九年级数学中考复习 证明1,2,3知识精讲 试题

初三数学中考复习证明〔1，2，3〕北师大版
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
中考复习证明〔1，2，3〕
［知识体系］
本局部内容是教师将七、八、九年级一共6册书中的，有关几何证明方面的知识进展梳理，力求通过复习，进步同学们对整个初中三年中几何局部的理解，并能更好地加以利用，最后到达驾驭知识的才能。

下面就和同学们一起将知识体系纯熟一遍，本知识体系采用了“互动〞的方式。

教师提出问题学生经过查找书籍等方式，一共同将知识体系补充完好。

证明〔一、二〕
一、命题，判断一件事情的句子，叫做命题。

1. 每个命题都有___________和___________两局部组成。

___________是的事项，___________是由事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写成“___________〞的形式，其中“假如〞引出的局部是___________，“那么〞引出的局部是___________。

2. 正确的命题称为___________，不正确的命题称为___________。

3. 具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子成为反例。

二、公理：
1. 平行断定：
___________相等，两直线平行。

___________相等，两直线平行。

___________互补，两直线平行。

2. 平行性质：
两直线平行，____________________________________________。

3. 与三角形的有关公理
〔1〕___________对应相等的两个三角形全等〔SSS〕
〔2〕___________对应相等的两个三角形全等〔SAS〕
〔3〕___________对应相等的两个三角形全等〔ASA〕
〔4〕全等三角形的___________相等
三、与三角形有关的定理
1. 三角形内角和___________
2. 三角形的一个外角等于___________
3. 三角形的一个外角大于______________________
4. 根据上面的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：
〔1〕______________________对应相等的两个三角形全等〔AAS〕
〔2〕等腰三角形_________________________________互相重合。

〔简称“三线合一〞〕
〔3〕等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于___________。

〔4〕有一个角等于60°的___________是等边三角形。

〔5〕在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________。

〔6〕在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。

〔7〕三个角都相等的三角形是___________三角形。

〔8〕等腰三角形的___________相等〔简称为“等边对等角〞〕
〔9〕有___________相等的三角形是等腰三角形〔简称为“等角对等边〞〕
〔10〕直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的___________。

〔11〕假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________
〔12〕______________________对应相等的两个直角三角形全等〔“斜边、直角边〞或者“HL〞〕
〔13〕线段垂直平分线上的点到___________的间隔相等。

〔14〕到一条线段___________间隔相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

〔15〕三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到___________的间隔相等。

〔这个交点也叫三角形的___________。

不同的三角形，___________的位置不同：______________________〕
〔16〕角平分线上的点到这个角的___________的间隔相等。

〔17〕一个角的内部，且到角的两边___________相等的点，在这个角的平分线上。

〔18〕三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到___________的间隔相等。

〔这个点也叫三角形的___________，都在三角形的___________〕
5. 反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为___________。

6. 互逆命题、互逆定理：
在两个命题中，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为___________，其中一个命题称为另一个命题的___________。

假如一个定理的逆命题经过证明是___________，那么它也是一个定理，这两个定理称为另一个定理的___________。

证明〔三〕本章所证明的定理和推论：
〔1〕平行四边形的对边___________
〔2〕平行四边形的对角___________，邻角___________
〔3〕平行四边形的对角线___________
〔4〕___________的两个角相等的梯形是等腰梯形
〔5〕两组对边分别___________的四边形是平行四边形
〔6〕两组对边分别___________的四边形是平行四边形
〔7〕一组对边___________的四边形是平行四边形
〔8〕对角线___________的四边形是平行四边形
〔9〕三角形的中位线___________第三边，且等于第三边___________
〔10〕一个角是___________的平行四边形是矩形
〔11〕矩形的四个角都是___________
〔12〕矩形的对角线___________
〔13〕有___________个角是直角的四边形是矩形
〔14〕对角线___________的平行四边形是矩形
〔15〕一组邻边___________的平行四边形是菱形
〔16〕菱形的四边都___________
〔17〕菱形的对角线___________，并且每条对角线___________
A〕___________条边相等的四边形是菱形
B〕对角线___________的平行四边形是菱形
〔18〕本章证明的其他可以在推论过程中使用的内容：
A〕夹在两边平行线间的平行线段___________
B〕对角线___________的四边形是平行四边形
C〕两组对角___________的四边形是平行四边形
D〕正方形的两条对角线___________并且互相___________每条对角线平分一组对角E〕一个角是直角的___________是正方形
F〕对角线相等的___________是正方形
G〕对角线___________的矩形是正方形
I〕直角三角形斜边中线等于___________
H〕假如三角形的一边中线等于这一边的一半，那么这个三角形是___________
答案：
一、命题：
1. 条件结论条件结论假如……那么……条件结论
2. 真命题假命题
二、公理：
1. 同位角内错角同旁内角
2. 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
3. 〔1〕三边〔2〕两边及其夹角
〔3〕两角及其夹边〔4〕对应边、对应角
三、与三角形有关的定理
1. 等于180°
2. 和它相邻的两个内角之和
3. 任何一个和它不相邻的内角
4. 〔1〕两角及其中一角的对边
〔2〕顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高
〔3〕60°〔4〕等腰三角形〔5〕斜边的一半
〔6〕30°〔7〕等边〔8〕两个底角
〔9〕两个角〔10〕平方〔11〕直角三角形
〔12〕斜边和一条直角边
〔13〕这条线段两个端点
〔14〕两个端点
〔15〕三个顶点外心外心锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点上
〔16〕两边〔17〕间隔〔18〕三条边内心内部
5. 反证法
6. 互逆命题逆命题
真命题互逆定理其中一个定理称为逆定理
证明〔三〕
〔1〕平行且相等〔2〕相等互补〔3〕互相平分
〔4〕同底上〔5〕相等〔6〕平行
〔7〕平行且相等〔8〕互相平分〔9〕平行于一半〔10〕直角〔11〕直角〔12〕相等
〔13〕三〔14〕相等〔15〕相等
〔16〕相等
〔17〕互相垂直平分一组对角
A〕四B〕互相垂直
〔18〕
A〕相等B〕互相平分C〕相等
D〕平分、相等垂直E〕菱形F〕菱形
G〕互相垂直J〕斜边的1
2
H〕直角三角形
【典型例题】
1. 如图：
当〔1〕、〔2〕中的直线MA∥NB时，请分别找出∠APB与∠MAP和∠NBP的大小关系，并证明。

