2020届上海市七宝中学高三三模数学试题(解析版)

3 3七宝中学高三三模数学试卷
一.填空题
1.已知集合A {x|x 2k,k Z} , B {x| 2 x 2},则AI B
【答案】{ 2,0,2}
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合A {x|x 2k,k Z} , B {x| 2 x 2},
则AI B { 2,0,2}.
故答案为：{ 2,0,2}
【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.
2.若直线方程ax + by+c = 0的一个法向量为（J3, 1）,则此直线的倾斜角为
【答案】—
3
【解析】
【分析】
根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求
解.
r
【详解】设直线的一个方向向量为 a x, y
由直线方程ax + by + c = 0的一个法向量为（J3, 1）,
所以底y 0,令x 1,则y 73
所以直线的一个方向向量为（1,我，
k —V3,设直线的倾斜角为，
1
由k tan ,
所以直线的倾斜角为：一.
故答案
【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题^ 3.已知复数z满足i z 1 i （i为虚数单位），则Imz .
【答案】 1
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案^
【详解】解：由i z 1 i ,得z」（1 i）2 i） 1 i , i i
1• Imz 1 .
故答案为：1.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题^
4.已知a、b、c是任意实数，能够说明“若a b c,则a b c”是假命题的一个有序整数组（a,b,c）可以是 _________
【答案】（1, 2, 3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意，适当的进行赋值验算即可求解
【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令 a 1 , b 2, c 3,此时满足a b c,但
a b 3 c 3不成立，故原命题为假命题 .
故答案为：（1, 2, 3）（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题^
5.函数y |2 xi | （x R, i是虚数单位）的图象与直线y a有且仅有一个交点，则实数a
【答案】2
【解析】
【分析】
先通过复数模的求法得到函数
y J
4 x
2
，再利用数形结合法求解.
________ 2 x2 4
【详解】函数y 2 xi “ x2y x ，，函数图象为双曲线y2 x2 4的一支，
y 2
如图所示:
则a 2. 故答案为：2
【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属 于基础题.
6 .直角坐标系xOy 内有点A 2,1 ,B 2,2 ,C 0,2 ,D 0,1 ,将四边形ABCD 绕直线y 1旋转一周，所得 到的几何体的
体积为 【答案】2 【解析】 【分析】
四边形ABCD 是矩形，边 AD 在直线y 1上，旋转一周后得一圆柱， AD 是圆柱的高， AB 是底面半径，
由此可计算体积。

【详解】由题意四边形 ABCD 是矩形，边 AD 在直线y 1上，旋转一周后所得几何体为圆柱，
AD 是圆
柱的高，AB 是底面半径，V AB 2 AD 12 2 2 。

故答案为：2 。

【点睛】本题考查圆柱的体积，考查圆柱的定义。

属于基础题。

7 .在 ABC 中，ABC 60°，BC 2AB 2, E 为 AC 的中点，则 AB Buu
【答案】1; 【解析】 【分析】
―uur uur 八 ，ujuEiuiiur, 一 一，，『
计算BA BC ,然后将BE 用BA,BC 表示，最后利用数量积公式可得结果 .
【详解】由 ABC 60°, BC 2AB 2,
又因为函数图象与 y a 有且仅有一个交点,
又E 为AC 的中点,
【详解】: a 1 2, 2 a 2 a 3 a 《，a ?、a 3、a 《从中3~9选,
uuu uur 所以BA BC uur uur
BA BC cos ABC 只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应 a 2,a 3,a 4即可,
C 3
C I 4。

