中考数学 阅读与理解

专题八 阅读与理解
证明：不妨设b＜0，c＞0．如图1，以AB为直径作⊙P，设⊙P与 x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，连接BE，PC，PD，PE．过点P分 别作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N．
∵AB为⊙P的直径，∴∠AEB＝90°．
∵∠EOD＝90°，∴∠AEB＋∠EOD＝180°．
∴BE∥x轴．
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报： 点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B，C除 外)，…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1)．
图1
专题八 阅读与理解
(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为__2___； ②△ABC面积的最大值为___3_＋__2___． (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧 上 ，而 在 如图 1所示的弓形内部 ，我们记为 A′ ，请你利用图 1证 明 ∠BA′C＞30°．
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(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0，t)，其中t≠0．若BC是 ⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
解：∵△ABC 是边长为 1 的等边三角形， ∴根据旋转的性质，可知△AB′C′也是边长为 1 的等边三角形． ∵A(0，t)，∴B′C′⊥y 轴，且 B′C′＝1．∴AO 为 B′C′边上 的高的 2 倍，且此高的长为 23．∴t＝ 3或－ 3．
y＝kx的图象与点 P，Q 的“相关矩形”有两个公共点，直接写出 k 的取 值范围．
解：－24＜k＜－6．
【提示】如答图2，已知P(3，－4)，Q(6， －2)，
设点P，Q的“相关矩形”为矩形EPFQ，则 E(3，－2)，F(6，－4)．
答图2
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当函数 y＝kx 的图象过点 E 时，k＝－6； 当函数 y＝kx 的图象过点 F 时，k＝－24． 若要使函数 y＝kx的图象与点 P，Q 的“相关矩形”有两个公共点， 则－24＜k＜－6．
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利用公式法解一元二次方程 x2＋bx＋c＝0，得
x1＝－b＋
2b2－4c，x2＝－b－
b2－4c． 2
∴OC，OD 的长即为该方程的两个根，即以点 A(0,1)，B(－b，c)为
直径端点的⊙P 与 x 轴交点的横坐标就是该方程的两个根．
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(3)用上述结论求方程x2＋3x－4＝0的 根．请在如图2所示的平面直角坐标系中画 出对应的圆，并直接写出它与x轴的交点坐 标．
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(3) 在 △ ABC 中 ， AB ＝ 1 ， AC ＝ 2 ． 若 BC 是 ⊙ O 的 以 点 A 为 中 心 的 “关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
解：OA 的最小值为 1，此时 BC 的长为 3；OA 的最大值为 2，此
时 BC 的长为 26． 【提示】如答图 3，由旋转的性质和“关联线段”
求证：___∠__1_＝__∠__2_＝__∠__3__． 解：证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°． ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE(SAS)． ∴∠1＝∠2．
专题八 阅读与理解
∵EN切半圆O于点F， ∴OF⊥EF． ∵OB⊥EB且OF＝OB，∴EO平分∠BEF． ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠2＝∠3．
∵A，B两点的坐标分别为(0,1)，(－b，c)，
图1
∴AE＝c－1，BE＝－b．
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在 Rt △ ABE 中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 AB ＝ AE2＋BE2 ＝ c－12＋－b2＝ c－12＋b2．
在△PAE 中，PA＝PE，PM⊥y 轴于点 M， ∴AM＝12AE＝12(c－1)． ∴MO＝AM＋OA＝12(c＋1)． ∵PA＝PB，∴PM 是△ABE 的中位线． ∴PM＝12BE＝12(－b)＝－12b．
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解：(2)如答图6，延长BA′，交圆于点D，连接CD．
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC．
∵∠BA′C＝∠BDC＋∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC．
∴∠BA′C＞∠BAC， 即∠BA′C＞30°．
答图 6
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(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已 知矩形 ABCD 的边长 AB ＝2， BC＝3，点 P 在直线 CD 的左侧 ，且
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专题八 阅读与理解
类型1 新定义型阅读理解 1．(2021赤峰)阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1， y1) ， 点 N 的 坐 标 为 (x2 ， y2) ， 且 x1≠x2 ， y1≠y2．若M，N为某矩形的两个顶点，且该 矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 M，N的“相关矩形”．如图中的矩形为点 M，N的“相关矩形”．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进
图2
行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求
证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
专题八 阅读与理解
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点 B，__A_B_＝__O__B_，__E__N_切__半__圆__O_于__点__F__，__连__接__O_F___．
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5．阅读下列材料，完成相应的任务． 小明读了“一元二次方程的几何解法”一文，了解了巴比伦泥板中 的解法、欧几里得《几何原本》中的方法、卡莱尔的方法等．卡莱尔的 结论是：如果关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个实数根，则以点A(0,1)， B( － b ， c) 为 直 径 端 点 的 ⊙ P 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 该 方 程 的 两 个 根．小明摘录了证明这个结论的部分过程如下．
答图 4
此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于点E，过点 C′作C′F⊥OA于点F．
答图 5
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∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，∴OE＝EC′＝12．
