齿轮啮合原理 第6章
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(u, , ) 表示包络。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（2）工程解法：
容易证明，矢量 r2 / 和 v2 (12) （相对速度）具有相同的方向， v12 (12 ) 是曲面
（点 M1 和 M2 相互重合， 并且构成两 1 上的点 M1 一相对于 2 上的点 M2 的速度 曲面 1 和 2 的切触点） 。 显然，方程
（6.1.2）
进而可得∑2 的矢量方程
r2 r2 (u, , )
（6.1.3）
是一个广义的运动参数，∑1 在 S2 中的位置和方向决定于所选取的参数 。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（3）曲面∑1 的法线矢量在 S2 中的表示：
(1) r r2 2 N2 u
过渡曲面由产形面齿角形状决定，产形面齿角方程为
X a0 y a0 za0
m(z 2) sin a 2 m(z 2) cos a 2 uk
本章应用之一
产形面齿角齐次矩阵为：
R a 0 xa 0y a 0za 0
T
面齿轮过渡曲面方程为：
R g M f 'g 'R a 0
目录
曲面族包络——包络存在的必要条件
基本运动关系
不产生根切的必要条件
Industry
曲面族包络——包络存在的必要条件
如图为包络线所组成的两张齿轮图，图中显清 晰的显示了齿廓的形状，包括变位时，对齿廓 的影响，以及根切现象，下面将介绍曲面族包 络，曲面存在的必要条件，根切现象等。 如图下面的部分为变位齿轮 范成齿轮
从方程(6.2. 1)得到
(6.2. 1)
vr (2) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (1) v (12)
式中 v (12) 是滑动速度。
(6.2.2)
基本运动关系
利用类似的条件，我们得到下列的接触法线顶端速度之间的关系式
nr (2) nr (1) (w(12) n)
速度可以表示为两个分量:(i) 与齿轮在一起的牵连运动，该分量标记为 vtr (i ) ； （ii）
(i ) 沿齿面 1 的相对运动，这个分量标记为 vr (i=1，2)。由于齿轮两齿面的接触具
有连续性，所以接触点处的合成速度对于两个齿轮必须是相同的。于是
v ( abs ) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (2)
曲面族包络——包络存在的必要条件
1.曲面族在 S2 中的参数表示
（1）齿轮 1 的曲面∑1 在 S1 中的表示：
r1 (u, )
r1
r1 0 u
(u, ) E
（6.1.1）
（2）从 S1 到 S2 的坐标变换：
r2 M 21r1 M 2 f M f 1r1
产形面经坐标变换后，得到产形面的面族方程为
R mz M f 'm 'R m
根据面族方程得出包络方程为
R mz R R mz mz 0 k u k m
因此，面齿轮齿廓方程为
R mz M f 'm 'R m
R mz R mz R mz 0 k u k m
（6.1.5）
方程（6.1.5）将 1 的曲线坐标（u， ）的和广义运动参数必加以联系，因 而可以将这个方程称作啮合方程 。方程（6.1.5）是曲面族（6.1.3）包络存在的 ．．．． 必要 条件。如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在 S2 中可 ．． 以用联立方程（6.1.3）和（6.1.5）来表示。这两个方程用三个相关的曲面参数
式中 k 1 为齿轮轴线 z1 的单位矢量。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（3）曲面∑1 的法线矢量在 S2 中的表示：