1
6.
- -
1 故答案为：- 6
【点睛】本题考查概案的定义 9.已知函数f(x) 的最大值为M ,最 f 1(x 1)在［3,5］ 为 m ,则
调递增，再 数与反函数具有相同的 )在定义域上
3,5］时,函数F(x)
m
递增，再由函数与反函娄 相同的单调性以及平移变换, 生求解
-1
f (x 1) 1
得到
uuu 所以BE uur 所以AB 1 2
uu u BE
uur urnr uu u
uu n uu r
1
uLu 2 -BA 2 1 uur uuir
-BA BC 2
故答案为:
【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法, 将几何
问题代数化，便于计算，属基础题
8.通过手机验证码登录哈喽单车 App,验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码
(a 1，a 2,a 3,a 4)满
足a 〔 a 2 a 3 a ,，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为 2的递增型验证
码的概率为
利用概率
定义进行求解即可.
12
1 x x
所以函数f (x) - (a a ) (a 1)在定义域上单调递增, 2
因为函数与反函数有相同的单调性， 所以f 1(x)在［4,4］上单调递增，f 1(x 1)在［3,5］上单调递增, 因为f(x)为奇函数，则f 1(x)也为奇函数,
-1
_ 1
_
_
M m f
(4) f ( 4) 2 2 .
故答案为：2
【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力, 10 .欧拉公式e cos isin
，它将指数函数的定义域扩大到复数,
列｛2口｝前2020项的乘积为
.2020 i ' -2020-
/ 2020
e e
然后，利用等差数列求和公式求解即可 故答案为：i
【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题
11 .用M I 表示函数y sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数 a 满足M@a ］ 2M 短2］，则a 的最大值为
13 【答案】
13
属于中档题
建立了三角函数和指数函数的联系,
被誉为“数学中的天桥”，已知数列
｛a n ｝的通项公式为a n
n cos
2020 isin — (n 1,2,3,),则数 2020
根据题意,
a n
n cos -
2020
• •一 n
i sin -- 2000 .n
i _
e
,然后可得,
2
2020
2020 2020
,
【详解】Qe i
cos isin a n
n cos ---- 2020
..n i sin ---- 2000 .n
i _
a
i a
2
L a
2020
.2
i - i -
-2020 c 2020
.2020
i -
2020 e 2
2020 2020
L 2020
2021 2020
i -2"
e 2
2021 cos 一
..2021 i sin
2
cos 1010
一isin 1010
— i . 2
2
得到答案. ，..
13
故答案为：13-
12
【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题,
12 .已知数列a n 的首项为4,且满足2 n 1 a n n& 1 0 n N ，则下列命题：① 兔 是等差数列； n
x 2
②a n 是递增数列；③设函数f x x
1
-a
n-
,则存在某个区间 n,n 1 n N ，使得f x
2
a
n 1
在n,n 1上有唯一零点；则其中正确的命题序号为
【答案】②③
【解析】 【分析】
对a 进行分类讨论，根据正弦函数的单调性求出
y sin x 在区间［0,a ］和［a,2a ］的最大值，再解不等式即可
【详解】①当a
0,-时，2a
[0,
]
, M [0, a] sin a , M [a,2a]
1.
所以sina 2,舍去;
②当 a 万，时，
2a [ ,2 ]
, M
[0, a]
1, M [a,2a] sin a,
1
5
5 所以 1 2sina, sina 一，即：a ——,得到-a ；
2 6
6
3
因为M ［0, a ］
所以 a
1
2M [a,2a],所以 1 2sin2 a ,即：sin2a - , 2
2
13 2a 2
—
6
12 12
一 3 ④当 a
~^~, 时，2a [3 ， ) , M
[0, a] M [a,2a]
不满足 M [0,a] 2M [a,2a],舍去;
综上所述：a
13
max / —
12
同时考查了分类讨论的思想，属于难题
【解析】
对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得
an,可验
