2020年长沙一中集团七校联考中考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2020年长沙一中集团七校联考中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列各数中，无理数是()
D. 0
A. 0.101001
B. √5
C. −2
3
2.下列计算正确的是()
A. √3−√2=1
B. x(x−1)=x2−1
C. (x2)3=x5
D. x8÷x2=x6
3.据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法
表示为()
A. 42.1×105
B. 4.21×105
C. 4.21×106
D. 4.21×107
4.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
5.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()
A. 13cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
6.下列说法正确的是()
A. 检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B. “367人中有2人同月同日生”为必然事件
C. 可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生
D. 数据3，5，4，1，−2的中位数是4
7.如图所示，几何体的主视图是()
A.
B.
C.
D.
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)，B(5,0)，下列正确的
是()
A. c<0
B. b2−4ac<0
C. a−b+c<0
D. 图象的对称轴是直线x=3
9.如图，直线a//b.将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，
则∠2的度数是()
A. 108∘
B. 118∘
C. 128∘
D. 152∘
10.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，如图，红丝带重叠部分形成的图形是
()
A. 正方形
B. 等腰梯形
C. 菱形
D. 矩形
11.某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利20%，该商品的进货价为()
A. 80元
B. 85元
C. 90元
D. 95元
12.如图，连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个
全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这
个小正方形分成四个更小的小正方形……重复这样的操作，则第
2017次操作后右下角的小正方形面积是()
A. 12 017
B. (12)2017
C. (14)2 017
D. 1−(14)2 017
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 不等式2x −2<4x +12的解集是______．
14. 已知{x =1y =5
是二元一次方程ax +y =7的一个解，则a =______． 15. 如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AB
⏜=BF ⏜，CE =1，AB =6，则弦AF 的长度为______．
16. 为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，
其中，他们射击的平均成绩为8.9环，方差分别是s 甲2=0.8，s 乙2=13，从稳定性的角度来
看， 的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)
17. 如图，已知△ABO 顶点A(−3,6)，以原点O 为位似中心，把△ABO 缩小
到原来的1
3，则与点A 对应的点A′的坐标是______．
18. 如图，点A(1,n)和点B 都在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，若∠OAB =90°，OA AB =23，则k
的值是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.计算：2sin60°−√12−(3−π)0+|√3−2|．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
20.化简并求值：x−y
x2−2xy+y2−xy+y2
x2−y2
，其中(x+2)2+|y−3|=0．
21.小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，
他从中随机调查了50户居民的月均用水量(单位：t)，并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图(如图)．
(1)请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体
中的中等用水量家庭大约有多少户？
(3)从月均用水量在2≤x<3，8≤x<9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出
的2个家庭来自不同范围的概率．
22.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，作EF⊥AC交边BC
于点F，连接AF、BE交于点G．
(1)求证：△CAF∽△CBE；
(2)若AF平分∠BAC，求证：AC2=2AG⋅AF．
23.某班为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共15件．其中甲种奖品每
件6元，乙种奖品每件5元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了83元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3
倍，总花费不超过82元，求该班有哪几种
2
不同的购买方案？
24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，
交AB的延长线于点E．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当BD=3，DF=12
时，求直径AB．
5
25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正
方形ABOC的三个顶点A，B，C，求ac的值．
26.如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P，
连接AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，
请说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．根据无理数定义逐一分析，可得答案．
是分数，解：0.101001是有限小数，是有理数；√5开方开不尽，是无限不循环小数，故是无理数；−2
3
故是有理数；0是整数，故是有理数．
综上，无理数是√5，
故选B．
2.答案：D
解析：解：A、√3−√2，无法计算，故此选项错误；
B、x(x−1)=x2−x，故此选项错误；
C、(x2)3=x6，故此选项错误；
D、x8÷x2=x6，故此选项正确；
故选：D．
直接利用单项式乘以多项式、二次根式的加减运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了单项式乘以多项式、二次根式的加减运算以及幂的乘方运算，正确化简各式是解题关键．
3.答案：C
解析：解：将4210000用科学记数法表示为：4.21×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.答案：D
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5.答案：B
解析：
本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差<第三边．此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9−4=5，9+4=13．