(1) r r2 2 N2 u
（6.1.4）
我们假定齿廓表示在平面 z1=0 中，则啮合方程可以导出如下 方法 1（工程解法） ：
r1 (12 ) r1 ( 21) f ( , ) ( k1 ) v1 ( k1 ) v1 0
本章应用之二
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
蜗线齿轮及其共轭齿轮是一种新式封闭非圆齿轮，蜗线齿轮节曲线余弦函数构 造，根据节曲线共轭和封闭条件推导出与蜗线齿轮共轭的非圆齿轮节曲线，能 为蜗线齿轮副的设计提供理论基础;对新式非圆齿轮节曲线的几何特性进行研 究，得到蜗线齿轮副不同偏斜率下的凹凸性，为其加工提供了依据。
方法 2（特殊情况解法）
（6.1.19）
X1 x1 Y1 y1 N x1 N y1
（6.1.20）
式中 ( X 1 , Y1 ) 为瞬时回转中心在 S1，中的笛卡尔坐标。方程（6.1.20）的运动学解 释基于 Lewis 定理。
曲面族包络——包络存在的必要条件
Lewis 定理：共扼齿形必须是这样的，他 ．．．．．．．．．．．． 们在切触点处的公法线与回转中心线 O2 相 1 ．． ． ． ．．．．．．．．．．．．．．．．O ． 交（图 .1 .1 ）并且将该线分为两段 I和 I， 1 2 ． ． ．．．6 ． ． ． ．．．．．．．．．．O ． ． ．O ． ． ． 两线段有如下的关系式 ．．．．．．．．．．
曲面族包络——包络存在的必要条件
应用：平面齿轮啮合时的啮合方程
所讨论的推导啮合方程的方法对于平面齿轮也是有效的。在参数表示的情 况下，齿轮 1 的齿廓 1 用
r1 ( )
r1 0
Байду номын сангаас
（6.1.17）
(1) 表示。 1 的法线矢量 N 为
N (1) r1 k1
（6.1.18）
本章应用之一
产形面齐次矩阵和齐次转换矩阵 产形面是包络过程中的母面，即圆柱齿轮齿廓曲面。产形 面坐标系如图2所示。 产形面方程为
X m 0 rk sin k y m 0 rk cos k zm 0 uk
产形面齐次矩阵为
R m x m 0y m 0zm 01
T
产形面坐标系
面齿轮齿廓方程和过渡曲面方程
r2 r2 (12 ) r2 r2 ( 21) v2 v2 0 u u
（6.1.6）
可用来替代方程（6.1.5） 。采用新的记法，我们可以将方程（6.1.6）表示如下
(1) (12) (1) (21) f (u, , ) N 2 v2 N 2 v2 0
（6.1.4）
2.求解∑2存在的必要条件
有两种方法可以求出∑2 存在的必要 条件： ．． （1）利用微分几何的方法求解； （2）利用齿轮啮合理论中提出的比较简便的工程解法；
曲面族包络——包络存在的必要条件
（1）用微分几何的方法求解
微分几何中提出的解法是用下列方程
r 2 r 2 r 2 f (u, , ) ( ) u
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
根据现有的非圆齿轮齿廓求解方法，把m=6, =0.3, z=37, =20°。等参数输 入计算机程序，对实际应用的蜗线齿轮及其共轭齿轮副进行几何仿真。仿 真结果如图所示。
蜗线齿轮及其轭齿轮的节曲线不出现内凹的条件式，n=1 ， 2， 3，4时， ， 两个齿轮的节曲线都不会内凹，n=5时， 两个齿轮的节曲线都不会内凹， 这样可以根据实际传动要求，选择合适的 值，进而计算其他参数。
(6.2.3)
(i ) 这里， nr 是接触法线顶端相对运动(沿着齿面)的速度，不包括法线的牵连
O2 I w(1) m12 (O1I O2 I E) O1I w(2)
（6.1.21）
这里，m12 m12 ( ) ： （i）对非圆形齿轮是 规定的齿轮传动比函数， （ii）对圆形齿轮是常 数。
基本运动关系
假定坐标系 S1 ,S2 和 S f ，分别与齿轮 1、齿轮 2 和机架刚性固接。接触点的