证出a n 1 a n 0 ,知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定 f x 单调性，利用零点存在定理可
得到结论.
a a …
【详解】对于①，由2 n 1 a n na n 1 0得:一口 2
n 1 n
又亘 4,
a n 是首项为4,公比为2的等比数列，①错误； 1
n
对于②，由①知： 包4 2
n 1
2n 1 , a n n 2
n 1
,
n
n 2
n 1 o n 1
n 1
a n 1 a n n 1 2 n 2 2 2n 2 n n 2 2 0,
a n 是递增数列，②正确;
综上所述：正确的命题序号为②③ 故答案为：②③.
【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系 式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减 性和函数单调性的判断方法 .
二选择题
13.设a 、b 分别是直线a 、b 的方向向量，则“ a // b”是“ 3 // b”的（
）
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
对于③, 由②知:
0 -an
a n 1
a n a n 1
x 2
单调递减,
a n 1 2n
x 2
单调递增
n
n
2n 2
n 1
2n 2
1 时，f 1
7
, 2
2 0,由零点存在定理知③正确;
A.充分非必要条件 C.充要条件
根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
一 . ，. 一、,r r . r r r r......... 【详解】解：若a//b,则一定有a//b，但a〃b可能推出a和b重合，，a//b是a〃b”的充分非必要
条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题^
14.某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况,
采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为a、b,且直线
ax by 48 0与以A(1, 1)为圆心的圆交于B、C两点，且BAC 120,则圆C的方程为( ) - 2 2 2 2 一
A. (x 1)2 (y 1)2 1
B. (x 1)2 (y 1)2 9
C. (x 1)2 (y 1)2 4
D. (x 1)2 (y 1)2 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分层抽样的概念，先求出a与b,然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线
的距离，进而求解即可.
【详解】•.高一：高二：高三为6:8:11 , a 100 ——6— 24 b 100 ——8一32
6 8 11 6 8 11
该直线方程为24x 32y 48 0,即3x 4y 6 0,
圆心(1, 1)到直线的距离
又BAC 120 r 2d 2 .32 42
该圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 4 .
故选：C
【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题
r 一
15.函数y 2cos(2x —) 2的图像按向量a平移后所得图像的函数解析式为y f (x),当函数f (x)为奇
r
A.(-, 2)
6 B.( 6,2) C.(故2) D.
(内
2)
函数时，向量
a
可以等于( )
4
4
A. 0个
B. 2个
C.有限个，但多于 2个
D.无限多个
y 1 2y x 1 2 x 2 x 3 ,
x 1 2 3 x 1
【解析】 【分析】
由左加右减上加下减的原则可确定函数 y 2cos(2x —) 2到y sin2x 的路线，进而确定向量 a
【详解】」y 2cos(2x —) 2, 6
.♦・将函数y 2cos(2x -) 2向左平移 至个单位，
再向上平移2个单位可得到 y cos 2x —
2
一,2
6
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的 方向，属于基础题.
2
uuu uuu uur r …
16.已知F 为抛物线y 4x 焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当 FA FB FC 0时，则存在横坐
标x 2的点A 、B 、C 有(
)
sin 2x 为奇函数,
【答案】A
y 3
同理X2 2,X3 2,
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F点为三角形的重心，属于中档题.
三.解答题
17.如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A。

