9，解得 a＝ 5． 3．某高中共有学生 2 800 人，其中高一年级 960 人，高三年级 900 人，现采用分层抽样的方法，抽 取 140 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________． [答案] 47 [解析]由条件可得高二年级有学生 2 800－960－900＝940(人)，则三个年级学生人数之比为
8．若将函数 y＝cosx－ 3sinx 的图象向左平移 m(m＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实数
m 的最小值为 ▲ ．
[答案]
2π 3
[解析]因为 y＝2cos(x＋π3)的图象向左平移 m 个单位后解析式为 y＝2cos(x＋π3＋m)，所以π3＋m＝k，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kZ，又因为
m＞0，所以
m
2/7
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分)
设向量 a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 λ＞0，0＜α＜β＜π2，且 a＋b 与 a－b 互相垂直． (1)求实数 λ 的值； (2)若 a·b＝45，且 tanβ＝2，求 tanα 的值． 解 (1)因为 a＋b 与 a－b 垂直，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， 所以 cos2α＋λ2sin2α－1＝0． ··········································································2 分 又 sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0．··················································4 分 由 0＜α＜π2，知 sin2α≠0，故 λ2－1＝0，解得 λ＝±1，又 λ＞0，所以 λ＝1． 此时，a＋b，a－b 均为非零向量，故 λ＝1． ··············································6 分 (2)由(1)知 a＝(cosα，sinα)． 若 a·b＝45，则 cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，即 cos(α－β)＝45．·······························8 分 又 0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0， 所以 sin(α－β)＝－ 1－cos2(α－β)＝－35． ·······················································10 分 所以 tan(α－β)＝csoins((αα－－ββ))＝－34，····························································12 分 故 tanα＝tan(α－β＋β)＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)tatannββ＝12．···············································14 分
f(1－x)＜0 等价于 x2－1＜x－1，解得 0＜x＜1．
10. 首项为 7 的数列{an}满足：(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0，则 a2019－a2018 的值为 ▲ ．
[答案]
7 2
[解析]由(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0 得，当 nN*时，na＋n＋12＝n＋an1，所以{n＋an1}为常数列，所以 an＝72
A
所以四边形 AA1B1B 是平行四边形．
又 D 是 AB1 的中点，所以 D 是 BA1 的中点，··············2 分
所以在△BA1C 中，有 DE∥A1C．
又 DE平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1，
C
E B （第 16 题图）
所以 DE//平面 ACC1A1． ··············································6 分
(2)由(1)知 DE∥A1C，又 A1C⊥BC1，所以 BC1⊥DE． ···································8 分
又 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面 ADE，
所以 BC1⊥平面 ADE．
又 AE平面 ADE，所以 AE⊥BC1．① ······················································10 分
10(km)
R＝103 3(km)
（第 18 题）
解 (1)在 ΔABE 中，由正弦定理可知:siAn6E0º＝s1in0θ∴AE＝5sinθ3
3/7
17．(本小题满分 14 分) 如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点)、澳门(B 点)､香港(C 点)．线段 AB 长度为 10(km)，线段 BC 长 度为 40(km)，且∠ABC＝60º．澳门(B 点)与香港(C 点)之间有一段海底隧道，连接人工岛 E 和人
工岛 F，海底隧道是以 O 为圆心，半径 R＝103 3(km)的一段圆弧 EF，从珠海点 A 到人工岛 E 所 在的直线 AE 与圆 O 相切，切点为点 E，记∠AEB＝θ，θ∈[π6，π2)．