齿轮啮合原理
指导老师: 制作者： 学号；
第六章 共轭曲面和共轭曲线
本章应用之一 本章应用
用包络法研究正交面齿轮齿廓的几何设计方法和根 切条件，推导面齿轮齿廓和过渡曲面方程，用Matlab软 件对面齿轮齿廓的几何设计进行仿真。分析面齿轮的根 切现象，得出相应的根切条件。
建立运动坐标 系 根据圆柱齿 轮和面齿轮的运 动关系，利用圆 柱齿轮齿廓曲而 作为产形面，通 过包络运动得到 而齿轮齿廓.包 络过程的坐标系 如图1所示意图。
求出。曲面 1 的法线矢量在 S 1 中，用
(1) r r N1 2 2 u
（6.1.9）
表示。为了将法线矢量表示在坐标系 S j ( j f ,2) 中，我们利用矩阵方程
(1) (1) N j L j1 N1
（6.1.10）
曲面族包络——包络存在的必要条件
图1 蜗线齿轮及其共扼齿轮传动原理图
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
图3是不同转速时，随d变化曲线图， 设计时也可以从该图直接获得和 对应 的d。
变形率 对传动比 的影响
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
图(a）是 n=1，2，3时，蜗线齿轮及其轭齿轮的节曲线，由图可以看出，此时蜗 线齿轮和共轭齿轮的节曲线都没有发生内凹的现象。 图(b)是 ，n=1，2,， 3, 6时，蜗线齿轮及其共轭齿轮的节曲线，由图可以看出，蜗 线齿轮已经发生内凹，n=6时，共轭齿轮也发生内凹。
根据面齿轮根切现象可知，而齿 轮根切条件为下式不存在实数解。
R mz R mz R mz 0 min u k m
本章应用之一
根据而齿轮根切参数值
rn ,min 0.4698 mz fg 0.6977
式中: 为而齿轮根切最小值；m为而齿轮模数； 为而齿轮齿数.而齿轮 根切工程近似方程拟合曲线与根切参数点对比，如图所示
（6.1.7）
曲面族包络——包络存在的必要条件
方程（6.1.7）中的数积与所选取的坐标系无关，因而我们可以将啮合方程表示为
(1) (12) (1) (21) Ni vi Ni vi f (u, , ) 0 (i 1,2, f )
（6.1.8）
(12) (21) (12) 矢量 vi （同理 vi vi ）可以用运动学法或者用矩阵算子（参看第二章）
曲面族包络——包络存在的必要条件
1 假定坐标系 S1，S2 和 Sf 分别与齿轮 1，2 和机架 f（齿轮箱体）刚性固接。 2 假设齿轮 1 为刀具，加工齿轮 2 的曲面。 若要保证齿轮 2 的齿面确定为曲面族 （这是由齿轮 1 的曲面∑1 在 S2 中运 动形成的）的包络，则所需要的的齿轮两齿面的接触型式（每一瞬时在一条线） 要能得到保证。 那么∑2 如何才能存在呢？ 所以在这一节，我们先主要讨论齿轮 2 的齿面 2 存在的必要条件。
为了简化啮合方程（6.1.8）的推导，比较可取的是利用坐标系 S 1 或 Sf，而 不是 S2。所讨论的推导啮合方程的这种解法，比根据方程（6.1.5）所进行的推 导要简化得多。 注：当螺旋面绕其轴线作螺旋运动时，啮合方程（6.1.8）将变成恒等式。在 这样的运动中所形成的曲面族仅仅是一个曲面，即这同一个产形螺旋面，因而包 络是不存在的。
Matlab 仿真： 根据面齿轮齿廓方程 和过渡曲面方程，在M atlab6. 5版本软件中进行 仿真，如图3所示。仿真 时，产形面模数为2mm， 齿数为25，分度圆压力角 为20°,齿宽为10mm;而齿 轮齿数为lO0，参数d为 100mm。
面齿轮根切现象和条件
