高中数学 2.1.6 点到直线的距离(2)暑期学案 新人教A版必修2

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学习要求
1．巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式；
2．掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法；
3．能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．
【课堂互动】
自学评价
1.若000(,)Q x y 与(,)Q x y 关于点(,)P a b 对称, 则
02x x += a ,02
y y += b ． 2. 若000(,)Q x y 与(,)Q x y 关于直线
0=++C By Ax 对称,
则000(,)Q x y 与(,)Q x y 的中点落在直线0=++C By Ax 上, 且0Q 与Q 的连线与0=++C By Ax 垂直.
【精典范例】
例1：在直线30x y +=上找一点,使它到原点和直线320x y +-=的距离相等． 分析：直线 30x y +=与直线
320x y +-=平行，即可算出它们之间的距离，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标．
【解】直线30x y +=与320x y +-=
5
= 设直线30x y +=上的点00(,)P x y
满足题意，则002220030x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
解得003515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或003515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴所求点的坐标为31(,)55-或31(,)55
-． 点评:本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固．
例2：求直线211160x y ++=关于点(0,1)P 对称的直线方程．
分析：解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等．
【解】设所求直线的方程为
2110x y C ++=，
由点到直线的距离公式可得
=，
∴16C =（舍去）或38C =-，
所以，所求直线的方程为211380x y +-=．
点评:本题也可以利用点与点的对称，设直线211160x y ++=上任意一点000(,)A x y （000(,)A x y 在直线211160x y ++=上，所以00211160x y ++=）与(0,1)P 对称的点为
(,)A x y 则002x x +=，012
y y +=解得0x x =-，02y y =-，然后将0x ，0y 的值代入00211160x y ++=求出所求直线，比较而言，此法注重轨迹的推导过程，而前面的方法比较简便，为求直线关于点对称的直线方程的基本方法（直线关于点对称的问题）．
例3：已知直线1l ：01=-+y x ， 2l ：032=+-y x ，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程．
分析：直线关于直线对称，可以在2l 上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线1l 的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程．这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算．
【解】由⎩⎨⎧=+-=-+03201y x y x ，解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=35
32y x ，∴l 过点25(,)33P -， 又显然)1,1(-Q 是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为00'(,)Q x y ， 则00001110221(1)11
x y y x -+⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-+⎪⎩， 解得：00
02x y =⎧⎨=⎩，即'(0,2)Q ， 因为直线l 经过点P 、'Q ，所以由两点式得它的方程为：042=+-y x ．
点评: 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直线对称的问题）．
注意：这里有一种特殊情况：
直线0=++C By Ax 关于直线y x =对称的直线方程为：0Ay Bx C ++=．
例4：建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系.
【证明】设ABC ∆是等腰三角形，以底边CA
所在直线为x 轴，过顶点B 且垂直与CA 的直线为y 轴，建立直角坐标系（如图）．设)0,(a A ， ),0(b B (0>a ，0>b )，则)0,(a C -．
直线AB 的方程：1=+b y a x ， 即：0=-+ab ay bx ．
直线BC 的方程：1=+-b
y a x ， 即：0=+-ab ay bx ．
设底边AC 上任意一点为)0,(x P
（a x a ≤≤-），
则P 到AB 的距离
2222)(||b
a x a
b b a ab bx PE +-=+-=， P 到BC 的距离
2222PF a b a b
==++， A 到BC 的距离
22222||b
a a
b b a ab ba h +=++=． 2222PE PF a b a b
+=+++ 22h a b
==+故原命题得证． 点评:本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用，运用代数方法研究几何问题.
自主训练一
１． 点P 在x 轴上,若它到直线
4330x y --=的距离等于1，则P 的坐标是(2,0)或1(,0)2
-． ２．直线43-=x y 关于点)1,2(-P 对称的直线的方程为3100x y -+=．
3. 光线沿直线l 1：032=-+y x 照射到直线l 2：40x y ++=上后反射，求反射线所在直线3l 的方程．
【解】由23040x y x y +-=⎧⎨
++=⎩，解得：711
x y =⎧⎨=-⎩，
∴3l 过点(7,11)P -，
又显然(1,1)Q 是直线1l 上一点，设Q 关于直线2l 的对称点为00'(,)Q x y ， 则00001140221(1)11
x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩， 解得：0055
x y =-⎧⎨
=-⎩，即'(5,5)Q --，
因为直线l 经过点P 、'Q ，所以由两点式得它的方程为2150x y ++=． ４．求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高．
分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系．
【证明】设ABC ∆是等腰三角形，以底边CA 所在直线为x 轴，过顶点B 且垂直于CA 的直线为y 轴，建立直角坐标系，如图，
设(,0)A a ，(0,)B b (0,0)a b >>，
则(,0)C a -，直线AB 方程为：
1x y a b
+=，即：0bx ay ab +-=， 直线BC 方程为：1x y a b
+=-， 即：0bx ay ab -+=，
设(,0)P x (x a >或)x a <-是底边延长线上任意一点，
则P 到AB 距离为
PD ==， P 到BC 距离为
PE ==， A 到BC 距离为
h ==，
当x a >时，
||PD PE -==
h ==，
当时，
||PD PE -==
h ==， ∴当x a >或x a <-时，||PD PE h -=，
故原命题得证．
【学习延伸】
一、数列与函数
例５:分别过)3,0(),0,4(--B A 两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：
（1）两平行线间的距离为4；（2）这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值．
分析：（１）两条平行直线分别过(4,0)A -， (0,3)B -两点,因此可以设出这两条直线的方程之间(注意斜率是否存在)，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（２）这两条平行直线与AB 垂直时，两直线之间距离最大．
【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为0,4=-=x x ，满足题意．
当两直线的斜率存在时，设方程分别为
)4(+=x k y 与3-=kx y ，
即：04=+-k y kx 与03=--y kx ，由题意：
41342=++k k ，解得24
7=k ， 所以，所求的直线方程分别为：
028247=+-y x ， 072247=--y x ．
综上：所求的直线方程分别为：
028247=+-y x ，072247=--y x
或0,4=-=x x ．
（2）结合图形，当两直线与AB 垂直时，两直线之间距离最大，最大值为||5AB =，同上可求得两直线的方程．此时两直线的方程分别为01634=+-y x ，0934=--y x ．
点评:（１）设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（２）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质．
思维点拔：对称问题
在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解．
自主训练二
1．两平行直线1l ，2l 分别过(1,0)A ，(0,5)B
（１）1l ，2l 之间的距离为５，求两直线方
程；
（２）若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围．
【解】（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为1x =，0x =，不满足题意． 当两直线的斜率存在时，设方程分别为
(1)y k x =-与5y kx =+，
即：0kx y k --= 与50kx y -+=，
5=，解得0k =或512
k =， 所以，所求的直线方程分别为：
1l ：0y =，2l ：5y =或
1l ：51250x y --=，
2l ：512600x y -+=．
（２）d ∈．。