∴第三边取值范围应该为：5<第三边长度<13，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
6.答案：B
解析：解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用抽样调查，故此选项错误；
B、“367人中有2人同月同日生”为必然事件，正确；
C、可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生，发生的概率小，也有可能发生，故此选项错误；
D、数据3，5，4，1，−2的中位数是3，故此选项错误．
故选：B．
直接利用随机事件的定义以及中位数的定义和抽样调查的意义分别分析得出答案．
本题考查了全面调查和抽样调查，统计调查的方法有全面调查(即普查)和抽样调查两种，一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不
适合普查．
7.答案：B
解析：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：B．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
8.答案：D
解析：
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
①常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．
②抛物线与x轴交点个数．
△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△= b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
解：A.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c>0，故A错误；
B.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点，所以b2−4ac>0，故B错误；
C.当x=−1时，y>0，即a−b+c>0，故C错误；
=3，故D正确．
D.因为A(1,0)，B(5,0)，所以对称轴为直线x=1+5
2
故选：D．
9.答案：B
解析：
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．
解：如图，∵AB//CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，
故选B．
10.答案：C
解析：解：如图所示：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
因为两条彩带宽度相同，
所以AB//CD，AD//BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF.又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
11.答案：C
解析：
【试题解析】
本题考查一元一次方程的应用．解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.根据商品的实际售价是标价×90%=进货价+所得利润求解即可．
解：设该商品的进货价为x元，
根据题意列方程得x+20%x=120×90%，
解得x=90．
故选C．
12.答案：C
解析：
本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．先计算出边长为1的正方形的面积为12=1，再观察图形通过计算得第1次操作后右下角的小正方形面积=14，第2次操作后右下角的小正方形面积=14×14=(14)2，第3次操作后右下角的小正方形面积=(14)3，…，则第n 次操作后右下角的小正方形面积=(14)n ，然后把n =2017代入即可．
解：边长为1的正方形的面积为12=1，
∵第1次操作后右下角的小正方形面积=14，
第2次操作后右下角的小正方形面积=14×14=(14)2，
第3次操作后右下角的小正方形面积=(14)3，…
∴第2017次操作后右下角的小正方形面积=(14)2017．
故选C ． 13.答案：x >−7
解析：解：2x −4x <12+2，
−2x <14，
x >−7，
故答案为：x >−7．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14.答案：2
解析：解：把{x =1y =5
代入二元一次方程ax +y =7得： a +5=7，
解得：a =2．
故答案为：2．
知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a 的一元一次方程，从而可以求出a 的值．
此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a 为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
15.答案：48
5
解析：
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，利用垂径定理得到AE =BE =3，设⊙O 的半径为r ，则OE =r −1，OA =r ，根据勾股定理得到32+(r −1)2=r 2，解得r =5，再利用垂径定理得到OB ⊥AF ，AG =FG ，则AG 2+OG 2=52，AG 2+(5−OG)2=62，然后解方程组求出AG ，从而得到AF 的长． 解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，
∵AB ⊥CD ，
∴AE =BE =1
2AB =3， 设⊙O 的半径为r ，则OE =r −1，OA =r ，
在Rt △OAE 中，32+(r −1)2=r 2，解得r =5，
∵AB
⏜=BF ⏜， ∴OB ⊥AF ，AG =FG ，
在Rt △OAG 中，AG 2+OG 2=52，①
在Rt △ABG 中，AG 2+(5−OG)2=62，②
解由①②组成的方程组得到AG =
245， ∴AF =2AG =
485．
故答案为485． 16.答案：甲
解析：
本题考查方差的意义，方差越小，越稳定；方差越大，波动越大。

解：方差是反映一组数据波动情况的统计量，方差越大，越波动;方差越小，越稳定.因为s 甲2<s 乙2，
所以甲的成绩更稳定．
17.答案：(−1,2)或(1,−2)
解析：解：∵点A(−3,6)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，
∴点A 的对应点A′的坐标是(−1,2)或(1,−2)，
故答案为：(−1,2)或(1,−2)．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k 解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ． 18.答案：2
解析：
本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识，基础题
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，先判定△AOC∽△
BAD ，即可得到AD =32，BD =32n ，进而得出B(1+32n,n −32)，依据k =1×n =(1+32n)(n −32)可得到n 的值，即可得到k 的值．
解：如图，
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AC 于D ，
则∠ACO =∠BDA =90°，OC =1，AC =n ，
∵∠BAO =90°，
∴∠CAO +∠BAC =∠ABD +∠BAC =90°，
∴∠CAO =∠DBA ，
∴△AOC∽△BAD ，
∴AD OC =BD AC
=AB OA ，即AD 1=BD n =32， ∴AD =32，BD =32n ，
∴B(1+32n,n −32)，
∵k =1×n =(1+32n)(n −32)，
解得n =2或n =−0.5(舍去)，
∴k =1×2=2，
故答案为：2．
19.答案：解：原式=2×√32−2√3−1+(2−√3) =√3−2√3−1+2−√3
=1−2√3．
解析：本题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算．
20.答案：解：原式=x−y (x−y)2−y(x+y)(x+y)(x−y)
=1x −y −y x −y