设 为产形而齿宽。当B为固定值时，伴随着参数d的减 rn d B / 2 小， 变小，而齿轮齿廓发生如图4所小的变化.图4中，当 减小时， 而齿轮齿廓沿径向沿其旋转中心延伸，此时，靠近旋转中心处的而 齿轮齿顶高度下降，同时过渡曲而的起始位置抬升，使得靠近旋转 中心处的面齿轮齿廓逐渐减少；当 减小到某一临界值时，则会出 现已经包络出的面齿轮齿廓的齿顶处曲被包络过程再次切除，从而 产生靠近旋转中心处的面齿轮齿廓根切现象。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（2）工程解法：
容易证明，矢量 r2 / 和 v2 (12) （相对速度）具有相同的方向， v12 (12 ) 是曲面
（点 M1 和 M2 相互重合， 并且构成两 1 上的点 M1 一相对于 2 上的点 M2 的速度 曲面 1 和 2 的切触点） 。 显然，方程
（6.1.2）
进而可得∑2 的矢量方程
r2 r2 (u, , )
（6.1.3）
是一个广义的运动参数，∑1 在 S2 中的位置和方向决定于所选取的参数 。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（3）曲面∑1 的法线矢量在 S2 中的表示：
(1) r r2 2 N2 u
过渡曲面由产形面齿角形状决定，产形面齿角方程为
X a0 y a0 za0
m(z 2) sin a 2 m(z 2) cos a 2 uk
本章应用之一
产形面齿角齐次矩阵为：
R a 0 xa 0y a 0za 0
T
面齿轮过渡曲面方程为：
R g M f 'g 'R a 0
目录
曲面族包络——包络存在的必要条件
基本运动关系
不产生根切的必要条件
Industry
曲面族包络——包络存在的必要条件
如图为包络线所组成的两张齿轮图，图中显清 晰的显示了齿廓的形状，包括变位时，对齿廓 的影响，以及根切现象，下面将介绍曲面族包 络，曲面存在的必要条件，根切现象等。 如图下面的部分为变位齿轮 范成齿轮
从方程(6.2. 1)得到
(6.2. 1)
vr (2) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (1) v (12)
式中 v (12) 是滑动速度。
(6.2.2)
基本运动关系
利用类似的条件，我们得到下列的接触法线顶端速度之间的关系式
nr (2) nr (1) (w(12) n)
速度可以表示为两个分量:(i) 与齿轮在一起的牵连运动，该分量标记为 vtr (i ) ； （ii）
(i ) 沿齿面 1 的相对运动，这个分量标记为 vr (i=1，2)。由于齿轮两齿面的接触具
有连续性，所以接触点处的合成速度对于两个齿轮必须是相同的。于是
v ( abs ) vtr (1) vr (1) vtr (2) vr (2)
曲面族包络——包络存在的必要条件
1.曲面族在 S2 中的参数表示
（1）齿轮 1 的曲面∑1 在 S1 中的表示：
r1 (u, )
r1
r1 0 u
(u, ) E
（6.1.1）
（2）从 S1 到 S2 的坐标变换：
r2 M 21r1 M 2 f M f 1r1
产形面经坐标变换后，得到产形面的面族方程为
R mz M f 'm 'R m
根据面族方程得出包络方程为
R mz R R mz mz 0 k u k m
因此，面齿轮齿廓方程为
R mz M f 'm 'R m
R mz R mz R mz 0 k u k m
（6.1.5）
方程（6.1.5）将 1 的曲线坐标（u， ）的和广义运动参数必加以联系，因 而可以将这个方程称作啮合方程 。方程（6.1.5）是曲面族（6.1.3）包络存在的 ．．．． 必要 条件。如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在 S2 中可 ．． 以用联立方程（6.1.3）和（6.1.5）来表示。这两个方程用三个相关的曲面参数
式中 k 1 为齿轮轴线 z1 的单位矢量。
曲面族包络——包络存在的必要条件
（3）曲面∑1 的法线矢量在 S2 中的表示：
(1) r r2 2 N2 u
（6.1.4）
