2019届河北省唐山市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

2019届河北省唐山市高三下学期第一次模拟考试数学（文）
试题
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先由得出，再确定即可．
【详解】
对于集合A，由得，解得，
即，而，所以，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题．2．设复数满足（其中为虚数单位），则（）
A．B．C．2 D．4
【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出，根据复数模的定义即可得到结果．
【详解】
由，得，
∴，故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
3．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，则（）
A．-1 B．C．-3 D．-9
【答案】A
【解析】求出双曲线的渐近线方程，然后求解两条渐近线斜率分别为，，进而可得结果．
【详解】
双曲线的两条渐近线为，
可得两条渐近线斜率分别为，，则，故选A．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
4．若，满足约束条件则的最大值为（）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
画出，满足约束条件的平面区域，如图示：
由，解得，
由得，平移直线，
显然直线过时，最大，最大值是7，故选C．
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．8 B．4 C．D．
【答案】D
【解析】首先利用三视图转换为如图所示的几何体，结合图中所给数据求出几何体的体积．
【详解】
根据几何体的三视图，转换为几何体为如图所示：
下底面为三角形底边长为2，高为2，且底面上的高为2的三棱锥．
故，故选D．
【点睛】
本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
6．已知命题：的图像关于原点对称；命题：的图像关于轴对称．则下列命题为真命题的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析命题、的真假，结合复合命题真假判断方法分析可得答案．
【详解】
根据题意，对于，有，为奇函数，
其图象关于原点对称，为真命题；
对于，，为奇函数，其图象关于原点对称，
为假命题；
则为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选D.
【点睛】
本题主要考查了复合命题真假的判断，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
7．《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7 近似表示，当内方的边长为5 时，外方的边长为，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】结合题意可计算出，，根据几何概型概率公式计算即可．【详解】
由题意可得，，
则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为，故选A．
【点睛】
本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
8．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）
A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．
【详解】
根据式子的特征每个分式的分母比分子多2，即，
故选C．
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键，属于基础题.
9．在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角形的面积进行求解即可．【详解】
∵，，，
∴，
则，
则，故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形高的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键，属于基础题.
10．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面
所成角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
直四棱柱的所有棱长相等，，
取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
∴，
∴直线与平面所成角的余弦值等于，故选B．
【点睛】
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间向量在立体几何中的应用，是中档题．
11．如图，直线经过函数（，）图象的最高点和最低点，则（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得横坐
标，即可得，从而得到的值，把点代入得到的值．
【详解】
由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，
代入直线得其横坐标分别为和，
故，，得，故，故，
代入得，
故，所以
因为，所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控
制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.
12．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】题意等价于，有且仅有一个解，即直线与，
的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得在为增函数，
在为减函数，结合，以及的值可得实数的值.
【详解】
函数，有且仅有一个零点等价于，有且仅有一个解，
设，
即直线与，的图象只有一个交点，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
则可得实数的值为，故选B．
【点睛】
本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，函数
零点的个数和两函数，两函数图象交点个数相同，主要通过导数研究图象的大致形状，属中档题
二、填空题
13．已知向量，，若，则_____．
【答案】
【解析】根据即可得出，从而解得的值．
【详解】
∵，∴，∴，故答案为．
【点睛】
本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题.
14．若函数，则_____．
【答案】1
【解析】根据的解析式即可求出，进而求出的值．
【详解】
∵，∴，
故，即答案为1.
【点睛】
本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.
15．已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2 的球面上，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为_____．
【答案】
【解析】作出图形，根据已知条件可得为等边三角形，进而可求得圆锥的底面半径，根据圆锥侧面积公式即可得结果.
【详解】
如图，圆锥的母线长，球的半径，
∴为等边三角形，
又∵，∴，，
∴圆锥的侧面积为，故答案为.
【点睛】
本题是中档题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的侧面积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．
16．已知抛物线：的焦点为，经过点的直线交于，两点，若
（为坐标原点），则_____．
【答案】
【解析】设出的坐标，结合已知条件，利用几何性质，求出的坐标，然后求解的距离即可．
【详解】
抛物线的焦点为，经过点的直线交于，两点，
由（为坐标原点），
可得是的中点，不妨设，可得，
可得，解得，所以，，
所以，故答案为．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知数列满足：，，记，
（1）求，，；
（2）判断是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）直接利用赋值法求出数列的各项；（2）根据已知条件可构造出
结合等比数列的定义可得结果；（3）利用上步的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
【详解】
（1）因为，所以，，
从而，，，
（2）是等比数列．
因为，
所以，
所以，即，
所以是等比数列，且首项，公比为 2．
（3）由（2）知，
故．
所以.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
18．如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）推导出，，，从而平面，由此能证明
平面；（2）取的中点，连接，则平面平面，，从而
平面，设点到平面的距离为，由，能求出点到平面的距离．
【详解】
（1）因为分别为，边的中点，
所以，
因为，
所以，，
又因为，
所以平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，
由（1）知平面，平面，
所以平面平面，
因为，
所以，
又因为平面，平面平面，
所以平面，
在中：，
在中：，
在中，，，
所以，
又，设点到平面的距离为，
由得，
，所以.
即点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与C 交于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据三角形周长为可得的值，结合离心率可得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为，将其于椭圆方程联立，根据韦达定
理得到，，证得即可.
【详解】
（1）的周长等于，
所以，从而．
因为，所以，即，
椭圆的方程为.
（2）由（1）得，．
设，，
依题意，的方程为，
将的方程代入并整理，可得，
所以，．
所以，
综上，点在以为直径的圆上.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，将题意转化为是解题的关键，属于中档题.
20．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议.
附：
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）根据题意可得应为分层抽样；（2）利用联列表求出，然后判断即可；（3）加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作等.
【详解】
（1）分层抽样
（2）完成列联表
将列联表中的数据代入公式计算得
，所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．（3）（意思相近即可得分）
建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.
【点睛】
本题主要考查了抽样方法，独立检验思想的应用，考查计算能力，属于中档题.
21．已知函数，．
（1）若是的极值点，求并讨论的单调性；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由
在上单调递增，且，可得当时，，
单调递减；当时，，单调递增；（2）由，得，令
，利用二次求导可得其最小值，则..的范围可求．
【详解】
（1），.
因为是的极值点，
所以，可得．
所以，.
因为在上单调递增，且时，，
所以时，，，单调递减；
时，，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）由得，
因为，所以.
设，
则.
令，
则，
显然在内单调递减，且，
所以时，，单调递减，则，即，
所以在内单减，从而.
所以.
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，
得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，
）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，且，求．
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果；（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．
【详解】
（1）当时，
当时，．
由得，
因为，，
所以的直角坐标方程．
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：
，
则，，
因为，
所以或，
因为，所以，
故或．
【点睛】
本题主要参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，属于中档题．
23．已知是正实数，且，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）利用基本不等式先得，再结合即可得证；（2）利用综合法先证，将展开，利用基本不等式即可得结果. 【详解】
（1）∵是正实数，∴，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，取“”．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，取“”．
【点睛】
本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．。