凯迪数学九年级专题训练20160220

一. 线动形成的全等三角形存在性问题
二. 原创模拟预测题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x 2x 42
=-++交y 轴于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，顶点为M ，设点P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，直线PE 绕点P 旋转，与y 轴交于点E ，是否存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

原创模拟预测题1.如图，∠MON=90°，A 、B 分别是OM 、ON 上的点，OB=4．点C 是线段AB 的中点，将线段AC 以点A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD ，过点B 作ON 的垂线．
（1）当点D 恰好落在垂线上时，求OA 的长；
（2）过点D 作DE ⊥OM 于点E ，将（1）问中的△AOB 以每秒2个单位的速度沿射线OM 方向平移，记平移中的△AOB 为△A O B '''，当点O′与点E 重合时停止平移．设平移的时间为t 秒，△A O B '''与△DAE 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B O ''与线段BA 交于点P ，连接PD ，PA '，A D '，是否存在这样的t ，使△PA D '是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
原创模拟预测题3. 如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B 、C 和D （3，0）．
（1）求直线BD 和抛物线的解析式．
（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
原创模拟预测题4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts 时，
△EFG 的面积为Scm 2。

（1）当＝1s 时，S 的值是多少？
（2） 当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动，用含t 的代数式表示S ；当24t <≤时，点E 在边AB 上移动，点F 、G 都在边CD 上移动，用含t 的代数式表示S.
（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当为何值时，以点B 、E 、F 为顶点的三角形与以C 、F 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由
【答案】解：∵抛物线21
y x 2x 42
=-++交y 轴于点C ， ∴C （0，4）。

∵()2
211y x 2x 4x 2622
=-++=-
-+， ∴顶点M 坐标为（2，6）。

若以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等，可能有以下情形：
①OD=OP 。

由图象可知，OP 最小值为4，即OP≠OD ，故此种情形不存在。

②OD=OE 。

若点P 位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE 为钝角三角形，而△OPD 为锐角三角形，则不可能全等。

若点P 与点M 重合，如图2所示，此时△OPD ≌OPE ，四边形PDOE 为矩形。

∴OE=DM=6，即点E 的坐标为（0，6）。

综上所述，存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等，点E 的坐标为（0，2）或（0，6）。

原创模拟预测题1.如图，∠MON=90°，A 、B 分别是OM 、ON 上的点，OB=4．点C 是线段AB 的中点，将线段AC 以点A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD ，过点B 作ON 的垂线．
（1）当点D 恰好落在垂线上时，求OA 的长；
（2）过点D 作DE ⊥OM 于点E ，将（1）问中的△AOB 以每秒2个单位的速度沿射线OM 方向平移，记平移中的△AOB 为△A O B '''，当点O′与点E 重合时停止平移．设平移的时间为t 秒，△A O B '''与△DAE 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若B O ''与线段BA 交于点P ，连接PD ，PA '，A D '，是否存在这样的t ，使△PA D '是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8;2）当0≤t ＜1时，254t S =．当１≤t ＜４时，
1251
2-+-=t t S ．当4
≤t ≤5时，65345
212
-+-=t t S ．（3） 0≤t ≤4，4t = 【解析】
试题解析：解：（1）∵l ⊥ON ，∴∠DBA ＋∠ABO=90°．
（3）存在满足条件的t （0≤t ≤4），理由如下：
由题意知：BB '=AA '=2t ， O′A′=O A=8，DE=B′O′=BO=4． 经探究，得△BB P '∽△AOB ，∴BB B P AO OB ''=，即 284
t B P
'=，∴B P t '=．△DAE ∽△ABO ，∴
AE DE BO AO =，即4
48
AE =，∴AE=2，∴BD=OE=OA+AE=10．∴PO′=4－t ，B′D=10－2t ，A′E=10－8－2t 或2t ＋8－10．在Rt △PO A ''中，
222
2
2
2
(4)8880P A P O O A t
t t
''''=+=-+=-+． 在Rt △PB D '中，2
2
2
2
2
2
(102)540100PD PB B D t t t t ''=+=+-=-+． 在Rt △A DE '中，222222
4(2810)4820A D DE A E t t t ''=+=++-=-+． ①当
PA′=PD
时，PA′2
=PD
2
，即22
880540100
t t t t -+=-+，解得
1244t t ==．∵0≤t ≤4，∴4t =PA′=A′D 时，PA′2=A′D 2，
即22
8804820t t t t -+=-+，解得t =±0≤t ≤4，∴此种情况不成立．
原创模拟预测题3.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）直线BD的解析式为：y=-x+3．抛物线的解析式为：y=x2-4x+3．（2）点N坐标为：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．点P的坐标为（4，3）或（-1，8）．
【解析】
∴
3
30
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得k=-1，b=3，∴直线BD的解析式为：y=-x+3．设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）（x-3），∵点B（0，3）在抛物线上，∴3=a×（-1）×（-3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3．
如答图1所示：
Ⅰ）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，∴N1（0，0）；
（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
（Ⅱ）当点P 位于直线BD 下方时，如答图3所示：
过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，则PE=m ，OE=-n ，BE=3-n ．
S △PBD =S 梯形PEOD +S △BOD -S △PBE =
12（3+m ）•（-n ）+12×3×3-1
2
（3-n ）•m=6， 化简得： m+n=-1 ②，
∵P （m ，n ）在抛物线上，
∴n=m 2
-4m+3，
代入②式整理得：m 2
-3m+4=0，△=-7＜0，此方程无解． 故此时点P 不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P ，使S △PBD =6，点P 的坐标为（4，3）或（-1，8）．
原创模拟预测题4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts 时，
△EFG 的面积为Scm 2。

1）当＝1s 时，S 的值是多少？（2） 当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动，用含t 的代数式表示S ；当24t <≤时，点E 在AB 上移动，点F 、G 都在边CD 上移动，用含t 的代数式表示S.
（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当为何值时，以点B 、E 、F 为顶点的三角形与以C 、F 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由
【解析】
（2）①如图1，当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动，此时AE 2BE 122BF 4FC 84CG 2t t t t t ==-==-=，，，，
EBF FCG EBCG 111
S S S S 8(1222)4(122)2(84)
222
F t t t t t t ∆∆=--=⨯⨯-+-⨯--⨯-梯形283248t t =-+
即2S 83248t t =-+（02t ≤≤）. （5分） ②如图2当点F 追上点G 时，428t t =+，解得4t =。

当24t <≤时，点E 在边AB 上移动， 点F 、G 都在边CD 上移动， 此时CF=48t -．CG=2t ，FG=CG-CF=2(48)82t t t --=-.
11
S FG BC (82)883222
t t =⋅=-⋅=-+
832S t =-+ （24t <≤） （7分）（3）如图1，当点F 在矩形的边BC 上移动时，02t ≤≤.
在△EBF 和△FCG 中，∠B=∠C=90°，①若EB BF FC CG =．即1224842t t
t t
-=-，解得23t =，
（10分） 又23t =
满足02t ≤≤，所以当2
3
t =时，△EBF ∽△FCG ，
（14分）
考点：1.相似三角形的判定；2.一次函数的应用；3.三角形的面积；4.矩形的性质.。