福建省福州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

福建省福州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考
试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，，直线a 、b 与、、分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，123l l l ∥∥1l 2l 3l 若，，，则BC 的长为（ ）
3AB =2DE =4EF =
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
3．关于x 的一元二次方程x 2+2021x +2022＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
4．如图，四边形ABCD 内接于，如果它的一个外角∠DCE =63°，那么∠BOD 的度数O 为（ ）
A ．63°
B ．126°
C ．116°
D ．117°
5．下列说法错误的是（ ）
A ．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为13
B ．不可能事件发生的概率为0
C ．买一张彩票会中奖是随机事件
D ．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球
6．已知二次函数的图象经过，，则b 的值为（ ）2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n A ．2
B ．
C ．4
D ．2
-4
-7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x 个小分支，则下列方程中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2143
x +=2143
x x ++=243
x x +=()2
143
x +=8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）
A ．cm
B
C cm
D ．1cm
9．已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么与()11,x y ()22,x y 1y x
=12x x <1y 2y 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法判断
12
y y <12
y y =12
y y >10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于，两点，且(),0m (),0n 过，两点．若，则ab 的取值范围为（ ）()0,A a ()4,B b 03m n <<<A ．B ．C ．D ．06
ab <<08
ab <<012
ab <<016
ab <<二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．
()1,3-12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以
近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所
5
π8 1.25对的圆心角度数为______．
13．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为______．
14．在中，，，，如果以点A 为圆心，AC 为半径作
Rt ABC ∆90C ∠=︒2AC =4AB =，那么斜边AB 的中点D 在______．（填“内”、“上”或者“外”）
A A 15．如图，以矩形的顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交A
B ，A
C 于点
ABCD M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P ；作射线
12MN AP ，交BC 于点E ，连接DE ，交AC 于点F ．若，，则DF 的长为______．
1AB =2AC =
16．如图，在中，，，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C ABC AB AC ==6BC =重合），将线段BP 绕点P 逆时针旋转120°，得到线段DP ，连接BD ，CD ，则CD 长的最小值为______．
三、解答题
17．（1）解方程：．2610x x +-=（2）解方程：．
213x x -=18．如图，将矩形绕点C 顺时针旋转得到矩形，点B 与点E 对应，点E ABCD FECG 恰好落在边上，交于点H ，求证：．
AD BH CE ⊥BH CD =
19．已知关于x 的方程有实数根．2430x x m -+-=(1)求m 的取值范围；
(2)若m 为满足条件的最大整数，则方程的解为______．
20．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min ，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y （单位：）与时间x （单位：min ）的函数关系式为，其图象为图中线段
3mg/m ()205y x x =≤≤OA ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．
(),A m n
(1)点A 的坐标为______；
(2)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．如果后勤人员依31.2mg/m 次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室?请通过计算说明．
21．如图，在中，，．
ABC AC BC AB =>36C ∠=︒
(1)在线段BC 上求作一点D ，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作ABC DBA ∽法）；
(2)在（1）的条件下，若，求BC 的值．
2AB 22．为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A ．实心球，B ．篮球，C ．t abata 训练，D ．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了______名学生，B 项对应的扇形圆心角的度数是______；(2)若喜欢“tabata 训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率．
23．如图，PA 切于点A ，PC 交于C ，D 两点，且与直径AB 交于点Q ．
O O
(1)求证：；
AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅(2)若，，，求线段PD 的长．
2CQ =3QD = 1.5BQ =24．如图①，在正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，将ABP 沿直线AP 翻折得到，点Q 是CD 的中点，连接BQ 交AE 于点F ，若．
AEP △BQ PE ∥
(1)求证：；ABF BQC ∽△△(2)求证：；2
3
BF FQ =
(3)如图②，连接DE 交BQ 于点G ，连接EC ，GC ，若，求的面积．6FQ = GBC 25．已知抛物线（m 为常数）．223y x mx =--(1)求抛物线的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；(2)当时，求抛物线顶点到x 轴的最小距离；
m 1≥(3)当时，点A ，B 为该抛物线上的两点，顶点为D ，直线AD 的解析式为0m =，直线BD 的解析式为，若，求证：直线AB 过定点．
111y k x b =+222y k x b =+121
2
k k =-
参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、是中心对称图形，符合题意；C 、不是中心对称图形，不符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意；故选B ．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义．2．C
【分析】由，可得
再代入数据进行计算即可.123l l l ∥∥,AB DE
BC EF
=【详解】解： ，
123l l l ∥∥ ,AB DE
BC EF
∴
= ，，，
3AB =2DE =4EF = 32,4
BC ∴
= 经检验符合题意.