我们假定齿廓表示在平面 z1=0 中，则啮合方程可以导出如下 方法 1（工程解法） ：
r1 (12 ) r1 ( 21) f ( , ) ( k1 ) v1 ( k1 ) v1 0
本章应用之二
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
蜗线齿轮及其共轭齿轮是一种新式封闭非圆齿轮，蜗线齿轮节曲线余弦函数构 造，根据节曲线共轭和封闭条件推导出与蜗线齿轮共轭的非圆齿轮节曲线，能 为蜗线齿轮副的设计提供理论基础;对新式非圆齿轮节曲线的几何特性进行研 究，得到蜗线齿轮副不同偏斜率下的凹凸性，为其加工提供了依据。
方法 2（特殊情况解法）
（6.1.19）
X1 x1 Y1 y1 N x1 N y1
（6.1.20）
式中 ( X 1 , Y1 ) 为瞬时回转中心在 S1，中的笛卡尔坐标。方程（6.1.20）的运动学解 释基于 Lewis 定理。
曲面族包络——包络存在的必要条件
Lewis 定理：共扼齿形必须是这样的，他 ．．．．．．．．．．．． 们在切触点处的公法线与回转中心线 O2 相 1 ．． ． ． ．．．．．．．．．．．．．．．．O ． 交（图 .1 .1 ）并且将该线分为两段 I和 I， 1 2 ． ． ．．．6 ． ． ． ．．．．．．．．．．O ． ． ．O ． ． ． 两线段有如下的关系式 ．．．．．．．．．．
曲面族包络——包络存在的必要条件
应用：平面齿轮啮合时的啮合方程
所讨论的推导啮合方程的方法对于平面齿轮也是有效的。在参数表示的情 况下，齿轮 1 的齿廓 1 用
r1 ( )
r1 0
Байду номын сангаас
（6.1.17）
(1) 表示。 1 的法线矢量 N 为
N (1) r1 k1
（6.1.18）
本章应用之一
产形面齐次矩阵和齐次转换矩阵 产形面是包络过程中的母面，即圆柱齿轮齿廓曲面。产形 面坐标系如图2所示。 产形面方程为
X m 0 rk sin k y m 0 rk cos k zm 0 uk
产形面齐次矩阵为
R m x m 0y m 0zm 01
T
产形面坐标系
面齿轮齿廓方程和过渡曲面方程
r2 r2 (12 ) r2 r2 ( 21) v2 v2 0 u u
（6.1.6）
可用来替代方程（6.1.5） 。采用新的记法，我们可以将方程（6.1.6）表示如下
(1) (12) (1) (21) f (u, , ) N 2 v2 N 2 v2 0
（6.1.4）
2.求解∑2存在的必要条件
有两种方法可以求出∑2 存在的必要 条件： ．． （1）利用微分几何的方法求解； （2）利用齿轮啮合理论中提出的比较简便的工程解法；
曲面族包络——包络存在的必要条件
（1）用微分几何的方法求解
微分几何中提出的解法是用下列方程
r 2 r 2 r 2 f (u, , ) ( ) u
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
根据现有的非圆齿轮齿廓求解方法，把m=6, =0.3, z=37, =20°。等参数输 入计算机程序，对实际应用的蜗线齿轮及其共轭齿轮副进行几何仿真。仿 真结果如图所示。
蜗线齿轮及其轭齿轮的节曲线不出现内凹的条件式，n=1 ， 2， 3，4时， ， 两个齿轮的节曲线都不会内凹，n=5时， 两个齿轮的节曲线都不会内凹， 这样可以根据实际传动要求，选择合适的 值，进而计算其他参数。
(6.2.3)
(i ) 这里， nr 是接触法线顶端相对运动(沿着齿面)的速度，不包括法线的牵连
O2 I w(1) m12 (O1I O2 I E) O1I w(2)
（6.1.21）
这里，m12 m12 ( ) ： （i）对非圆形齿轮是 规定的齿轮传动比函数， （ii）对圆形齿轮是常 数。
基本运动关系
假定坐标系 S1 ,S2 和 S f ，分别与齿轮 1、齿轮 2 和机架刚性固接。接触点的
齿轮啮合原理
指导老师: 制作者： 学号；
第六章 共轭曲面和共轭曲线
