甘肃省通渭县第二中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

甘肃省通渭二中2018届高三级上学期期中考试理科数学试题
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．设U ＝R ，A ＝{x ｜y ＝x 错误!}，B ＝｛y ｜y ＝－x 2｝，则A∩（∁U B ）＝（ )
A ．Ø B．R C ．{x ｜x>0｝ D ．｛0｝
2．已知p ：x≥k，q:错误!<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ）
A ．［2,＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．［1,＋∞）
D ．(－∞，－1]
3．命题“∃x 0∈(0，＋∞），lnx 0＝x 0－1”的否定是 ( )
A ．∃x 0∈(0，＋∞),lnx 0≠x 0－1
B ．∃x 0∉(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1
C ．∀x ∈（0，＋∞),lnx ≠x －1
D ．∀x ∉(0，＋∞）,lnx ＝x －1
4．已知⎩⎨⎧≥-<+-=)
1( , )1( ,4)13()(x ax x a x a x f 是定义在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ )
A. [11,)83 B 。

［ 10,3］ C. （ 1,3-∞］ D 。

( 10,)3
5．.已知函数f(x)＝sin(x ＋θ）＋3cos （x ＋θ）错误!是偶函数，则θ的值为（ )
A。

0 B.错误! C.错误! D.错误!
6．已知向量a＝（m,1）,b＝(1－n，1）(其中m，n为正数），若a∥b，则错误!＋错误!的最小值是（）
A．2错误!B．3错误!C．3错误!＋2 D．2错误!＋3
7．正项等比数列{a n}中的a1，a4031是函数f（x）＝错误!x3－4x2＋6x－3的极值点,则
log a2016＝（）
A．1 B．2 C.错误!D．－1
8平面向量a与b的夹角为60°,a＝(2,0），｜b|＝1，则｜a＋2b｜＝( )
A.错误! B．2错误!C．4 D．12
9由曲线y＝错误!，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( ) A。

错误!B．4 C.错误!D．6
10．若函数f（x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a］上的偶函数，则该函数的最大值为（)
A．5 B．4 C．3 D．2
11．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f(x)－m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为（）
A．[－错误!,1］B．[－错误!，1) C．（－错误!，0］D．(－
错误!，0 ）
12．给出下列四个命题：
①f(x)＝sin错误!图象的对称轴方程为x＝错误!＋错误!，k∈Z；
②若函数y＝2cos错误!(a〉0）的最小正周期是π，则a＝2;
③函数f（x)＝sinxcosx－1的最小值为－错误!;
④函数y＝sin错误!在错误!上是增函数.
其中正确命题的个数是( )
A。

1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上）
13．若a＝(2＋λ，1），b＝（3，λ)，〈a,b>为钝角，则实数λ的取值范围是________．
14．已知函数f（x)＝x3＋m。

若关于x的不等式f（x)≥x3＋3x2－3x 在区间［1,2]上有解,则实数m的取值范围是__________．
15．函数f(x)＝e x－x（e为自然对数的底数）在区间［－1，1］上的最大值是．
16．已知定义在R上的偶函数满足：f（x＋4）＝f（x）＋f(2)，且当x∈［0，2]时，y＝f（x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4为函数y＝f（x）图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x）在[8，10]上单调递增；
④若方程f(x）＝m在［－6，－2］上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
以上命题中所有正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知｜a|＝4，｜b｜＝3,(2a－3b）·（2a＋b)＝61,
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求｜a＋b|；
18。

（本小题满分12分）
已知向量a＝(cos错误!x,sin错误!x）,b＝错误!，若f（x)＝a·b－|a＋b｜2.
(1)求函数f（x)的单调减区间；
（2）若x∈错误!，求函数f(x）的最大值和最小值．
19. (本小题满分12分）
已知函数f（x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数;
（2）若f（x)＝错误!（0〈x≤1），求x∈［－5，－4]时,函数f（x)的解析式．
20. （本小题满分12分）
已知a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列｛a n}是递增的等差数列，数列｛b n}的前n项和为S n,且S n＝1－错误!b n (n∈N*)．（1）求数列｛a n},｛b n｝的通项公式；
（2）记c n＝a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n。

