安徽省固镇县2022年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象
限的双曲线
6
y
x
上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那
么PM
PN
的值等于（）
A ．12
B ．22
C ．32
D ．33
4．如图，在4×
4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径弧AC 的长为（ ）
A ．3π2
B ．π
C ．2π
D ．3π
5．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）
A ．sin h α
B ．cos h α
C ．tan h α
D ．cot h α
6．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．45
7．据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为（ ）
A ．9.29×109
B ．9.29×1010
C ．92.9×1010
D ．9.29×1011
8．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（ ）
A ．12
B ．59
C ．49
D ．23
9．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为（ ）
A ．800sinα米
B ．800t anα米
C ．800sin α米
D ．800tan α
米 11．某大型企业员工总数为28600人，数据“28600”用科学记数法可表示为（ ）
A ．0.286×105
B ．2.86×105
C ．28.6×103
D ．2.86×104
12．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A ．五边形
B ．六边形
C ．七边形
D ．八边形
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()
090a α︒︒<<得到AB '，边AC 绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边
ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）
．
14．已知一组数据﹣3、3，﹣2、1、3、0、4、x 的平均数是1，则众数是_____．
15．如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x
（x ＞0）的图象经过矩形OABC 的边AB 、BC 的中点E 、F ，则四边形OEBF 的面积为________．
17．某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m 1)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是_____m 1．
18．关于x 的一元二次方程260x x b -+=有两个不相等的实数根，则实数b 的取值范围是________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +b 与双曲线y ＝
k x
相交于A ，B 两点， 已知A （2，5）．求：b 和k 的值；△OAB 的面积．
20．（6分）如图，AB AE =，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：ABC AED ≌
△△。

21．（6分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得
CD 的长等于24米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°．求AB 的长（结果保留根号）；已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）
22．（8分）如图，点C 在线段AB 上，AD ∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC ，CF 平分∠DCE ．
求证：CF ⊥DE 于点F ．
23．（8分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，CP 切⊙O 于P ，弦PD ⊥AB 于E ，过点B 作BQ ⊥CP 于Q ，交⊙O 于H ，
（1）如图1，求证：PQ ＝PE ；
（2）如图2，G 是圆上一点，∠GAB ＝30°，连接AG 交PD 于F ，连接BF ，若tan ∠BFE ＝33，求∠C 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，PD ＝63，连接QC 交BC 于点M ，求QM 的长．
24．（10分）先化简，再求值：22124()(1)442a a a a a a a -+-÷--+-，其中a 为不等式组72230a a ->⎧⎨->⎩
的整数解． 25．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
26．（12分）先化简，再求值：
2
2
+x21
(-)
21-1
x
x x x x
÷
-+
，请你从﹣1≤x＜3的范围内选取一个适当的整数作为x的值．
27．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA 为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．
解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．
设OA=a，BF=b，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=a2=12，
解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．
∴AM=8，OM=1．
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA，
∴∠FBN=∠AOB．
在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，
∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，
∴点F的坐标为（10+b，b）．
∵点F在反比例函数y=的图象上，
∴（10+b）×b=12，
S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10
故选A．
“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S
.
菱形OBCA
2、C
【解析】
作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明
△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D(x，6
x )，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，易得△AGD≌△DHC≌△CMB(AAS)，
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣6
x
，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣6
x
＝﹣1﹣x﹣
6
x
，
解得x＝﹣2，
∴D(﹣2，﹣3)，CH＝DG＝BM＝1﹣6
2
＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣3
2
，
∴E(﹣3
2
，﹣4)，
∴EH＝2﹣3
2
＝
1
2
，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣1
2
＝
7
2
，
∴S△CEB＝1
2
CE•BM＝
1
2
×
7
2
×4＝7；
故选C．
【点睛】
考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
3、B
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．
【详解】
如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PE＝PM，
∵PN∥OB，
∴∠POM＝∠OPN，
∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，
∴PM
PN
＝
2
2
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4、A
【解析】
根据旋转的性质和弧长公式解答即可．
【详解】
解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD，∴∠AOC＝90°，
∵OC＝3，
∴点A经过的路径弧AC的长＝903
180
π⨯
=
3
π
2
，
故选：A．
【点睛】
此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．
5、B
【解析】
根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在
Rt△BCD中cos∠BCD=CD
BC
，可得BC=
cos cos
CD h
BCDα
=
∠
.