本章应用之一 本章应用
用包络法研究正交面齿轮齿廓的几何设计方法和根 切条件，推导面齿轮齿廓和过渡曲面方程，用Matlab软 件对面齿轮齿廓的几何设计进行仿真。分析面齿轮的根 切现象，得出相应的根切条件。
建立运动坐标 系 根据圆柱齿 轮和面齿轮的运 动关系，利用圆 柱齿轮齿廓曲而 作为产形面，通 过包络运动得到 而齿轮齿廓.包 络过程的坐标系 如图1所示意图。
求出。曲面 1 的法线矢量在 S 1 中，用
(1) r r N1 2 2 u
（6.1.9）
表示。为了将法线矢量表示在坐标系 S j ( j f ,2) 中，我们利用矩阵方程
(1) (1) N j L j1 N1
（6.1.10）
曲面族包络——包络存在的必要条件
图1 蜗线齿轮及其共扼齿轮传动原理图
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
图3是不同转速时，随d变化曲线图， 设计时也可以从该图直接获得和 对应 的d。
变形率 对传动比 的影响
蜗线齿轮及其共轭齿轮节曲线的设计
图(a）是 n=1，2，3时，蜗线齿轮及其轭齿轮的节曲线，由图可以看出，此时蜗 线齿轮和共轭齿轮的节曲线都没有发生内凹的现象。 图(b)是 ，n=1，2,， 3, 6时，蜗线齿轮及其共轭齿轮的节曲线，由图可以看出，蜗 线齿轮已经发生内凹，n=6时，共轭齿轮也发生内凹。
根据面齿轮根切现象可知，而齿 轮根切条件为下式不存在实数解。
R mz R mz R mz 0 min u k m
本章应用之一
根据而齿轮根切参数值
rn ,min 0.4698 mz fg 0.6977
式中: 为而齿轮根切最小值；m为而齿轮模数； 为而齿轮齿数.而齿轮 根切工程近似方程拟合曲线与根切参数点对比，如图所示
（6.1.7）
曲面族包络——包络存在的必要条件
方程（6.1.7）中的数积与所选取的坐标系无关，因而我们可以将啮合方程表示为
(1) (12) (1) (21) Ni vi Ni vi f (u, , ) 0 (i 1,2, f )
（6.1.8）
(12) (21) (12) 矢量 vi （同理 vi vi ）可以用运动学法或者用矩阵算子（参看第二章）
曲面族包络——包络存在的必要条件
1 假定坐标系 S1，S2 和 Sf 分别与齿轮 1，2 和机架 f（齿轮箱体）刚性固接。 2 假设齿轮 1 为刀具，加工齿轮 2 的曲面。 若要保证齿轮 2 的齿面确定为曲面族 （这是由齿轮 1 的曲面∑1 在 S2 中运 动形成的）的包络，则所需要的的齿轮两齿面的接触型式（每一瞬时在一条线） 要能得到保证。 那么∑2 如何才能存在呢？ 所以在这一节，我们先主要讨论齿轮 2 的齿面 2 存在的必要条件。
为了简化啮合方程（6.1.8）的推导，比较可取的是利用坐标系 S 1 或 Sf，而 不是 S2。所讨论的推导啮合方程的这种解法，比根据方程（6.1.5）所进行的推 导要简化得多。 注：当螺旋面绕其轴线作螺旋运动时，啮合方程（6.1.8）将变成恒等式。在 这样的运动中所形成的曲面族仅仅是一个曲面，即这同一个产形螺旋面，因而包 络是不存在的。
Matlab 仿真： 根据面齿轮齿廓方程 和过渡曲面方程，在M atlab6. 5版本软件中进行 仿真，如图3所示。仿真 时，产形面模数为2mm， 齿数为25，分度圆压力角 为20°,齿宽为10mm;而齿 轮齿数为lO0，参数d为 100mm。
面齿轮根切现象和条件
设 为产形而齿宽。当B为固定值时，伴随着参数d的减 rn d B / 2 小， 变小，而齿轮齿廓发生如图4所小的变化.图4中，当 减小时， 而齿轮齿廓沿径向沿其旋转中心延伸，此时，靠近旋转中心处的而 齿轮齿顶高度下降，同时过渡曲而的起始位置抬升，使得靠近旋转 中心处的面齿轮齿廓逐渐减少；当 减小到某一临界值时，则会出 现已经包络出的面齿轮齿廓的齿顶处曲被包络过程再次切除，从而 产生靠近旋转中心处的面齿轮齿廓根切现象。