湖北省孝感市高级中学2018学年高二下学期期中数学试卷

2018-2018学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期中数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的）
1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）
A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|+x18＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x18≥0
2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
3．把23化成二进制数是（）
A．00110 B．10111 C．10101 D．11101
4．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为84；
②众数为85；
③平均数为85；
④极差为12．
其中，正确说法的序号是（）
A．①②B．③④C．②④D．①③
5．已知三次函数f（x）=2ax3+6ax2+bx的导函数为f′（x），则函数f（x）与f′（x）
的图象可能是（）
A．B．C．D．
6．已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则f
A．2018×2018 B．2018×2018 C．2018×2018 D．2018×2018
7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）
A．B．2 C．D．3
8．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函
数（）
A．f（x）=log2（x+1）的图象上 B．f（x）=x2﹣2x+2的图象上
C．f（x）=x的图象上 D．f（x）=2x﹣1的图象上
9．F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一
焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
10．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）
A．B．C．D．
11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已
知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．
14．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．
15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．
16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其
右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值
范围为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．
（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率；
（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足
方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，
求a的取值范围．
19．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件
的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？
（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M．
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过椭圆C1： +=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴
上的截距分别为m、n，证明： +为定值．
2018-2018学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的）
1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）
A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|+x18＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x18≥0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x18＜0，
故选：C．
2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解．
【解答】解：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故A中的两个事件不是互斥事件；
“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，故B中的两个事件互斥而不对立；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，
故C中的两个事件不是互斥事件；
“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件．
故选：B．
3．把23化成二进制数是（）
A．00110 B．10111 C．10101 D．11101
【考点】进位制；排序问题与算法的多样性．
【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
【解答】解：23÷2=11 (1)
11÷2=5 (1)
5÷2=2 (1)
2÷2=1 0
1÷2=0 (1)
=10111（2）
故23
（10）
故选B
4．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为84；
②众数为85；
③平均数为85；
④极差为12．
其中，正确说法的序号是（）
A．①②B．③④C．②④D．①③
【考点】茎叶图．
【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．
【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中
位数是
=84，∴①是正确的；
众数是83，②是不正确的；
=85，∴③是正确的．
极差是91﹣78=13，④不正确的． 故选D ．
5．已知三次函数f （x ）=2ax 3+6ax 2+bx 的导函数为f′（x ），则函数f （x ）与f′（x ）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】函数的图象．
【分析】求函数的导数，结合一元二次函数的图象以及三次函数的极值关系分别进行判断即可．
【解答】解：函数的导数f′（x ）=6ax 2+12ax +b ，对称轴为x=﹣=﹣1，b=f′
（0）， 而f （0）=0，
A 和D 选项中，二次函数f′（x ）的对称轴不是x=﹣1，不满足条件．
B ．二次函数的函数零点为﹣4，2， 则﹣4×2=
=﹣8，即b=﹣48a ，且a ＞0，
则f′（x ）=6ax 2+12ax ﹣48a=6a （x 2+2x ﹣8）=6a （x ﹣2）（x +4）， 由f′（x ）＞0得x ＞2或x ＜﹣4，此时函数递增， 由f′（x ）＜0得﹣4＜x ＜2，此时函数递减，
即当x=2时，函数f （x ）取得极小值，当x=﹣4时，函数f （x ）取得极大值，故B 正确，
C 中，二次函数过原点，则f′（0）=0，即b=0，且a ＞0，
则f′（x）=6ax2+12ax=6ax（x+2），
f′（x）＞0得x＞0或x＜﹣2，此时函数递增，
由f′（x）＜0得﹣2＜x＜0，此时函数递减，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，故C错误，
故选：B．
6．已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则f
A．2018×2018 B．2018×2018 C．2018×2018 D．2018×2018
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，先求出f'（0）的值，然后即可求f=x2﹣xf′（0）﹣1，∴f'（x）=2x﹣f'（0），
令x=0，
则f'（0）=﹣f'（0），
∴f'（0）=0，
∴f（x）=x2﹣1，
∴f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）
A．B．2 C．D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．
【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=2，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．
∴P点的坐标为（3，）
∴解得：，
则渐近线方程为y=x，
即有点F到双曲线的渐进线的距离为
d==，
故选：A．
8．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函
数（）
A．f（x）=log2（x+1）的图象上 B．f（x）=x2﹣2x+2的图象上
C．f（x）=x的图象上 D．f（x）=2x﹣1的图象上
【考点】程序框图．
【分析】依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4），只要验证即可选出答案．
【解答】解：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4），经验证可知四个点皆满足y=2x﹣1，
故选：D．
9．F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一
焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【考点】圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的应用．
【分析】延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．
【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1
∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点
由三角形中位线定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）
∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|MP|+|PF2|=2a，
∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2
∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．
故选A．
10．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】设甲、乙两人各自跑的路程，列出不等式，作出图形，再列出相距不超过50米，满足的不等式，求出相应的面积，即可求得相应的概率．
【解答】解：设甲、乙两人各自跑的路程为xm，ym，则，表示的区
域如图所示，面积为90000m2，
相距不超过50米，满足|x﹣y|≤50，表示的区域如图阴影所示，其面积为m2=27500m2，
∴在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是=
故选C．
11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．
【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，
设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+a12=0，
a1=3a2，e1•e2===1
即3e12=1
∴e1=
故选：A．
12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．不确定
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．
∵x1＜x2，
∴x1=，x2=．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．
不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，
∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．
②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，
∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．
即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.18．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．