故选B．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．6、C
【解析】
易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EF
AB
=
DF
DB
,
EF
CD
=
BF
BD
，从而可得
EF AB +
EF
CD
=
DF
DB
+
BF
BD
=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】
∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，
∴EF
AB
=
DF
DB
,
EF
CD
=
BF
BD
，
∴EF
AB
+
EF
CD
=
DF
DB
+
BF
BD
=
BD
BD
=1.
∵AB=1，CD=3，
∴
1EF +3
EF
=1， ∴EF=
3
4
. 故选C. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 7、B 【解析】
科学记数法的表示形式为a×1n 的形式，其中1≤|a|＜1，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于929亿有11位，所以可以确定n=11-1=1． 【详解】
解：929亿=92900000000=9.29×11． 故选B ． 【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键． 8、D 【解析】
先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两者的比值即为所求概率. 【详解】
任取两张卡片，数字之和一共有﹣3、2、1三种情况，其中和为正数的有2、1两种情况，所以这两张卡片正面数字之和为正数的概率是2
3
.故选D. 【点睛】
本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键. 9、C 【解析】
根据轴对称图形的概念求解． 【详解】
A 、是轴对称图形，故错误；
B 、是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．10、D
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=AC
AB
，即可解决问题.
【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=AC AB
，
∴AB=
800 tan tan
AC
αα
=，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 11、D
【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可
【详解】
28600=2.86×1．故选D．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键12、D
【解析】
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】
设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
【点睛】
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13、
2
14
a . 【解析】
首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B 'C '是顶角为150°的等腰三角形，其中AB '=AC '=a ．过C '作C 'D ⊥AB '于D ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出C 'D 12=AC '12=a ，然后根据S △AB 'C '1
2
=AB '•C 'D 即可求解． 【详解】
∵等边△ABC 的边长为a ，∴AB =AC =a ，∠BAC =60°．
∵将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB '，∴AB '=AB =a ，∠B 'AB =α． ∵边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC '，∴AC '=AC =a ，∠CAC '=β，∴∠B 'AC '=∠B 'AB +∠BAC +∠CAC '=α+60°+β=60°+90°=150°． 如图，过C '作C 'D ⊥AB '于D ，则∠D =90°，∠DAC '=30°，
∴C 'D 12=AC '12=a ，∴S △AB 'C '12=AB '•C 'D 12=a •12
a 14=a 1．
故答案为：
14
a 1
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积． 14、3 【解析】
∵－3、3, －2、1、3、0、4、x 的平均数是1， ∴－3+3－2+1+3+0+4+x=8 ∴x=2,
∴一组数据－3、3, －2、1、3、0、4、2, ∴众数是3.
故答案是：3. 15、1 【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1． 故答案为1．
点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． 16、2 【解析】
设矩形OABC 中点B 的坐标为()a b ，， ∵点E 、F 是AB 、BC 的中点，
∴点E 、F 的坐标分别为：1(?)2a b ，
、1()2a b ，， ∵点E 、F 都在反比例函数2
y x
=的图象上，
∴S △OCF =1122a b ⨯⋅=1212⨯=，S △OAE =1
212⨯=，
∴S 矩形OABC =4ab =，
∴S 四边形OEBF = S 矩形OABC - S △OAE -S △OCF =4112--=. 即四边形OEBF 的面积为2. 点睛：反比例函数k y x =
中“k ”的几何意义为：若点P 是反比例函数k
y x
=图象上的一点，连接坐标原点O 和点P ，过点P 向坐标轴作垂线段，垂足为点D ，则S △OPD =1
2
k . 17、150 【解析】
设绿化面积与工作时间的函数解析式为，因为函数图象经过，两点，将两点坐标代入函数解析式得
得
，将其代入得，解得
，∴一次函数解析式为
，将代入得
，故提高工作效
率前每小时完成的绿化面积为
．
18、b ＜9 【解析】
由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出3640b ＞∆=-，解之即可得出实数b 的取值范围． 【详解】 解：
方程260x x b +=﹣有两个不相等的实数根，
2
643640b b ∴∆=--=-（）＞，
解得：b 9＜． 【点睛】
本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是牢记“当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根”．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19、（1）b=3，k=10；（2）S △AOB =21
2
． 【解析】
（1）由直线y=x+b 与双曲线y=k
x
相交于A 、B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，根据y=x+3，y=10
x
，得到（-5，-2），C （-3，0）．求出OC=3，然后根
据三角形的面积公式即可得到结论.