金陵中学 2020 届高三数学检测卷（19）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． 1．若集合 P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{0，2，3}，则 P∩Q＝________． [答案] {0，2} [解析]因为 0，2∈P，且 0，2∈Q，所以 P∩Q＝{0，2}． 2．若复数 z＝a＋2i(i 为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则 a 的值为 ．
[答案]
8 3
解析：2a2－ab－b2－4＝(a－b)(2a＋b)＝4，
令 a－b＝t，2a＋b＝4t ，t＞0，则 a＝13(t＋4t )，b＝23(2t －t)，
∴2a－b＝43(t＋1t )≥83，当且仅当 t＝1 时取等号．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2＋y2＝1，直线 l：x＋ay－3＝0，过直线 l 上一点 Q 作圆 O 的切线，切点为 P，N，且→ QP·→ QN＝23，则正实数 a 的取值范围是 ▲ ．
3(4cos3θ－4cos2θ－7cosθ＋4) 3sin2θ
………………10 分
5 3(2cosθ－1)(2cos2θ－cosθ－4)
即 l'＝
3sin2θ
……………12 分
由 t＝cosθ∈(0， 23]，则 2cos2θ－cosθ－4＝2t2－t－4＜0
……………14 分
当π6≤θ＜π3时，l'＜0；当π3≤θ＜π2时，l'＞0
的最小值为2π． 3
9. 函数 f(x)＝a·ex－e－x 在 x＝0 处的切线与直线 y＝2x－3 平行，则不等式 f(x2－1)＋f(1－x)＜0 的
解集为 ▲ ．
[答案] (0，1)
1/7
[解析]由 f'(0)＝a＋1＝2，解得 a＝1，所以 f(x)＝ex－e－x 既是奇函数又是增函数，不等式 f(x2－1)＋
(n＋1)． 11．设 a 为实数，已知函数 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，且 f(2a－3)＝f(a)，则满足条件的 a 构成的集合为
▲． [答案] {1，3}
解析：f(x)＝－ 2，2x－，1x≤＜x－≤11， 2x，x＞1
由 f(2a－3)＝f(a)，得 2a－3＝a 或 2a－3＋a＝0 或－ －11≤ ≤a2≤ a－13≤1，解得 a＝1 或 a＝3． 12．已知 a，b∈R，a＞b，若 2a2－ab－b2－4＝0，则 2a－b 的最小值为 ▲ ．
在△ABC 中，因为 AB＝AC，E 是 BC 的中点，所以 AE⊥BC．②···················12 分
由①，②及 BC1∩BC＝B，BC1，BC平面 BCC1B1，
知 AE⊥平面 BCC1B1． ··············································································14 分
∴l 在(π6，π3)上单调递减，在(π3，π2)上单调递增
答：当 θ＝π3时，l 取得最小值．
……………16 分
4/7
18．(本小题满分 16 分) 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左､右焦点分别为 F1，F2，点 M(0，2)是椭圆的一个顶点，ΔF1MF2 是等腰直角三角形．
法，所以甲与乙中至少有一人被录用共有 6－1＝5 种选法，甲与乙中至少有一人被录用的概率为56．
7．已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
[答案] －3
[解析]因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2mm－＋2nn＝＝9－，8，解得mn＝＝52，，故 m－n＝－3．
∴正实数 a≥ 2．
14．设函数 f(x)＝|2x3－3x2－a|，若对任意的实数 a，总存在 x0∈[0，2]，使得 f(x0)≥m，则实数 m 的取值范围是___▲_____．
[答案] (－∞，52] 解析：令 g(x)＝2x3－3x2－a，x∈[0，2]，g’(x)＝6x(x－1)，
知 g(x)在(0，1)递减，(1，2)递增，g(0)＝－a，g(1)＝－a－1，g(2)＝4－a． ①a≥4 时，f(x)∈[a－4，a＋4] a＋1≥5≥m； ②a≤－1 时，f(x)∈[－a－1，4－a] 4－a≥5≥m； ③a∈(－1，32]时，f(x)∈[0，4－a] 4－a≥52≥m； ④a∈(32，4)时，f(x)∈[0，a＋1] a＋1＞52≥m． 综上，m∈(－∞，52]．
……………2 分
在 ΔOEF 中，EF＝2Rsinθ＝203 3sinθ ︵ EF ＝2θ·R＝203 3θ
……………4 分 ……………6 分
(2)l＝5sinθ3＋203 3θ＋40－203 3sinθ，π6≤θ＜π2
……………8 分
∴l'＝5
3(－3cosθ＋34ssinin2θ2θ－4cosθsin2θ)＝5
960∶940∶900＝48∶47∶45，故抽取高二年级学生人数为 140×48＋4477＋45＝47．
4．函数 y＝ log21x的定义域为________．
[答案] (0，1]
[解析]由xlo＞g120x，≥0，得xx＞≤01，，所以 0＜x≤1，即该函数的定义域为(0，
1]．
1 5．下图是一个算法流程图，若输入 x 的值为16，则输出的 y 的值
是
．
[答案] －2
[解析]根据算法的流程图可知 y＝22＋x，log2xx≥，1x， ＜1．，由于输入 x＝116，则有 y＝2＋log2116＝2－4＝ －2．
6．某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中
至少有一人被录用的概率为
．
[答案]
5 6
[解析]从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人共有 6 种选法，甲与乙都没有被录用共有 1 中选
16．(本小题满分 14 分)
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC，A1C⊥BC1，
A1