【考点】频率分布直方图．
【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，
∴10×（0.018+0.185+a+0.18+0.01）=1，
解得a=0.18．
由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.18+0.18+0.01）=60人．
其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，
所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．
故答案为：0.18，3．
14．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标
都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得导数，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，
由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，
则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，
解得3＜a＜．
故答案为：（3，）．
15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，
则它在回归直线左下方的概率为．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．
【解答】解：==8.5，==80
∵b=﹣20，a=﹣b，
∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程=﹣20x+250；
数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．
当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；
…
如图，6个点中有2个点在直线的下侧．
则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，
故这点恰好在回归直线下方的概率P==．
故答案为：．
16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其
右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值
范围为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，四边形AFF1B为长方形．根
据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则∠AF1F=α．椭圆的离心率e=
==，α∈[，]，≤sin（α+）≤1，
≤≤﹣1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．
【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，
∴四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
椭圆的离心率e===，α∈[，]，
∴≤α+≤，
则：≤sin（α+）≤1，
∴≤≤﹣1，
∴椭圆离心率e的取值范围：，
故答案为：．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．
（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率；
（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．
【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由条件利用古典概率及其计算公式，求得从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率．
（2）①设一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果用列举法求得共有10个．
②设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果用列举法求得共有4个，可得从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率．
（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），而甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．由此求得甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．
【解答】解：（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，
则p（A）==．
所以，从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为．
（2）①解：一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：
A1、A2；A1、A3；A1、A4；A1、A5；A2、A3；A2、A4；A2、A5；A3、A4；A3、A5；A4、A5，共计10个．
②解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：A1、A4；
A2、A3；A2、A5；A3、A5，共有4种．
故从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为=．
（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），
甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．
记“甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径”为事件C，则甲取到零件的直径大
于乙取到零件的直径的概率为=．
18．已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足
方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，
求a的取值范围．
【考点】充要条件．
【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据非q是非p的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可
【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a
由表示焦点在y轴上椭圆可得：2﹣m＞m﹣1＞0，∴
即命题
由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件
从而有：
∴
19．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件
的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？
（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由
R（x）=，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另
投入3万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．
【解答】解：（1）当0＜x≤10时，
；
当x＞10时，．
所以W=；
（2）①当0＜x＜10时，由W'=6.4﹣=0，得x=8，
且当x∈（0，8）时，W'＞0；当x∈（8，10）时，W'＜0，
∴当x=8时，W取最大值，且W max=6.4×8﹣﹣10≈24．
②当x＞10时，W=100﹣3（x+）≤100﹣3×2=100﹣72=28．
当且仅当x=，即x=12时，W=28，
故当x=12时，W取最大值28．
综合①②知当x=12时，W取最大值28万元，
故当年产量为12千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M．
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）求出p=2，M（0，1），分类讨论，直线与抛物线方程联立，即可求直线l的方程；
（2）直线MF与抛物线联立，利用韦达定理，根据△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|，求△OAB的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，
∴p=2，M（0，1）
斜率不存在时，x=0，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；
k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，
综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；
（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，
∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出函数f （x ）的导数，利用导数判断函数f （x ）的单调性与极值；
（Ⅱ）求出f （x ）的导数f′（x ），讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f （x ）在定义域（0，+∞）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，函数f （x ）=+4x ，
所以f′（x ）=﹣+4=，
令f′（x ）＞0，所以x ＞或x ＜﹣，
因为x ＞0，所以函数f （x ）单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，），
所以函数f （x ）在x=处取得极小值，f （）=4，无极大值；
（Ⅱ）f′（x ）=﹣+2a=，
令f′（x ）=0，得x 1=，x 2=﹣，
当a=﹣2时，f′（x ）≥0，函数f （x ）在定义域（0，+∞）单调递增；
当﹣2＜a ＜0时，在区间（0，），（﹣，+∞）上f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，
在区间（，﹣）上f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；
当a ＜﹣2时，在区间（0，﹣），（，+∞）上f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，
在区间（﹣，）上f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；
综上所述，当a=﹣2时，函数f （x ）的在定义域（0，+∞）内单调递增；
当﹣2＜a ＜0时，f （x ）在区间（0，），（﹣，+∞）内单调递减，在区间（，
﹣）内单调递增；
当a ＜﹣2时，f （x ）在区间（0，﹣），（，+∞）内单调递减，在区间（﹣，
）内f （x ）单调递增．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过椭圆C1： +=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴
上的截距分别为m、n，证明： +为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB 为锐角，得到•＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；
（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．
【解答】解：（1）由题意得：c=1，
∴a2=b2+1，
又因为点P（1，）在椭圆C上，
∴+=1，
解得：a2=4，b2=3，
则椭圆标准方程为+=1；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，
∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∵∠AOB为锐角，∴•＞0，即x1x2+y1y2＞0，
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，
整理得：（1+k2）•+2k•+4＞0，即＞0，
整理得：k2＜，即＜k2＜，
解得：﹣＜k＜﹣或＜k＜；
（3）由题意：C1： +=1，
设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=﹣=﹣，
∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），
化简得：x2x+y2y=④，
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，
把P点的坐标代入④、⑤得，
∴直线MN的方程为x1x+y1y=，
令y=0，得m=，令x=0得n=，
∴x1=，y1=，
又点P在椭圆C1上，
∴（）2+3（）2=4，
则+=为定值．
2018年1月15日。