解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =． 把()2,5A 代入k y x =，∴52
k
=， ∴10k =． （2）∵10
y x
=，3y x =+． ∴
10
3x x
=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --． 又∵()3,0C -， ∴AOB
AOC
BOC S
S
S
=+ 3532
22
⨯⨯=
+ 10.5=． 20、见解析 【解析】
据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD ，再加上条件AB=AE ，∠C=∠D 可证明△ABC ≌△AED ． 【详解】
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，即∠BAC=∠EAD ． ∵在△ABC 和△AED 中，
C D BAC EAD AB AE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△AED （AAS ）． 【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
21、 (1)163 ;(2)此校车在AB 路段超速，理由见解析. 【解析】
（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD 和BD 的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可． 【详解】
解：（1）由题意得，在Rt △ADC 中，tan30°＝＝
，
解得AD ＝24
．
在 Rt △BDC 中，tan60°＝＝
，
解得BD ＝8
所以AB ＝AD ﹣BD ＝24﹣8
＝16（米）．
（2）汽车从A 到B 用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），
因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时， 所以此校车在AB 路段超速． 【点睛】
考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等． 22、证明见解析． 【解析】
根据平行线性质得出∠A=∠B ，根据SAS 证△ACD ≌△BEC ，推出DC=CE ，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【详解】
∵AD∥BE，∴∠A＝∠B．
在△ACD和△BEC中
∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．
∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
23、（1）证明见解析（2）30°
919
【解析】
试题分析：
（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB 于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；
（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得3x，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=33BE=3x，从而可得AB=3x，则
OP=OA=23x，结合3x可得3x，这样即可得到sin∠OPE=
1
2
OE
OP
，由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；
（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=33在Rt△EPO中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=33BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=319，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.
试题解析：
（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，
∴OP⊥CP于点P，
又∵BQ⊥CP于点Q，
∴OP∥BQ，
∴∠OPB=∠QBP ， ∵OP=OB ， ∴∠OPB=∠OBP ， ∴∠QBP=∠OBP ， 又∵PE ⊥AB 于点E ， ∴PQ=PE ；
（2）如下图2，连接OP ，∵CP 切⊙O 于P ， ∴90OPC OPQ ∠=∠=︒ ∴90C COP ∠+∠=︒ ∵PD ⊥AB
∴ 90PEO AEF BEF ∠=∠=∠=︒ ∴90EPO COP ∠+∠=︒ ∴C EPO ∠=∠
在Rt FEA ∆中,∠GAB=30° ∴设EF=x ，则tan303AE EF x =÷︒=
在Rt FEB ∆中,tan ∠3∴·tan 33BE EF BFE x =∠= ∴43AB AE BE x =+= ∴23AO PO x == ∴3EO AO AE x =-= ∴在Rt ∆PEO 中, 1
sin 2
EO EPO PO ∠== ∴C EPO ∠=∠=30°；
(3)如下图3，连接BG ，过点O 作OK HB ⊥于K ，又BQ ⊥CP ， ∴90OPQ Q OKQ ∠=∠=∠=︒， ∴四边形POKQ 为矩形， ∴QK=PO,OK//CQ ， ∴C KOB ∠=∠=30°，
∵⊙O 中PD ⊥AB 于E ，3，AB 为⊙O 的直径， ∴PE=
1
2
3， 根据(2)得30EPO ∠=︒，在Rt ∆EPO 中，cos PE
EPO PO
∠=， ∴cos 33cos306PO PE EPO =÷∠=︒=， ∴OB=QK=PO=6，
∴在Rt KOB ∆中，sin KB
KOB OB
∠= ， ∴0
1
sin30632
KB OB =⋅=⨯=， ∴QB=9，
在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径， ∴∠AGB=90°， ∵∠BAG=30°， ∴BG=6，∠ABG=60°，
过点G 作GN ⊥QB 交QB 的延长线于点N ，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°， ∴BN=BQ·cos ∠GBQ=3，GN=BQ·sin ∠GBQ=33
∴QN=QB+BN=12，
∴在Rt △QGN 中，2212(33)319+= ∵∠ABG=∠CBQ=60°， ∴BM 是△BQG 的角平分线，
∴QM ：GM=QB ：GB=9：6， ∴QM=
9919
319155
⨯=
.
