高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》全集汇编含答案解析

数学高考《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)
x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
【答案】C 【解析】
试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质
2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}
2
|0?N x x x =-<，则下
列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()
U M N ⊆ð
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
4．已知()(1)|ln |
x
f x x x =
≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2(2,)e e
⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
B ．11,e e ⎛⎫+
⎪⎝⎭
C ．(1,)e e -
D ．1
e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
由22
[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =
与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以
()|ln |ln x x f x x x =
=，令()ln x g x x
=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'
()0g x >得
x e >， 由'
()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示
要使原方程有4个根，则01m e
m e <<⎧⎨+>⎩
，解得1e m e -<<.
故选：C
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
5．已知()ln x
f x x
=
，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020
log 20202019
>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2
1ln (),(0,)x
f x x x -'=
∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】
2
1ln (),(0,)x
f x x x -'=
∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；
对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 2
4(2)442
f f ====，故B 正确；
对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，
ln ln a b
a b
∴
<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，
(2019)(2020)f f ∴>，即
ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020
log 2020ln 02019
219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
6．已知2
1()cos 4
f x x x =
+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【解析】
Q ()21f cos 4x x x =
+，()()1
'sin ,'2
f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
7．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π
⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C;
由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则5522
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f πππ
π-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时
()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
8．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
9．函数()2log ,0,2,0,
x
x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f
x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =
和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩
的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
10．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(22,)+∞ B ．(,2)-∞
C ．(,3)-∞
D ．27(,
)5
-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]
1,5x ∈使得
22
x 2ax x a x
+>⇒+
>，解出()f x 的最大值． 【详解】
220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2
f x x x
=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值27
5=
，当5x =时取得，故选D 【点睛】
11．若函数f （x ）=()x 1
2
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪
⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+
C ．(),5∞--
D ．(]
,5∞-- 【答案】B 【解析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】
由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+
()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以
4a 1+≥-，
解a 5≥-. 故选B. 【点睛】
本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
12．若函数32
1()1232b f x x x bx ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭
在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.
A ．4
23
b -
B ．
3223
b - C ．0
D ．2
3
16
b b -
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到
(2)f 是函数的极小值即可．
【详解】
解：2
()(2)2()(2)f x x b x b x b x '
=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，
31b ∴-<<，
由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，
()f x ∴的极小值为()84
(2)424233
f b b b =-++=-，
故选：A. 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.
13．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
===（e
是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】C
【分析】
根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e
=
==的结构特点，令()ln x
f x x =，求导
()2
1ln x
f x x
-'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】
令()ln x
f x x
=，
所以()2
1ln x
f x x -'=，
当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，
所以 ()()()34>>f e f f ， 即b a c <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
14．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1
x e
=求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
15．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，
()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）
A ．(),1-∞
B ．(),0-∞
C ．()0,+∞
D ．()1,+∞
【答案】B 【解析】
不等式()3x
f x e >+得
()()33
11x x x f x f x e e e ->+∴>，
()()()()()33
0x
x
f x f x f x
g x g x e e --+=
∴=
'<'设，
所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()43
01001
g g x g x -==∴>∴<． 故选B ．
点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．
16．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤-
所以a 的最大值为2-.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
17．函数()1ln f x x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.
【详解】
当2x =时，110x x
-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302
x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x
=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
单调递增，可排除C ； 故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
18．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e
- C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B
【解析】
【分析】 利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
19．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4
B ．2
C ．52
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x π
πππ
=-=-=⎰，选B.
考点：定积分的几何意义
20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数
()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩
，解不等式即可. 【详解】
0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减
若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数 则需1530
a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D
【点睛】
本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。