6,BC ∴=故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.3．D
【分析】计算出根的判别式的值，再进行判断即可得到结论．【详解】解： 2=2021420224084441808840763530∆-⨯=-=>∴方程有两个不相等的实数根故选：D
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 的关系是解答此题的关键．4．B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE =63°，∴∠A =∠DCE =63°，
由圆周角定理，得∠BOD =2∠A =126°，故选：B ．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．A
【分析】利用列表法求解同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，从而可判断A ，由不可能事件的概率为0，可判断B ，由随机事件的概念可判断C ，由必然事件的概念可判断D ，从而可得答案.
【详解】解：如图，列表如下：
1 2 3
4 1 ()1,1
()1,2 ()1,3
()1,4 2 ()2,1
()2,2 ()2,3
()2,4
3 ()3,1 ()3,2
()3,3
()3,4
4
()4,1 ()4,2
()4,3
()4,4所以同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
故A 符合题意；1
16
,不可能事件发生的概率为0，表述正确，故B 不符合题意；买一张彩票会中奖是随机事件，表述正确，故C 不符合题意；
一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球，表述正确，故D 不符合题意；故选A
【点睛】本题考查的是随机事件与不可能事件，必然事件的概率，随机事件与必然事件的概念，利用列表法求解随机事件的概率，掌握“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，
利用列表法求解随机事件的概率”是解本题的关键.6．C
【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n 轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
2,x =【详解】解： 二次函数的图象经过，，
2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n 二次函数图象的对称轴为： ∴13
,2122
b b x -+=-
==⨯解得： 4,b =故选C
【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.7．B
【分析】设每个支干长出x 个小分支，则主干生出x 个小分支，而x 个小分支每个又生出x
个小分支，所以一共有个，从而可得答案.
()
2
1x x ++【详解】解：设每个支干长出x 个小分支，则2143
x x ++=故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.8．A
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a 的值，1
2进而可求出a 的值，此题得解．
【详解】如图：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°
∴a ＝2cos ∠11
2
∴a ＝故选：A ．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．9．D
【分析】分同号和异号两种情况讨论．12x x ，【详解】解：∵反比例函数中，1
y x
=
1k =∴图象在第一、三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，当同号，即或，，12x x ，120x x ＜＜120x x ＜＜12y y ＞当异号时，即 ；12x x ，21120x x y y ＞＞，＜故选：D ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．D
【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则，再利()()222424ab m n ⎡⎤⎡⎤
=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦用二次函数的性质可得答案.
【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0）， 所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ）， 分别代入，， ()0,A a ()4,B b ∴ ()(),44,a mn b m n ==--
()()()()2
2
4444ab mn m n m m n n ∴=--=-- ()()222424m n ⎡⎤⎡⎤=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∵0＜m ＜n ＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
()2
24m --+()2
24n --+
∵m ＜n ， ∴ab 不能取16 ， ∴0＜ab ＜16 ，故选D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到
是解本题的关键.()()222424ab m n ⎡⎤⎡⎤=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦11．（-1，3）
【分析】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，解答即可．
【详解】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，可知：点关于原点对称的点的坐标为（-1，3）．()1,3-故答案为：（-1，3）
【点睛】本题考查平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点的坐标特征，熟记关于原点对称的两点坐标关系是解决本题的关键．12．##度90︒90【分析】由 直接代入数据进行计算即可.,180
n r
l p =
【详解】解：如图，由题意得：
5, 1.25,8
KS l QK QS π===
设 ,KQS n ∠=1.255
,1808
n ππ⨯∴
=解得： 90,n =︒故答案为：90︒
【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键.13．24
【分析】由摸到白色球的频率稳定在0.2，得到摸到白色球的概率为0.2，再利用概率公式列方程即可.
【详解】解： 摸到白色球的频率稳定在0.2，
摸到白色球的概率为0.2，
∴设袋子里黑色球有个，
x 6
0.2,6x
∴
=+解得： 经检验符合题意；24,x =所以估计袋子里黑色球的个数为.24故答案为：24
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用概率公式列方程，掌握“利用频率估计概率得到摸到白色球的概率为0.2”是解本题的关键.14．上
【分析】先利用中点的含义求解 结合点与圆心的距离等于圆的半径，则点在2,AD AC ==圆上，从而可得答案.