点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ 、BG 的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G 作GN ⊥QB 并交QB 的延长线于点N ，解出BN 和GN 的长，这样即可在Rt △QGN 中求得QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM 的长了. 24、
()
2
1
2a -，1
【解析】
先算减法，把除法变成乘法，求出结果，求出不等式组的整数解，代入求出即可． 【详解】 解：原式＝[
()
2
1
2a a --﹣
()22a a a +-]4a
a
-÷ ＝
()2
442a a a
a a -⋅-- ＝
()
2
1
2a -，
∵不等式组的解为
3
2
＜a ＜5，其整数解是2，3，4， a 不能等于0，2，4， ∴a ＝3， 当a ＝3时，原式＝()
2
1
32-＝1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解和分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简
是解此题的关键．
25、（1）y=﹣30x+1；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【解析】
(1) 每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量, 代入即可求解函数关系式;
(2) 根据利润=销售量⨯(销售单价-成本) , 建立二次函数, 用配方法求得最大值.
(3) 根据题意可列不等式, 再取等将其转化为一元二次方程并求解, 根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x 的取值范围, 再根据 (1) 中一元一次方程求得满足条件的x 的取值范围内y 的最小值即可.
【详解】
（1）y ＝300+30（60﹣x ）＝﹣30x+1．
（2）设每星期利润为W 元，
W ＝（x ﹣40）（﹣30x+1）＝﹣30（x ﹣55）2+2．
∴x ＝55时，W 最大值＝2．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润2元．
（3）由题意（x ﹣40）（﹣30x+1）≥6480，解得52≤x≤58，
当x ＝52时，销售300+30×
8＝540， 当x ＝58时，销售300+30×
2＝360， ∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用,注意综合运用所学知识解题.
26、1.
【解析】
根据分式的化简法则：先算括号里的，再算乘除，最后算加减．对不同分母的先通分，按同分母分式加减法计算，且要把复杂的因式分解因式，最后约分，化简完后再代入求值，但是不能代入-1，0，1，保证分式有意义．
【详解】 解：2221()211x x x x x x
+÷--+- =2(1)2(1)[](1)(1)
x x x x x x x +--÷-- =
2(1)1(1)(1)x x x x x x ++÷--
=2(1)(1)(1)1
x x x x x x +-⋅-+ =2
1
x x - 当x=2时，原式2
1x x =-=2221
-=1． 【点睛】
本题考查分式的化简求值及分式成立的条件，掌握运算法则准确计算是本题的解题关键.
27、（1）证明见解析；（2）
32
【解析】
试题分析：（1）过点O 作OG ⊥DC ，垂足为G ．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS 可证明△ADO ≌△GDO ，则OA=OG=r ，则DC 是⊙O 的切线；
（2）连接OF ，依据垂径定理可知BE=EF=1，在Rt △OEF 中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE 的长，最后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求解即可．
试题解析：
(1)证明：
过点O 作OG ⊥DC ，垂足为G ．
∵AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，
∴OA ⊥AD ．
∴∠OAD=∠OGD=90°．
在△ADO 和△GDO 中
OAD OGD ADO GDO OD OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADO ≌△GDO ．
∴OA=OG ．
∴DC是⊙O的切线．（2）如图所示：连接OF．
∵OA⊥BC，
∴BE=EF=1
2
BF=1．
在Rt△OEF中，OE=5，EF=1，∴2213
OE EF
+=，
∴AE=OA+OE=13+5=2．
∴tan∠ABC＝
3
2 AE
BE
=.
【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．。