1.3三角函数的诱导公式课件

【思考】能否用一句话将公式五、六概括？

2
的正弦(余弦)函数值,分别等于α
的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号.
注意：公式一~六都叫做诱导公式
探究 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? y 公式二
相等，余弦、正弦值互为相反数。
【诱导公式二】 sin( ) sin
【巧记】 “第三象限角，
cos( ) cos 正切不变号” tan( ) tan 【思考】如何用一句话将这几个公式概括起来？ +2k (k Z ), , 的三角函数值，
sin
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 例4 化简 9 cos sin 3 sin sin 2 sin cos sin cos 5 2 原式= cos sin sin sin 4 2 sin 2 cos cos 2 = cos sin sin sin 2
1 cos120 2

利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 用公式 三或一 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角三 角函数 用公式 二或四
0～2π的角 的三角函数
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 1 cos 420 cos 60 cos 60 2 7 sin 5 sin 1 2 sin 6 6 2 6
公式六
的正弦 2 (余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号. 公式一～公式六 叫到诱导公式


3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2 3 1 sin sin 2 2 sin 2
5 问题3 : 与 终边位置有什么关系？ 6 6 5 值可以由 如何表示？它们的终边与 6 6 单位圆交点的横坐标、纵坐标分别有什么 关系？它们三角函数值又有什么关系？ 是否可以推广到任意角？ 【结果】终边关于y轴对称，两角正弦值
相等，余弦、正切值互为相反数。
【诱导公式四】 sin( ) sin
0
余弦相等， 正切、正弦互为相反数
α
O
P(x,y)

-α
P’(x,-y)
【诱导公式三】 sin(－ ) －sin
【巧记】 “余负得正”
cos(－ ) cos 通--“渔夫德正” tan(－ ) －tan 【用途】任意负角的正、余弦、正切可以
化成该角正角的正、余弦、正切。
注：正弦、正切是奇函数，余弦是偶函数
例1.利用公式求下列三角函数值:
1 cos 225 ;

11 2 sin ; 3

16 3 sin 3

;
4 cos 2040

.
2 1 cos 225 cos 180 45 cos 45 2 11 3 sin 4 sin 2 sin 3 3 3 2
2
2 原式= sin cos tan sin
3 4
P27练习 3
(3)终边与角α的终边关于直线y=x对称的 角与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? 公式五
sin cos , 2 cos sin . 2
sin = tan cos
填表:
α sinα cosα tanα
4 3 5 4 5 3 7 4 8 3 11 4
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3
3
3
P28练习 4
【巧记】 “钝角变锐角，
cos( ) cos
正弦不变号”
tan( ) －tan 【用途】把钝角函数值化成锐角函数值。
7 问题4 : 与 终边位置有什么关系？ 6 6 7 值可以由 如何表示？它们的终边与 6 6 单位圆交点的横坐标、纵坐标分别有什么 关系？它们三角函数值又有什么关系？ 是否可以推广到任意角？ 【结果】终边关于原点对称，两角正切值
P(x,y)
α
O
-α
x
P(x,-y)
练习
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上
4 13 cos 1 cos ______; 9 9 sin 5 3 sin ______; 5
sin1 2 sin 1 ______;
π-α
α
P(x,y)
x
公式二
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
公式三
公式四
α+k· 2π(k∈Z), －α,π±α的三 角函数值,等于 α的同名函数值, 前面加上一个 把α看成锐角时 原函数值的符 号 .
y=x
y
P(x,y) P(y,x)
α
O

2
x

2 2
由公式四和公式五得
公式六
sin cos , 2 cos sin . 2
公式五
sin cos , 2 cos sin . 2 sin cos , 2 cos sin . 2
cos 7016 4 cos 70 6 ______ .



P27练习 1
(2)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式四
y
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
P(-x,y)
α
O
cos sin 原式= 1 sin cos
练习 1 sin 180 cos sin 180 化简 3 2 sin cos 2 tan
1 原式= sin cos sin sin cos
16 3 16 sin 5 sin 3 sin sin 3 3 3 2 3 4 cos 2040 cos 2040 cos 6 360 120
sin cos 2
3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2
3 2 cos cos 2 2 cos 2





3 sin 1300 sin 140 sin 40 0.6428
5 3 79 4 cos cos cos 6 6 2 6
P27练习 2
例2 化简
解:sin - -180 sin 180
tan(2k ) tan 把任意角的正弦、余弦、正切转 【用途】
化成[0,2 ]内的角的正弦、余弦、正切. 注：三角函数的对应是“多对一”
问题2 : 30 终边与 终边位置有什么 6 关系？它们的终边与单位圆交点的横坐标、 纵坐标有什么关系？它们三角函数值又有 什么关系？是否可以推广到任意角？ y
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填 在题中横线上:
sin 180 cos 180

cos 180 sin 360
.
sin 180 sin sin cos 180 cos
cos 180 cos 180
问题：实际中经常遇到两角的终边关于 直线y x对称，对于这种情况，两角的 三角函数值有什么关系？ 【诱导公式五】 【诱导公式六】 sin( ) cos
2
2
cos( ) sin 2 2

sin( + ) cos 2 cos( + ) sin 2
等于的同名函数值，前面加上一个把
看成是锐角时原函数值的符号。
【巧记】“函数名不变，符号看象限”
【思考】利用公式一~四把任意角的三角函
数化成锐角的三角函数的一般步骤是什么？ 任意负角 用公式 任意正角 三角函数 锐角三角 函数
三或一
三角函数 0~2的
用公式
二或四
三角函数 小结：由未知转化成已知这是一种化归思想
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
π +α
O
P(x,y)
α
x
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式三
y
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
1.3三角函数的诱导公式
诱导公式-第一课时
思考：你能填好下表吗？

6 1 2
390 30
0
0
5 6
7 6
sin cos
tan
3 2 3 3
【提问】 1、上述表中哪些角的三角函数值我们可以解决？
哪些目前我们无法解决？ 2、对于无法解决的可否借助前面已学知识解决？
3、这些角和能解决的角之间有什么关系？ 【学生活动】
在同一直角坐标系中画出上5个角，并 观察后4个角与 终边的位置关系. 6
问题1: 390 终边与
0

6 关系？三角函数值又有什么关系？
终边位置有什么
【诱导公式一】 终边相同的角的同一三角函数值相同 sin(2k ) sin 【巧记】
cos(2k ) cos
“大化小”