江苏省高考数学二轮复习 第1讲 集合与简单逻辑用语教学案

专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第1讲集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．
3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若，求实数p的取值范围．
【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，
y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________．
A. T，V中至少有一个关于乘法封闭
B. T，V中至多有一个关于乘法封闭
C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭
D. T，V中每一个关于乘法封闭
【例4】已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b；
(2) 当b>1时，证明：1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 b.
1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．
3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.
6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________个．
(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R ，二次函数f(x)＝ax 2
－2x －2a.若f(x)>0的解集为A ，B ＝{x|1<x<3}，，求实数a 的取值范围．
解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x 1＝1
a －
2＋1a 2，x 2＝1a
＋2＋1a
2， 由此可知x 1<0，x 2>0，(3分)
① 当a>0时，A ＝{x|x<x 1}∪{x|x>x 2}，(5分)
的充要条件是x 2＜3，即1
a ＋
2＋1a 2<3，解得a>6
7，(9分) ② 当a<0时， A ＝{x|x 1<x<x 2}，(10分)
的充要条件是x 2>1，即1
a
＋
2＋1
a
2>1，解得a<－2，(13分)
综上，使成立的实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫67，＋∞.(14分)
一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语
1. (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足A 且
的集合S 的个数为________．
A. 57
B. 56
C. 49
D. 8
【答案】 B 解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23
＝8个，所以集合S 共有56个．故选B.
2. (2011·江苏)设集合A ＝{(x ，y)|m 2≤(x－2)2＋y 2≤m 2
，x ，y∈R }, B ＝{(x ，y)|2m≤x
＋y≤2m＋1，x ，y∈R }, 若，则实数m 的取值范围是________．
【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 解析：由得，，所以m 2
≥m 2，m≥12或m≤0.当m≤0
时，|2－2m|2＝2－2m ＞－m ，且|2－2m －1|2＝2
2－2m ＞－m ，又2＋0＝2＞2m ＋1，所以
集合A 表示的区域和集合B 表示的区域无公共部分；当m≥12时，只要|2－2m|
2
≤m 或
|2－2m －1|2
≤m，解得2－2≤m≤2＋2或1－22≤m≤1＋2
2，所以实数m 的取值范围是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2＋2.
点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m 的取值范围的相关条件．
基础训练 1. (－∞，3) 解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．
N,2n
≤1 000
3. 充分不必要 解析：M ＝＝(－2,2)．
4. a≥3或a≤－1 解析：Δ＝(a －1)2
－4≥0，a≥3或a≤－1. 例题选讲
例1 解：由x 2
－3x －10≤0得－2≤x≤5. ∴ A＝[－2,5]． ① 当时，即p ＋1≤2p－由得－2≤p＋1且2p －1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
② 当B ＝时，即p ＋1>2p －＜成立．综上得p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A ，A∪B＝B 或等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．
变式训练 设不等式x 2
－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果，求实数a 的取值范围．
解： 有n 种情况：其一是M ＝，此时Δ＜0；其二是，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．
设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2
－a －2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝成立； ② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－，当a ＝2时，M ＝； ③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，
1
＜x 2
⎩
⎪⎨
⎪
⎧
且，
1≤a≤4且Δ＞0.
即⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＋3≥0，18－7a≥0，1≤a≤4，a ＜－1或a ＞2，
解得：2＜a≤187，综上实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－1，187.
例2 解： ∵ (A∪B)∩C＝，∵A∩C＝且B∩C＝，
由 ⎩⎪⎨
⎪
⎧
y 2
＝x ＋1，y ＝kx ＋b
得k 2x 2
＋(2bk －1)x ＋b 2
－1＝0，
∵ A∩C＝，∴ k≠0，Δ1＝(2bk －1)2
－4k 2
(b 2
－1)<0， ∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2
>1，①
∵ ⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2
＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ，
∴ 4x 2
＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0，
∵ B∩C＝，∴ Δ2＝4(1－k)2
－16(5－2b)<0，
∴ k 2
－2k ＋8b －19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②
由①②及b∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
⎩⎪⎨⎪⎧
4k 2
－8k ＋1＜0，k 2－2k －3＜0，
∴ k＝1，故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A∪B)∩C＝．
点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.
变式训练 已知集合A ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫，
⎪
⎪⎪
1－y x ＋1＝3
，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}，若A∩B＝， 求实数k 的取值范围．
解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1,1)，所以k ＝2或k ＝－3.
例3 【答案】 A 解析：由于T∪V＝Z ，故整数1一定在T ，V 两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则，b∈T，
由于a ，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T 对乘法封闭；
另一方面，当T ＝{非负整数}，V ＝{负整数}时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对；
当T ＝{奇数}，V ＝{偶数}时，T ，V 显然关于乘法都是封闭的，故B ，C 不对． 从而本题就选A.
例4 证明：(1) ax －bx 2
≤1对x∈R 恒成立，又b ＞0, ∴ a 2
－4b≤0，∴ 0＜a≤2 b.
(2) 必要性，，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax≤1且bx 2
－ax≥－1， 显然x ＝0时成立，
对x∈(0,1]时a≥bx－1x 且a≤bx＋1x ，函数f(x)＝bx －1
x 在x∈(0,1]上单调增，f(x)最
大值f(1)＝b －1.
函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1b 上单调减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1b ＝2b ，∴ b－1≤a≤2b ，故必要性成立； 充分性：f(x)＝ax －bx 2
＝－b(x －a 2b )2＋a 2
4b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1
b
≤1，
f(x)max ＝a
2
4b
≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，
f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．
变式训练 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2
＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．
解： 使命题甲成立的条件是： ⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ1＝m 2
－4＞0，
x 1＋x 2＝－m ＜0＞2.
∴ 集合A＝{m|m>2}．
使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3.
∴ 集合B＝{m|1<m<3}．
若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：
① m∈A∩B，② m∈A∩B.
若为①，则有：A∩B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；
若为②，则有：B∩A＝{m|1<m<3}∩{m|m≤2}＝{m|1<m≤2}；
综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．
点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．
高考回顾
1. {－1,2}
2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
3. 4 解析：A＝(0,4]，＞4, ∴ c＝
4.
4. 8 解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.
5. 3或4 解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n ＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合．
6. 3 解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．。