【详解】解：如图，，，，为的中点，
90C ∠=︒2AC =4AB =D AB
1
2,2
AD AB AC ∴=
==在上，
D ∴A 故答案为：上
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系的判断，掌握“点与圆的位置关系的判断方法”是解本题的关键.
15【分析】利用锐角三角函数可求，可求，由锐角三角函数
30ACB ∠=︒30BAE EAC ∠=∠=︒
可求的长，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，BE EC ，DE ADF CEF △∽△3
2
AD DF EC EF ==即可求解．
【详解】解：由题意可得：平分，AP BAC ∠∴，BAE CAE ∠=∠∵，，1AB =2AC =
∴，1
sin 2
AB ACB AC ∠=
=BC ===∴，30ACB ∠=︒∴，30BAE EAC ∠=∠=︒
∴，tan BE BAE AB ∠==
∴，BE =
∴，EC BC BE =-=
∴DE ===
∵AD BC ∥，∴，ADF CEF △∽△∴，3
2
AD DF EC EF ==∴
，3
5
DF DE =
∴35DF ==
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，求出EC 的长是解题的关键．
16【分析】以为边构建出和相似的三角形，通过将边转化为其他边来求值．BC BPD △CD 【详解】解：如图所示，以为底边向上作等腰，使，连接．
BC BQC 120BQC ∠=︒PQ
由题意可得和均为顶角为的等腰三角形，BQC BPD △120︒
可得
，BQ BP BC BD =30QBC PBD ∠=∠=︒∴，QBC QBD PBD QBD ∠-∠=∠-∠∴，PBQ DBC ∠=∠∴，PBQ DBC ∽
∴
，PQ BQ DC BC =∴当时，有最小，即此时最小，
PQ AC ⊥PQ CD
如图所示，设，延长与交K ，此时的最小值，'QP AC ⊥AQ BC 'QP QP 为可得，
AK BC ⊥∵，1206BQC BQC BC ∠=︒= 中，，∴，330BK QBK =∠=︒，
∴QK ，=
=
∵， ，
AC =3KC =
∴AK ====
∴，
AQ AK QK =-=∵，
'90'AP Q AKC QAP CAK ∠=∠=︒∠=∠，
∴，'AQP ACK ∽∴
，'
AQ QP AC KC
=
，'
3QP =
∴，'QP =
∴'CD ==
【点睛】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
17．（1），；13x =-23x =-
（2）1x =
2x =【分析】（1）配方再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用公式法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）2610
x x +-=26910
x x ++=，
2
310x +=（）
3x +=
，；13x =-23x =-（2），
213x x -=2310x x --=
1,3,1a b c ==-=-
224(3)41(1)130b ac =-=--⨯⨯-= ＞
，1x ==2x ==
1x =
2x =【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．18．证明见详解
【分析】由平行线的性质可得，再根据“”可得 进而可DEC BCH ∠∠=AAS EDC CHB ≌，得结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，ABCD ∴，AD BC AB CD =∥，∴，DEC BCH ∠∠=∵，90D BH EC ∠=︒⊥，∴，D BHC ∠=∠由旋转得，，CE CB =在和中，
EDC △ CHB ，DEC HCB
D BHC C
E CB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ ，EDC CHB AAS ≌（）∴．
BH CD =【点睛】本题考查旋转的性质，根据“”得到是解题关键．AAS EDC CHB ≌19．(1)7m ≤(2)122
x x ==【详解】（1）∵关于x 的方程有实数根．
2430x x m -+-=∴2443m =--- （）（）
，
4280m =-+≥解得：．7m ≤（2）∵m 取最大整数，∴，
7m =∴原方程为，2440x x -+=解得：，122x x ==故答案为：．
122x x ==【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1)()5,10(2)能，理由见解析
【分析】（1）把代入 即可得到A 的坐标；5x =2,y x =（2）先求解反比例函数解析式为 再计算当时，的值，再与比较即可得50
,y x
=50x =y 1.25到答案.