分析：此类题目属于探究性题目，是如今比拟流行的题目，在解这类题目时，应首先
搞清和求证。

对于图形的变形，要力求找到新图形与旧图形之间的关系，以便推出所得结论。

解：〔1〕延长AP交NB于Q点
∵MA∥NB
∴∠1=∠2，
∵∠APB=∠2+∠B
∴∠APB=∠1+∠B=∠MAP+∠NBP
〔2〕∵MA∥NB
∴∠MAP=∠AOB
∵∠AOB=∠APB+∠NBP
∴∠MAP=∠APB+∠NBP
∴∠APB=∠MAP－∠NBP
2. ：P是线段CD的垂直平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，求证：①OC=OD；②OP 平分∠AOB
分析：此题中“P是线段CD的垂直平分线上一点〞，容易让人错误地认为OP就是CD的垂直平分线了，这是不对的，希望同学们能认真审题，把握好方向，以便顺利地解出题来。

解：①P是线段CD的垂直平分线上一点
∴PC=PD
∵PC⊥OA，PO⊥OB
OP=OP
∴Rt△COP≌Rt△DOP〔HL〕
∴OC=OD
②∴∠COP=∠DOP
即OP平分∠AOB
3. ：DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求△AEG的周长。

分析：根据垂直平分线定理，可得
AE=BE，AG=GC
AE、AG又是△AEG的两条边，EG是它的第三条边，
△AEG的周长就是BC的长。

解：∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∵GF是AC的垂直平分线
∴GC=AG
△AEG的周长=AE+EG+GA=BE+EG+GC=BC=10cm，
4. 正方形ABCD中，M是BC上一点，N是CD中点，且AM=DC+CM，求证：AN平分∠DAM。

分析：AM=DC+CM，于是可以把MC延长并与AN的延长线交于E，利用正方形边相等和三角形全等证明AM=ME，从而证明△AME为等腰三角形，得到两底角相等，进而证
明AN 平分∠DAM 。

证明：延长MC 交AN 延长线于E ∵N 是DC 中点，∴DN=CN 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=CD ，∠D=∠NCE=90° ∵AD ∥CB ，∴∠1=∠2 ∴在△ADN 和△ECN 中
DN CN DAN E D NCE ===⎧⎨⎪
⎩
⎪∠∠∠∠
∴△ADN ≌△ECN 〔AAS 〕 ∴CE=AD=CD
又∵AM=CM+CD ∴AM=CM+CE=ME ∴△AME 为等腰△ ∴∠E=∠EAM 又∵∠E=∠DAN ∴∠DAN=∠NAM 即AN 平分∠DAM 。

【模拟试题】
1. ，△ABC 中，∠DAC=∠B ，求证：∠ADC=∠BAC 。

2. 如图：
求证：①∠BDC>∠A
②∠BDC=∠B+∠C+∠A
③假设点D在线段BC的另一侧，结论会怎样。

3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4. 正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A沿侧面到点C'处吃食物，它怎样走途径最短？并求出其长？
5. ：沿折痕AC折叠长方形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F，假设AB=8，且S△ABF=24，求EC。

6. ：DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求△AEG的周长。

7. △ABC中，AB=AC=9cm，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于F，求DF
试题答案1. 证明：∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠B+∠BAD
∵∠BAC=∠DAC+∠BAD
∵∠B=∠DAC
∴∠ADC=∠BAC
2. 证明：①延长BD交AC于E
∵∠BDC是△CDE的外角
∴∠BDC>∠DEC
∵∠DEC是△ABE的外角
∴∠DEC>∠A
∴∠BDC>∠A
②同理，∠BDC=∠C+∠DEC
∵∠DEC=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
③∠BDC=360°－〔∠A+∠B+∠C〕
3. 延长CD到E，使CD=DE，连结AE、BE
∵AD=BD，CD=DE
∴ACBE是平行四边形
∵∠ACB=90°
∴ACBE是矩形
∴AB=CE
∴CD AB 12
4. 241
5. 3
6. 10
7.
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制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。