∴AE＝ AO2－OE2＝ 22－122＝ 215．
∵S△AOC′＝12AO·C′F＝12OC′·AE，∴C′F＝ 415．
∴OF＝ OC′2－C′F2＝
专题八 阅读与理解
2．(2021北京)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A 和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦 B′C′(B′，C′分别是B，C的对应点)，则称线段BC是⊙O的以点A为 中心的“关联线段”．
(1) 如 图 ， 点 A ， B1 ， C1 ， B2 ， C2 ， B3 ， C3 的 横 、 纵 坐 标 都 是 整 数 ． 在 线 段 B1C1 ， B2C2 ， B3C3 中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 __B_2_C_2_；
的定义，可知 AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝ 解
如答图 4，利用四边形的不稳定性，可知当 A，O，C′在同一直线 上时，OA 最小，最小值为 1．
此时 OA＝OB′＝OC′，∴∠AB′C＝90°．
∴B′C′＝ AC′2－AB′2＝ 22－12＝ 3．
如答图5，当A，B′，O在同一直线上时，OA 最大．
设直线AC的解析式为y＝mx＋n．
将A(2,0)，C(4,2)代入，解得m＝1，n＝－2．
∴y＝x－2．
将A(2,0)，C(4，－2)代入，解得m＝－1，n＝2．
∴y＝－x＋2．
∴直线AC的解析式为y＝x－2或y＝－x＋2．
答图 1
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(2)已知点 P 的坐标为(3，－4)，点 Q 的坐标为(6，－2)．若使函数
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∵PM⊥y 轴于点 M，PN⊥x 轴于点 N，∠EOD＝90°，
∴四边形 OMPN 是矩形．
∴ON＝PM＝－12b，PN＝MO＝12(c＋1)．
在△PCD 中，PC＝PD，PN⊥CD，∴NC＝ND(依据)．
在 Rt△PNC 中，由勾股定理，得
NC＝ PC2－PN2＝
1 2
c－12＋b22－12c＋12＝
图2
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解：画出方程x2＋3x－4＝0对应的圆如答图7所示，它与x轴的交点 坐标为C(－4,0)，D(1,0)．
答图 7
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类型4 课题学习形阅读理解 6．蔡明园公园位于河南省驻马店市上蔡县蔡都镇西南部，其公园 南山门被誉为“亚洲第一门”，学完了三角函数知识后，某数学“综合 与实践”小组的同学把“测量南山门最高点的高度”作为一项课题活 动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小 测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并 取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表：
b22－4c．
批注：求出线段 OC 和 OD 的长就能证明该结论．
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任务： (1)依据：__三__线__合__一____； (2)根据小明的批注完成解答过程； 解：(2)根据题意，得 NC＝ND＝ b22－4c，ON＝－12b， ∴OC＝ON－NC＝－b－ 2b2－4c，OD＝ON＋ND＝－b＋ 2b2－4c．
史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人
们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角
器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同
图1
一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂
直于点B，DB足够长．
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使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等 分 ， 只 需 适 当 放 置 三 分 角 器 ， 使 DB 经 过 ∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与 另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就 把∠MEN三等分了．
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课题
测量南山门最高点的高度
实物图
成员 测量工具
组长：××× 组员：×××，×××，×××
卷尺、测角仪…
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课题 测量示意图
测量南山门最高点的高度 说明：AB表示南山门最高点到地 面的竖直距离，测角仪的高度 CD=EF=1.5 m，点C，F与点B在 同一直线上，点C，F之间的距离 可直接测得，且点A，B，C，D， E，F在同一平面内．
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(1)已知点A的坐标为(2,0)． ① 若 点 B 的 坐 标 为 (4,4) ， 则 点 A ， B 的 “ 相 关 矩 形 ” 的 周 长 为 __1_2___； ②若点C在直线x＝4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直 线AC的解析式；
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解：②如答图1，若点C在直线x＝4上，且点A，C的“相关矩形” 为正方形，则C(4,2)或(4，－2)．
12－
4152＝41．
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∴FB′＝OB′－OF＝34．
∴B′C′＝ FB′2＋FC′2＝
342＋ 4152＝ 26．
综上，OA 的最小值为 1，此时 BC 的长为 3；OA 的最大值为 2，
此时 BC 的长为 26．
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类型 2 探究型阅读理解
3．(2021 扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考： 1这样的点A唯一吗？ 2点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
tan∠DPC＝43．
图2 97－5
备用图
①线段 PB 长的最小值为___4______；
②若
S△PCD＝32S△PAD，则线段
PD
72 长为___4___．
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类型3 数学文化背景下的阅读理解
4．(2020河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任
意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学
高度 AB．(结果精确到 0.1 m，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，
tan 36°≈0.73， 2≈1.41) 解：如答图 8，设 DE 交 AB 于点 G．
根据题意，得 CD＝BG＝1.5 m，
CF＝DE＝79.6 m．
在 Rt△AEG 中，∠AGE＝90°，tan∠AEG＝AEGG．
专题八 阅读与理解
课题 测量数据
…
测量南山门最高点的高度
测量项目
第一次 第二次
α的度数
35.95° 36.05°
β的度数
45.09° 44.91°
C，F之间的距离 79.58 m 79.62 m
…
平均值 36° 45°
79.6 m
专题八 阅读与理解
(1)请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求南山门最高点的