平面ABCD ,
AB AA 22.
(1)证明：A1C BD ；
(2)求直线AC与平面BB1D1D所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)—
4
【解析】
【分析】
(1)通过线面垂直判定定理证明BD 平面ACC〔A,进而得到A〔C BD ；
(2)取BD1中点。

1 ,联结OO1 , OQ ,通过已知条件得出四边形A1OCO1为正方形，得出COO1即为所求角，进而可得结果.
【详解】(1)由题意易得：BD AC ,又AQ 平面ABCD ,
BD 平面ABCD , AO BD ,又AO AC O ,
••• BD 平面ACC〔A，又AC 平面ACC〔A ,
••• AC BD (2)取BD1 中点。

1 ,联结OO1 , OC , O1A1 ,
又「AB AA1 22,底面ABCD是正方形，，OA OC 1,
由题意易得AAOA为直角三角形，，A i O 1,
由棱柱的性质以及AO 平面ABCD,可得四边形AOCO i为正方形,
••• AC OO i,由(1)得A i C BD , BD OO〔O ,
••• AC 面BB1D1D，.一COO i即为所求角，且大小为一,
即直线AC与平面BB i D i D所成的角为一.
4
【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得出线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题
i 18.设a、b、c 分别是^ ABC 内角A、B、C 所对的边，2sinBsinC cos(B C)-.
(i)求角A的大小；
(2)若 a 3衣，且△ ABC的面积为3①，求^ ABC的周长.
【答案】([)A — (2) 6 3^/2 3
【解析】
3
【分析】
i
(i)利用两角差余弦公式化简可得cosA 一,即可得到角A的大小;
(2)根据面积结合(i)可得bc 6,利用余弦定理求得b c 6,即可得到三角形周长
【详解】(i)由题意可得：
i 2sin BsinC cos B C cos B C cos B C cos B C cos A 一
2
(2)由S -bcsin A 史bc 3^3 bc 6 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2
又a b c 2bccosA b c bc b c 3bc b c 18 18
b c 6,
，周长为6 3 2.
【点睛】此题考查根据三角形已知关系求解三角形内角，根据面积关系和余弦定理化简求周长，需要熟练
掌握余弦定理和面积公式.
19.受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团
队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为 a (人)时，每天线下销售空调可达m(a) 10a (百台)，
2 _
b 0 b 20 一
当线上销售人数为b (人)(a,b N )时，每天线上销量达到n(b) (百台).
400 b 20
(1)解不等式：m(a) n(a),并解释其实际意义；
. . . - . . . . . * . . . . . . . . .. . . . . . .. . ... .一. . . -
(2)若该工厂大有销售人员t (t N)人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天
销售空调总台数的最大值是多少百台？
【答案】(1)不等式的解集为a 10,40,实际意义见解析(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
(1)分别讨论当0 a 20时和当a 20时，解不等式即可得解；
(2)结合题中分段函数，分段求解最值取得的条件即可得解^
【详解】(1)当0 a 20时，不等式为10a a210 a 20 ；
当a 20时，不等式为10a 400 20 a 40；
综上，不等式解集为a 10,40,实际意义为在相同的销售人数下，当销售人数在10到40之间时，线上销售的会比线下销售效果好
(2)设安排线上销售x人，则线下销售安排t X人；
当t 20时，此时0 X 20,每天的销售总台数为x210 t x ,
・♦・当t 10时，最大值在X 0时取到，为10t (百台)
当10 t 20时，最大值在x t时取到，为t2(百台)
当t 20时，若0 x 20,则最大值在x= 20时取到，为200 10t (百台)
3
18 9 8 16 16 4 9 9
3
2
若X > 20 ,每天的销售总台数为 400+10 t x 则最大值在X= 20时取到，为200 10t (百台). 【点睛】此题考查函数模型及其应用，涉及分段函数最值处理方法，需要熟练掌握分类讨论方法求解
2
2
20.已知椭圆C:冬 4 1(a b 0)的两焦点为F i (召,0) , F 2 G/3,0),且椭圆上一点P,满足 a b
IPF i l IPF 2I 4,直线l:y kx m 与椭圆C 交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点G 、H,且 uir uuu uuur OA OB OM .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若 k 72,且 |AB| 2,求 |HG| |HM | 的值；
(3)当^ OAB 面积取得最大值，且点 M 在椭圆C 上时，求 的值.
2
【答案】(1) 土 y
2
1 (2) 3 (3)
4
(1)根据椭圆定义焦点坐标计算基本量即可得解； (2)根据已知条件结合弦长公式求得