=1−y
x−y
，
∵(x+2)2+|y−3|=0，∴x+2=0，y−3=0，∴x=−2，y=3，
当x=−2，y=3时，原式=1−3
−2−3=2
5
解析：先分解因式，再约分，通分，最后根据同分母的分式相加减法则求出，最后代入求出即可．本题考查了分式的混合运算和求值、绝对值和偶次方的非负性，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.答案：(1)
(2)中等用水量家庭大约有450×(30%+20%+12%)=279(户)；
(3)在2≤x<3范围的两户用a、b表示，8≤x<9这两个范围内的两户用1，2表示．
则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是：8
12=2
3
．
解析：
本题主要考查频数(率)分布直方图、用样本估计总体、频数(率)分布表及列表法与树状图法，正确理解题意是解题的关键．
(1)根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
(2)利用总户数540乘以对应的百分比求解；
(3)在2≤x<3范围的两户用a、b表示，8≤x<9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
解：(1)调查的总数是：2÷4%=50(户)，则6≤x<7部分调查的户数是：50×12%=6(户)，
则4≤x<5的户数是：50−2−12−10−6−3−2=15(户)，所占的百分比是：15
50
×100%=30%．(2)(3)见答案．
22.答案：(1)证明：如图：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，
又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CBA，
所以CF
CA =CE
CB
，
又∵∠ACF =∠BCE ，∴△CAF∽△CBE ；
(2)∵△CAF∽△CBE ，∴∠CAF =∠CBE ，
∵AF 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠CAF ，
∴∠BAF =∠CBE ，
∴∠BAF +∠AFB =∠CBE +∠AFB =90°，
即∠ABF =∠BGA =90°，
∵∠BAG =∠BAF ，∴△ABF∽△AGB ，
∴AB AG =AF AB ，∴AB 2=AG ⋅AF ， ∵正方形ABCD 中，AC 2=2AB 2，
∴AC 2=2AG ⋅AF ．
解析：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
(1)证明△CEF∽△CAB ，再列出比例式证明△CAF∽△CBE ；
(2)只要证明△ABF∽△AGB ，可得AB AG =AF AB ，推出AB 2=AG ⋅AF ，再利用正方形的性质即可解决问题． 23.答案：解：(1)设甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了(15−x)件，
根据题意得6x +5(15−x)=83，
解得x =8，
15−x =7(件)，
答：甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了7件；
(2)设甲种奖品购买了x 件，乙种奖品购买了(15−x)件，
根据题意得{15−x ≤32x 6x +5(15−x )≤82
， 解得6≤x ≤7，
∵x 为整数，∴x =6或x =7，
当x =6时，15−x =9；
当x =7时，15−x =8；
答：该公司有2种不同的购买方案：甲种奖品购买了6件，乙种奖品购买了9件或甲种奖品购买了7件，乙种奖品购买了8件．
解析：本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，找出本题的等量关系及不等关系是解决本题的关键.对具有多种不等关系的问题，主要是列一元一次不等式组来解决．
(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(15−x)件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了83元列方程，然后解方程即可；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(15−x)件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品
倍，总花费不超过82元列不等式组，然后解不等式组后确定x的整数值即可．
件数的3
2
24.答案：(1)证明：连结OD．
∵EF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴OD//AC，
∴∠EDO=∠DFA=90°，
即OD⊥EF，又OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连结AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴CD=BD=3，
在Rt △CFD 中，DF =125
， ∴CF =√CD 2−DF 2=95
， 在Rt △CFD 中，DF ⊥AC ，
∴△CFD∽△DFA ，
∴CF DF =DF AF ，即AF =DF 2CF
=165， ∴AC =CF +AF =95+165=5，
∴AB =AC =5．
解析：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连结OD.根据垂直的定义得到∠DFA =90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠C ，∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠C ，根据平行线的性质得到∠EDO =∠DFA =90°，即OD ⊥EF.于是得到结论；
(2)连结AD ，根据勾股定理得到CF =√CD 2−DF 2=95，根据相似三角形的性质得到AF =DF 2CF =165，
于是得到结论． 25.答案：解：设正方形的对角线OA 长为2m ，
则B(−m,m)，C(m,m)，A(0,2m)；
把A ，C 的坐标代入解析式可得：
c =2m①，am 2+c =m②，
①代入②得：m 2a +2m =m ，解得：a =−1m ，
则ac =−1m ⋅2m =−2．
解析：
本题主要考查二次函数综合题，设正方形的对角线OA 长为2m ，根据正方形的性质则
可得出B 、C 坐标，代入二次函数y =ax 2+c 中，即可求出a 和c ，从而求积．
26.答案：解：(1)∵抛物线与x 轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，
∴设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)，
∵点C(0,3)，
∴−3a =3，解得a =−1，
∴抛物线的解析式为y =−(x +3)(x −1)，即y =−x 2−2x +3；
(2)∵抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3；
∴其对称轴x =−1，顶点P 的坐标为(−1,4)
∵点M 在抛物线的对称轴上，
∴设M(−1,m)，
∵A(1,0)，P(−1,4)，
∴设过点A 、P 的直线解析式为y =kx +b(k ≠0)，
∴{k +b =0−k +b =4，解得{k =−2b =2
， ∴直线AP 的解析式为y =−2x +2，
∴E(0,2)，
∴S △ACP =S △ACE +S △PEC =12CE ⋅1+12CE ⋅1=12×1×1+12×1×1=1，
∵S △MAP =2S △ACP ，
∴12MP ×2=2，解得MP =2，
当点M 在P 点上方时，m −4=2，解得m =6，
∴此时M(−1,6)；
当点M在P点下方时，4−m=2，解得m=2，
∴此时M(−1,2)，
综上所述，M1(−1,6)，M2(−1,2)．
解析：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，再把C(0,3)代入求出a的值即可；
(2)根据(1)中抛物线的解析式求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出M点的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，求出E点坐标，故可得出△ACP的面积，进而可得出M点的坐标．。