《幂函数》 示范公开课教学设计

《幂函数》教学设计
（1）通过观察图像，了解幂函数图像的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，提升学生的数学抽象素养.
（2）了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质．提升学生的数学运算素养．
（3）应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题，培养学生逻辑推理素养
1、教学重点：从具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质． 教学难点：（1）从幂函数的图像中概括其性质
（2）根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小
PPT 课件．
一、整体概览
问题1：阅读课本第33-36页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.
预设的答案：本节课要学的内容是幂函数的图像及其性质，其核心幂函数的性质应用.本节是学生在之前已经学习了幂的意义以及幂的运算，学习了反比例函数、一次函数和二次函数.事实上，2
1
,,x y x y x y ===-都是幂函数，学生对它们的基本性质和图像都已经很熟悉.学生在学习了函数的概念、基本性质，以及指数函数、对数函数的概念、性质和图像之后，紧接着学习幂函数，从知识体系上讲是自然衔接，从学生的认知结构上讲则是抓住了学习的“最近发展区”顺势而为，学生可以很容易地应用函数的研究方法来分析幂函数，从而进一步体验研究函数性质和图像的基本过程和方法.
◆教学目标
◆教学重难点 ◆
◆课前准备
◆教学过程
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、问题导入
问题2：我们已经知道，在关系式b a N =中，当底数a 为大于0且不等于1的常数时;如果把b 作为自变量、N 作为因变量，则N 就是b 的指数函数；如果把N 作为自变量、b 作为因变量，则b 就是N 的对数函数（即N b a log =）.那么，当b 为常数时，是否可以将底数a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
师生活动：学生尝试自己得出问题的结果．并思考运算法则的得出过程.
预设的答案：在关系式N =a b 中，以a 为自变量、N 为因变量构造的函数为b x y =，其中的N 即为因变量y ，a 即为自变量x .
设计意图：从学生熟悉的公式导入，由指数的运算得出对数的运算，唤醒学生由已有的知识解决未知的问题，激发学生的兴趣.
引语：构造出来的函数就是本节我们要讨论的幂函数（板书：幂函数）
【新知探究】
问题3： 我们以前学过函数y ＝x ，y ＝x 2，1
y x
=
，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
师生活动：学生自行书写，教师给出答案.
预设的答案：这三个函数的解析式改写成统一的形式为αx y =. 设计意图：通过实际例子的归纳总结，自然的引出幂函数的概念.
一般地，函数α
x y =称为幂函数，其中a 为常数，上面提到的函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x
1都是幂函数.
下面我们通过具体函数来研究幂函数的一些性质. 首先来研究函数2
1x y =
问题4：判断−4，−3，−2，−1，4,3,2,1,4
1
,0,41-这些数中，哪些在函数21
x y =的定
义域内，求出对应的函数值，并填写下表（只需要填在定义域内的数及对应的函数值），由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试并说明理由.
由于2
1x y ==x ，由此不难知道，函数2
1x y =的性质有： （1）定义域是 （2）值域是 （3）奇偶性是 （4）单调性是
师生活动：学生充分思考后，写出并由老师给出答案.
此图片是动画缩略图，本资源为《幂函数的图象与性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．本资源适用于认识幂函数的教学，供教师备课和授课使用.若需使用，请插入动画【数学探究】幂函数的图象与性质（教师可以多次使用这个动画，用于讲解不同类型的幂函数，以及图像性质的对比讲解）
本资源展现几个特殊幂函数的性质，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于几个特殊幂函数的性质的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入图片【知识点解析】几个特殊幂函数的性质
预设的答案：
函数2
1
x
y=的性质有：
（1）定义域是：)
,0[+∞
（2）值域是：)
,0[+∞
（3）奇偶性是：非奇非偶函数
（4）单调性是：增函数
设计意图：通过学生根据具体数值得出归纳出函数的性质，培养学生的自主学习能力. 根据以上信息可知，函数2
1
x
y=图像上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左下图所示），可作出其图像，如右下图所示
问题5：给出研究函数y=x3的性质与图像的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是
（2）值域是
（3）奇偶性是
（4）单调性是
（5）如图所示中已经作出了函数y=x-1，y=x，y=x2的图像，在其中作出函数y=x3图像.
师生活动：学生充分思考后，写出并由老师给出答案.
预设的答案：（1）定义域是R
（2）值域是R
（3）奇偶性是奇函数
（4）单调性是增函数
（5）函数y=x3图像教师可借助多媒体呈现.
设计意图：通过学生根据具体数值得出归纳出函数的性质，培养学生的自主学习能力. 总结：一般地，幂函数y =x α，随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：
（1）所有的幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1，1）.
（2）如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数.
（3）如果α<0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地通近y 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近x 轴.
【巩固练习】
例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）2.31.1和2.51.1；（2）3
1
2
)
2(-+a 和3
12
-
.
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案： 解：（1）考察幂函数y =x 1.1，因为其在区间[0，+∞）上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1.
考察幂函数1
3
y x -=，因为其在区间（0，+∞）上是减函数，而且
a 2+2≥2，所以
(
)
1
13
3
22
a 2-
-
+≤
设计意图：考查利用幂函数的单调性比较数的大小.
例 2.讨论函数3
2x y =的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
师生活动：学生分析解题思路，利用幂函数的性质，给出答案． 预设的答案：解：因为3
2
3
2x x y =
=，所以不难看出函数的定义域为R ,记,)(3
2x x f =则
)()()()(3
23
2
32
3
2x f x x x x x f ===-=-=-，所以函数3
2x y =为偶函数，因此函数的
图像关于y 轴对称 ，通过列表描点连线.可以作出3
2x y =的图像，
由图像可得，函数3
2x y =在区间]0,(-∞上是单调递减，在区间),0[+∞上单调递增 设计意图：通过利用函数的解析式得出函数的奇偶性，作出函数的图像，得出函数的单调性，巩固学生对幂函数的性质应用.
练习：教科书第36页习题4-4A 1，2,3,4,5题．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
【教学反思】
通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析
【课堂小结】
1．板书设计： 4.4幂函数
1．幂函数 例1
问题：（1）．幂函数是如何定义的？ （2）．幂函数的解析式具有什么特点？
（3）．常见幂函数的具有哪些性质？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数，上面提到的函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝
x
1
都是幂函数.（2）幂函数的解析式都是y x α=.（3）一般地，幂函数y x α=，随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：
①所有的幂函数在区间（0，+∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（1，1）.
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间（0，+∞）上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地通近y 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近x 轴.
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确幂函数的图像及其性质.
布置作业：教科书第8页习题C 1，2题．
【目标检测】
1.函数y ＝(x 2－2x )
2
1－的定义域是( )
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．(0,2) .设计意图：考查学生对换元法在解题中的应用． 2.下列函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x 3 C ．y ＝1
x D ．y ＝2x
设计意图：考查学生对幂函数定义的理解． 3．下列结论正确的是( )
A ．幂函数的图像一定过原点
B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数
C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数
D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数
设计意图：考查学生对幂函数性质的理解． 4．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1
x D ．y ＝23
x
设计意图：考查学生对幂函数单调性的理解．
参考答案：
1．解析：函数y ＝(x 2－2x )
2
1－化为y ＝
1
x 2－2x
，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数的定义域为{x |x ＞2或x ＜0}． 答案：B 2．C 3．D 4．A。