m,得出H,G,M 三点坐标，利用线段长度公式得解；
(3)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形面积，根据基本不等式求最值，即可得到此时
值.
2
【详解】(1)由题意可得a 2,c 33
b 1 ,「•椭圆方程为 — y
2
1
4
(2) 由题意得, 此时直线方程为 y ⑸m ,将其代入椭圆方程整理可得
9x 2 4 m 2 4 0,其中 2
2
2
_
128m 2
36 4m 2
4 144 16m 2
X 1,y 1 ,B X 2,y 2 ，则 X | x 2 8、. 2m
, x' 9
4m 2 4 9
1 2 x x 2 3 4 9
m 2
9
由椭圆具有对称性,
____ 3 _____ ..
，不妨取m 一则H
c 3 3/2 八
0,一 ,G ----- ,0 2 4
,M
1
6 ,，|HG |HM
2 (3)将直线方程y kx m 代入椭圆方程整理可得
4k
原点到直线的距离
2 m 4k 2 1 m 2 2. m 2 4k 2
I II
m 2
,2
2
4m 4 8km 8k 2 2—— 8km —2一
4k 1
4k 1
整理得
2
2,
【点睛】此题考查求椭圆方程，利用直线与圆的位置关系，结合韦达定理求解弦长和面积关系，综合性较 强.
21.已知数列q 包,
do 满足：对任意i,j {1,2,3,L ,10},若i j ,则a 可，且
1234567
89
10
a i 住上2
,23
?4?5
?6
"?8
,2970
},设 A {a i a 一仇 2 |i 1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A 中元素的最小值
2
2
4k 1
4k 1
一 2 2 64k m .2 . 2 4 4k 1 4m _ 2
_
2
_
_
4 64 k 16m+16>0,
A X i ,y i ,
B X 2,y 2 ,
则 X 1 x 2 8 km 4k 2
-,X 1X 2
1
2
4m 4
2
4k 2 1
AB 1 k 2
X i X 2I 由 k
2-
4、4k 2
1
4k 2
当且仅当 4k 2
1 2m 2时等号成立,
X 2
y 1 y 2代入椭圆方程可得
2
x 1 X 2
4 2
2
y 1 V2
2
2
V1
1,
2
X 2
y22
1，
整理得 8 2x 1 x 2 8yy 2
kK m, y 2 kx 2 m 代入，8
2x 1X 2
8 kx i m kx 2 m
整理得 8k
2
2 x 1x 2 8km x 1 x 2
8m 2
8 4 2
,
, 2 2
1 x 8kmx 4m 4 0,其中 S ABC
2
4k
2
4k
2
8m
记为m(A)；集合B {a d 1 a 2 |i 123,4,5,6,7,8},集合B中元素最小值记为m(B).
(1)对于数列：210,26,21,22,27,28,23,29,25,24,求m(A) , m(B)；
2)求证： m(B) 217
；
(3)求m(A)的最大值.
( 1) m(A) 70， m(B) 512( 2)证明见解析；
( 3) 416
【解析】 【分析】
(1)根据题目，直接代入求解即可 (2)利用反正法进行证明即可
(3)欲使 m(A) 尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，然后，分类讨论即可进行求解
( 1) m(A) 2
6
21 22
70，
612
m(B) 26g21g22
512 2)若 m(B) 218
，记
T i
a i a i 1a i 2
m(B)
T 1 a 1a 2a 3 T 4 a 4a 5a 6 a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10
T 7 a 7 a 8 a 9
T 1T 4T 7a 10 =255
218
3
a 10
a 10 2
则 a 10 =2 ，同样操作
T 2,T 5,T 8 这三组数据得到
a 1=2 ，这与 i
j ， a i a j 矛盾，则
17
1
6
10
2
7
8
3
9
5
4
m(B) 217，构造数列：
2，，2 2 ， 2 ， 2 ，，，，，2
3)欲使 m(A) 尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，
2
10
如果放在数列中前
后各有 2 个数，则
210
这里对应含有
210项的 3个连续和，这
3个和值显然均大于
210，
则 8 个和，就先处理了 2
9 项有
29
，这 3 个和值显然均大于 29
，如果我们保证这 6项不重叠，
6 个，剩下 2 个要使得最小值最大，就有如图排列这种排列：
就有如图排列这种排列: 25 28 27 2 62 9 210
m(A) 25+28+27=416
考虑 2
i
,2 j ,2 k 其中 i j k ，这一组的和记
S(k)=2i
+2j
+2k
2j
+2j
+2k
2j 1
+2k
2k 2k 2k
1
S(k) S(k 1) 可以很快得到
S(10) S(9) S(8),S(8)
876
28 27 26
448
记 P i a i a i 1 a i 2 m(A) ，若
m(A)
448 ，则 P 1， F 2, ..., P 8这8个数字都要大于等于
448,
S(10)，S(9) 至多各对应3个数字，S(8)max 448对应一个数字，那么这样最多只有7个数字大于等于
448，
矛盾
构造数列：2528272629210，则m(A)=25+28+27=416 .
【点睛】本题主要考查反证法的运用，要用到类比推理和归纳推理的数学思想，属于难题。