课时作业15：离散型随机变量的分布列、均值与方差

§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差
课时精练
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( ) A ．第一枚6点，第二枚2点 B ．第一枚5点，第二枚1点 C ．第一枚1点，第二枚6点 D ．第一枚6点，第二枚1点 答案 D
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.
2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )
A.19
B.16
C.13
D.14 答案 C
解析 由分布列的性质，得
1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P (X ＝2)＝22×3＝1
3
. 3．(2021·沈阳模拟)设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4，P (X ＝k )＝ak ＋b ，若X 的均值为E (X )＝3，则a －b 等于( ) A.110 B ．0 C ．－110 D.1
5 答案 A
解析 由题意知(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1，又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝1
10，b ＝0，∴a －b
＝110
. 4．已知随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )
ξ 4 a 9 P
0.5
0.1
b
A.5 B ．6 C ．7 D ．8
答案 C
解析 由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4，所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝7.
5．(多选)(2021·泰安模拟)设离散型随机变量X 的分布列为
若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的是( ) A ．q ＝0.1
B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4
C ．E (X )＝2，
D (X )＝1.8 D ．
E (Y )＝5，D (Y )＝7.2 答案 ACD
解析 因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；又E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确，B 不正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4
D (X )＝7.2，故D 正确．
6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：
则当a 在⎝⎛⎭⎫0，1
2内增大时( ) A ．E (ξ)增大
B ．E (ξ)减小
C ．
D (ξ)先增大后减小 D ．D (ξ)先减小后增大
答案 AC
解析 由随机变量ξ的分布列得 ⎩⎪⎨⎪⎧
0≤b －a ≤1，
0≤b ≤1，0≤a ≤1，b －a ＋b ＋a ＝1，
解得b ＝0.5,0≤a ≤0.5，
∴E (ξ)＝0.5＋2a,0≤a ≤0.5. 故a 在⎝⎛⎭
⎫0，1
2内增大时，E (ξ)增大． D (ξ)＝(－2a －0.5)2(0.5－a )＋(0.5－2a )2×0.5＋(1.5－2a )2a ＝－4a 2＋2a ＋14＝－4⎝⎛⎭⎫a －142＋1
2， 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，D (ξ)单调递增，当a ∈⎝⎛⎭
⎫14，1
2时，D (ξ)单调递减，故选AC.
7．某射击选手射击环数的分布列为
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为______． 答案 40%
解析 由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 8．随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 2
3 ⎣⎡⎦
⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝1
3，
∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝2
3.
又a ＝13－d ，c ＝1
3
＋d ，
根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，
∴－13≤d ≤1
3
.
9．已知随机变量ξ的分布列为
若E (ξ)＝15
8，则D (ξ)＝________.
答案
5564
解析 由分布列性质，得x ＋y ＝0.5.
又E (ξ)＝158，得2x ＋3y ＝11
8
，可得
⎩⎨⎧
x ＝18
，y ＝38.
D (ξ)＝⎝
⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________. 答案
310
解析 由题意可知，P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22
C 24C 2
6＝310
. 11．(2021·武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X ，Y ，写出随机变量X ，Y 的分布列； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，
P (X ＝0)＝C 34C 310＝4120＝130，P (X ＝1)＝C 16C 2
4
C 310＝36120＝310，
P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝60120＝12，P (X ＝3)＝C 36
C 310＝20120＝16
，
所以随机变量X 的分布列为
随机变量Y 的所有可能取值为1,2,3，
P (Y ＝1)＝C 18C 22
C 310＝8120＝115，
P (Y ＝2)＝C 28C 12
C 310＝56120＝715
，
P (Y ＝3)＝C 38
C 310＝56120＝715，
所以随机变量Y 的分布列为
(2)由(1)知甲合格的概率为P (A )＝12＋16＝2
3，
乙合格的概率为P (B )＝715＋715＝14
15
，
因为事件A ，B 相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－1415＝13×115＝145， 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－145＝44
45
.
12．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29
；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和1
15
.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，X 1的所有可能取值为300，－150.则X 1的分布列为
∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×2
9
＝200(万元)．
若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，X 2的所有可能取值为500，－300,0.则X 2的分布列为
∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×1
15＝200(万元)．
D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×2
9
＝35 000，
D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×1
15＝140 000.
∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝16
45，
且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) A ．10% B ．20% C ．30% D ．40% 答案 B
解析 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－x
C 210＝x (10－x )45＝1645，所以x ＝2或x ＝8.
因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为2
10
＝20%.
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.
答案 65
解析 由题意知X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8
125，
∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝6
5
.
15．(2020·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论不正确的是( ) A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为5
18
B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为1
1 296
C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25
216
D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为2
3
答案 B
解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 46
64＝518
，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的
概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5
264＝25216，故C
正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，
P (ξ＝2)＝C 245
264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝16
4，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为
则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245
264＋3×C 34×564＋4×16
4
＝2
3
，故D 正确． 16．(2021·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X ，若X ∈[1,300]，每单提成3元，若X ∈(300,600]，每单提成4元，若X ∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y ，若Y ∈[1,400]，每单提成3元，若Y ∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2020年4月份(30天)的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
(1)设美团外卖配送员月工资为f (X )，饿了么外卖配送员月工资为g (Y )，当X ＝Y ∈(300,600]时，比较f (X )与g (Y )的大小关系；
(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率． ①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E (x )和E (y )； ②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 解 (1)因为X ＝Y ∈(300,600]， 所以g (X )＝g (Y )，
当X ∈(300,400]时，f (X )－g (X )＝(1 800＋4X )－(2 100＋3X )＝X －300>0， 当X ∈(400,600]时，f (X )－g (X )＝(1 800＋4X )－(2 100＋4X )＝－300<0，
故当X ∈(300,400]时，f (X )>g (Y )， 故X ∈(400,600]时，f (X )<g (Y )． (2)①甲日送餐量x 的分布列为
乙日送餐量y 的分布列为
则E (x )＝13×115＋14×15＋16×25＋17×15＋18×115＋20×1
15＝16，
E (y )＝11×215＋13×16＋14×25＋15×110＋16×16＋18×1
30＝14.
②E (X )＝30E (x )＝480∈(300,600]，E (Y )＝30E (y )＝420∈(400，＋∞)，
美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E (X )＝3 720(元)，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E (Y )＝3 780(元)，由于3 780元>3 720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员．。