【详解】（1）解：()205y x x =≤≤当时， 5x =10,y =
()5,10.A ∴故答案为：()
5,10（2）解：设药物喷洒完成后y 与x 的反比例函数关系为，k y x
=把代入可得：
()5,10A 50,k xy ==所以药物喷洒完成后y 与x 的反比例函数关系为，50
y x
=而10间教室喷洒完成需要（分钟），51050⨯=当时， 50x =50
1 1.25,50
y =
=<所以当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能让人进入教室.
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，反比例函数的实际应用，熟练的建立反比例函数的模型并解决问题是解本题的关键.21．(1)作图见解析
(2)1【分析】（1）作的垂直平分线交于 从而可得答案；AC BC ,D （2）先证明 再利用相似三角形的性质可得再代入数据解方程2,AB AD CD ===,AB BC
DB AB
=即可.
【详解】（1）解：如图，即为所求作的点，理由如下：
D
36,,C AC BC ∠=︒=
72,CAB B ∴∠=∠=︒由作图可得：
,DC DA =
36,C CAD ∴∠=∠=︒
36,DAB CAB CAD C ∴∠=∠-∠=︒=∠.
ABC DBA ∴ ∽（2）解：由（1）得：
36,72,DAB B ∠=︒∠=︒ 180367272,ADB B ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠ 2,AB AD CD ∴===,
ABC DBA ∽ ,AB BC
DB AB ∴=
2,22
BC
BC ∴
=-
2240,BC BC ∴--=
解得：或 1BC =
=1BC =-
经检验：1BC =
1BC ∴=【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键.22．(1)，150108 (2)
35
【分析】（1）喜欢C 项目的有60人，占比 列式再计算可得到总人数，再求解喜40%,60
40%
欢B 项目的占比，乘以即可得到圆心角的度数；
360︒（2）利用列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可.
【详解】（1）解： 喜欢C 项目的有60人，占比
40%, 这项调查中，共调查了
（人），∴60
15040%
=B 项对应的扇形圆心角的度数是
()360110%20%40%108,︒⨯---=︒故答案为：150,108︒（2）解：列表如下：
男1
男2女1女2女3男1男1男2
男1女1男1女2男1女3男2男2男1男2女1
男2女2男2女3女1女1男1女1男2女1女2
女1女3女2女2男1女2男2女2女1女2女3
女3
女3男1
女3男2
女3女1
女3女2
所以所有的等可能的结果数有20种，符合条件的结果数有12种，所以刚好抽到学生是一男一女的概率为
123=.205
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，频数与频率之间的关系，求解扇形某部分所对应的圆心角的大小，利用列表法求解等可能事件的概率，熟练的从条形图与扇形图获取关联信息及列表求解所有的等可能的结果数是解本题的关键.23．(1)证明见解析(2)线段PD 的长为7.
【分析】（1）连接AC ，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABC =∠ADC ，再由∠BQC =∠DQA ，可证△BQC ∽△DQA ，由相似三角形的对应边成比例即可得证；
（2）由切线性质得到∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，由直径所对的圆周角为90°，得∠ABD +∠BAD =90°，∠PAD =∠ABD =∠ACD ，从而△PDA ∽△PAC ，由相似三角形的性质得到AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5）在Rt △APQ 中，由勾股定理得P 2+AQ 2=PQ 2，即可求解.【详解】（1）证明：连接AC
∵∠ABC 和∠ADC 所对的圆弧都为， AC ∴∠ABC =∠ADC ，∵∠BQC =∠DQA ，∴△BQC ∽△DQA ，∴
，BQ CQ
DQ AQ
=∴AQ BQ CQ DQ
⋅=⋅（2）
解：由（1）知：，且，，，AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅2CQ =3QD = 1.5BQ =∴AQ =4，
∵PA 切于点A ，O ∴∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，∵AB 为直径，
∴∠BDA =90°，∠ABD +∠BAD =90°，∴∠PAD =∠ABD =∠ACD ，∵∠P =∠P ，
∴，即AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5）PD PA AP PC
=在Rt △APQ 中，AP 2+AQ 2=PQ 2，
∴PD ·（PD +5）+42=（PD +3）2，
解得：PD =7，
即线段PD 的长为7.