AB1⊥BC1，D，E 分别是 AB1 和 BC 的中点．
C1
求证：(1)DE//平面 ACC1A1；
B1
(2)AE⊥平面 BCC1B1．
证 (1)如图，连结 A1B．
D
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1 ∥=BB1，
[答案] [ 2，＋∞) 解析：设∠POQ＝θ (0＜θ＜π2)，OQ＝d＞1，
则→ QP ·→ QN＝|→ QP |2·cos2θ＝(d2－1)(1－2sinθ)＝(d2－1)(1－d22)＝d2＋d22－3，
∴d2＋d22－3＝23，解得 d＝ 3，即点 Q 在圆 x2＋y2＝3 上． 又点 Q 在直线 l：x＋ay－3＝0 上，∴圆心 O 到直线 l 的距离错误!≤错误!，
[答案] 5 [解析]因为 z＝a＋2i(i 为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，即 a2＋4＝9，解得 a＝ 5． 3．某高中共有学生 2 800 人，其中高一年级 960 人，高三年级 900 人，现采用分层抽样的方法，抽 取 140 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________． [答案] 47 [解析]由条件可得高二年级有学生 2 800－960－900＝940(人)，则三个年级学生人数之比为
8．若将函数 y＝cosx－ 3sinx 的图象向左平移 m(m＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实数
m 的最小值为 ▲ ．
[答案]
2π 3
[解析]因为 y＝2cos(x＋π3)的图象向左平移 m 个单位后解析式为 y＝2cos(x＋π3＋m)，所以π3＋m＝k，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kZ，又因为
m＞0，所以
m
2/7
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分)
设向量 a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 λ＞0，0＜α＜β＜π2，且 a＋b 与 a－b 互相垂直． (1)求实数 λ 的值； (2)若 a·b＝45，且 tanβ＝2，求 tanα 的值． 解 (1)因为 a＋b 与 a－b 垂直，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， 所以 cos2α＋λ2sin2α－1＝0． ··········································································2 分 又 sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0．··················································4 分 由 0＜α＜π2，知 sin2α≠0，故 λ2－1＝0，解得 λ＝±1，又 λ＞0，所以 λ＝1． 此时，a＋b，a－b 均为非零向量，故 λ＝1． ··············································6 分 (2)由(1)知 a＝(cosα，sinα)． 若 a·b＝45，则 cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，即 cos(α－β)＝45．·······························8 分 又 0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0， 所以 sin(α－β)＝－ 1－cos2(α－β)＝－35． ·······················································10 分 所以 tan(α－β)＝csoins((αα－－ββ))＝－34，····························································12 分 故 tanα＝tan(α－β＋β)＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)tatannββ＝12．···············································14 分
f(1－x)＜0 等价于 x2－1＜x－1，解得 0＜x＜1．
10. 首项为 7 的数列{an}满足：(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0，则 a2019－a2018 的值为 ▲ ．
[答案]
7 2
[解析]由(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0 得，当 nN*时，na＋n＋12＝n＋an1，所以{n＋an1}为常数列，所以 an＝72
A
所以四边形 AA1B1B 是平行四边形．
又 D 是 AB1 的中点，所以 D 是 BA1 的中点，··············2 分
所以在△BA1C 中，有 DE∥A1C．
又 DE平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1，
C
E B （第 16 题图）
所以 DE//平面 ACC1A1． ··············································6 分
(2)由(1)知 DE∥A1C，又 A1C⊥BC1，所以 BC1⊥DE． ···································8 分
又 BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面 ADE，
所以 BC1⊥平面 ADE．
又 AE平面 ADE，所以 AE⊥BC1．① ······················································10 分