21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)的图象与函数h(x）＝x＋错误!＋2的图象关于点A(0,1）对称．
（1）求f（x）的解析式;
（2)若g(x)＝f(x）＋错误!，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R)，
(1)当a＝2时，求曲线y＝f（x)在点A(1，f（1））处的切线方程;
（2）求函数f(x)的极值．
甘肃省通渭二中2018届高三级上学期期中考试理科数学答案
一．选择题
1-—5 CBCAB 6--10 DABCA 11——12 DC
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上)
13．(－∞，－3)∪错误!14．［0，＋∞)15．e－1 16．①②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
［解］(1)∵（2a－3b)·（2a＋b）＝61，
∴4|a|2－4a·b－3｜b｜2＝61。

又｜a|＝4，|b｜＝3,∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!.
又0≤θ≤π，∴θ＝错误!.
（2）|a＋b|2＝(a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴｜a＋b|＝13.
18. （本小题满分12分）
解析:(1）∵f（x)＝cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!－错误!＝
cos2x－(2＋2cos2x）＝－cos2x－2。

∴函数f（x)的单调减区间为错误!（k∈Z)．
(2)∵x∈错误!⇒2x∈错误!，
则f（x)∈错误!，
∴函数f(x）的最大值为－错误!,最小值为－3。

19。

(本小题满分12分）
解析：（1）证明：由函数f(x）的图象关于直线x＝1对称，有f （x＋1）＝f(1－x),即
有f（－x）＝f(x＋2）．
又函数f(x）是定义在R上的奇函数,故有f（－x）＝－f(x)．
故f（x＋2)＝－f(x），从而f(x＋4)＝－f（x＋2)＝f（x)，即f（x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f（x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0.
x∈［－1,0）时，－x∈(0,1］，f(x）＝－f（－x)＝－错误!。

故x∈[－1,0］时,f（x)＝－错误!.
x∈［－5,－4］时，x＋4∈［－1,0］，f（x)＝f(x＋4）＝－错误!。

从而,x∈[－5，－4］时,函数f（x)的解析式为f(x)＝－错误!.
20.（本小题满分12分）
[解] (1)由题意得,a2＝3，a5＝9，
公差d＝错误!＝2，
所以a n＝a2＋(n－2)d＝2n－1。

当S n＝1－错误!b n得，当n＝1时,b1＝错误!.
当n≥2时,b n＝S n－S n－1＝错误!b n－1－错误!b n，得b n＝错误!b n－1，
所以{b n｝是以错误!为首项，错误!为公比的等比数列．所以b n＝错误!。

(2）c n＝a n·b n＝错误!，
T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，
3T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!.
两式相减得2T n＝2＋错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!＝4－错误!，
所以T n＝2－错误!。

21。

(本小题满分12分）
[解］（1）设f(x)图象上任一点P(x，y)，
则点P关于（0,1)点的对称点P′（－x，2－y)在h(x）的图象上,
即2－y＝－x－错误!＋2，∴y＝f(x)＝x＋错误!（x≠0）．
（2)g(x）＝f(x)＋a
x＝x＋错误!,g′(x)＝1－错误!。

∵g（x)在(0，2］上为减函数,
∴1－错误!≤0在(0，2］上恒成立，即a＋1≥x2在(0，2］上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，
故a的取值范围是［3，＋∞)．
22.（本小题满分12分）
[解］函数f（x）的定义域为(0，＋∞），f ′(x）＝1－错误!。

（1）当a＝2时,f（x）＝x－2ln x，f ′(x）＝1－错误!(x>0），
因而f（1）＝1，f ′(1）＝－1，
所以曲线y＝f（x）在点A（1,f（1))处的切线方程为y－1＝－（x －1)，即x＋y－2＝0。

（2)由f ′（x)＝1－错误!＝错误!,x>0知:
①当a≤0时,f ′（x)>0，函数f（x)为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a>0时，由f ′（x）＝0，解得x＝a。

又当x∈（0，a）时,f ′（x）〈0；当x∈(a，＋∞)时，f ′（x）>0,从而函数f(x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，
学必求其心得，业必贵于专精
无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a〉0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值．。