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅助线构造相似三角形．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)8+【分析】（1）证明∠，∠，即可证明；BAF QBC =∠AFB BCQ =∠ABF BQC ∽△△（2）设AB =BC =CD =DA =2，由得
，代入相关数据，求出ABF BQC ∽△△AB BF BQ QC
=
BF =FQ =
（3）求出BQ =10，运用勾股定理求出BC =QD =QG ，从而QD CQ ==求出FG ，BG 的长，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，可证明，运用相似的性质BGH BQC ∆∆ 可得GH ，再根据三角形面积公式可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴ ，AB =BC =CD =DA
==90ABC BCD ADC DAC ∠∠∠=∠=︒由折叠得，∠90ABP AEP ︒
=∠=∵BQ //PE
∴∠90AFB ︒
=∵∠90BAF ABF QBC ABF ︒
+∠=∠+∠=∴∠BAF QBC
=∠∴∠BQC ABF
=∠又∵∠90AFB BCQ ︒
=∠=
（2）设AB =BC =CD =DA =2，
∵点Q 为CD 扔中点，
∴ 112
CQ CD ==在中，由勾股定理得，
Rt BQC ∆
BQ ===由（1）知，ABF BQC
∽△△∴AB BF BQ QC
=∴
AB QC BF BQ == ∴
FQ BQ BF =-=
∴23
BF FQ ==∴23
BF FQ =（3）由（2）知，23BF FQ =
∵6
FQ =∴，
4BF =10BQ =设BC =2x ，则QC =x ，
在中，由勾股定理得，Rt BQC ∆222
BQ BC CQ =+∴
22210=(2)+x x 解得，
x =
∴=BC QC QD AE AB ====∵AE =AB =AD
∴
AED ADE ∠=∠又
90,90ADE CDE AED EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒∴
EGF CDE ∠=∠
∵
QGD EGF ∠=∠∴
QDF QFD ∠=∠
∴QG QD ==
∴
6FG FQ GQ =-=-
∴
4BG BF FG =+=+过点G 作GH ⊥BC 于点H ，如图，
∴GH //CQ
∴
BGH BQC ∆∆ ∴ BG GH BQ QC
=
∴BG QC GH BQ =
==
∴11822GBC S BC GH ∆=⨯⨯=⨯=+【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确识图是解答本题的关键．
25．(1)()
2,3.m m --(2)4
(3)直线过证明见解析50,,2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得顶点坐标；
（2）由顶点到轴的距离为： 令 而 图象开口向上，对
x 2233,m m --=+23,h m =+1,m ≥称轴为 此时随的增大而增大，再利用二次函数的性质可得答案；
0,m =h m （3）当时，求解抛物线为： 可得 可得 设
0m =23,y x =-()0,3,D -123,b b ==-
直线为 求解 把()()
221122,3,,3,A x x B x x --AB ,y kx b =+1122,,x k x k ==代入直线为从而可求解()()
221122,3,,3A x x B x x --,y kx b =+AB ()12,y x x x b =++ 从而可得答案.121533,22b x x ⎛⎫ ⎪=--=---=- ⎪⎝⎭
【详解】（1）解： 抛物线 223
y x mx =-- ()2
23,x m m =--- 抛物线的顶点坐标为：∴()2,3.
m m --（2）解： 抛物线的顶点坐标为： ()
2,3,m m -- 顶点到轴的距离为：
∴x 2233,m m --=+令 而 图象开口向上，对称轴为
23,h m =+1,m ≥0,m = 此时随的增大而增大，
∴h m 当时，
1m ==134,h +=最小值当时，抛物线顶点到x 轴的最小距离为4.
m 1≥（3）解：当时，抛物线为：
0m =23,y x =-
()0,3,D ∴-而直线AD 的解析式为，直线BD 的解析式为，点A ，B 为该抛物线111y k x b =+222y k x b =+上的两点，
123,b b ∴==-设 直线为 ()()
221122,3,,3,A x x B x x --AB ,y kx b =+
2211122233,33,k x x k x x ∴-=--=-解得：
1122,,x k x k == 12121,2
x x k k ∴==-把代入()()
221122,3,,3A x x B x x --,y kx b =+
2112223,3
kx b x kx b x ⎧+=-⎪∴⎨⎪+=-⎩
12,k x x ∴=+ 直线为∴AB ()12,
y x x x b =++
()212113,x x x b x ∴++=-解得： 121533,22b x x ⎛⎫ ⎪=--=---=- ⎪⎝⎭
直线为∴AB ()125,2
y x x x =+-当时， 0x =5,2
y =-所以直线过定点AB 50,.2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，抛物线的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键.。