PID控制实验报告

实验二 数字PID 控制
计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。

因
此连续PID 控制算法不能直接使用，需要采用离散化方法。

在计算机PID 控制中，使用的是数字PID 控制器。

一、位置式PID 控制算法
按模拟PID 控制算法，以一系列的采样时刻点kT 代表连续时间t ，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，可得离散PID 位置式表达式：
∑∑==--++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--++=k j d
i p k j D I p T k e k e k T j e k k e k k e k e T T j e T T k e k k u 0
0)
1()()()())1()(()()()( 式中，D p d I p
i T k k T k k ==,，e 为误差信号（即PID 控制器的输入）
，u 为控制信号（即控制器的输出）。

在仿真过程中，可根据实际情况，对控制器的输出进行限幅。

二、连续系统的数字PID 控制仿真
连续系统的数字PID 控制可实现D/A 及A/D 的功能，符合数字实时控制的真实情况，计算机及DSP 的实时PID 控制都属于这种情况。

1．Ex3 设被控对象为一个电机模型传递函数Bs
Js s G +=21)(，式中J=0.0067,B=0.1。

输入信号为)2sin(5.0t π，采用PD 控制，其中5.0,20==d p k k 。

采用ODE45方法求解连续被控对象方程。

因为Bs Js s U s Y s G +==21)()()(，所以u dt dy B dt
y d J =+22，另y y y y ==2,1，则⎪⎩
⎪⎨⎧+-==/J)*u ((B/J)y y y y 12221 ，因此连续对象微分方程函数ex3f.m 如下 function dy = ex3f(t,y,flag,para)
u=para;
J=0.0067;B=0.1;
dy=zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -(B/J)*y(2) + (1/J)*u;
控制主程序ex3.m
clear all;
close all;
ts=0.001; %采样周期
xk=zeros(2,1);%被控对象经A/D转换器的输出信号y的初值
e_1=0;%误差e(k-1)初值
u_1=0;%控制信号u(k-1)初值
for k=1:1:2000 %k为采样步数
time(k) = k*ts; %time中存放着各采样时刻
rin(k)=0.50*sin(1*2*pi*k*ts); %计算输入信号的采样值
para=u_1; % D/A
tSpan=[0 ts];
[tt,xx]=ode45('ex3f',tSpan,xk,[],para); %ode45解系统微分方程%xx有两列，第一列为tt时刻对应的y，第二列为tt时刻对应的y导数
xk = xx(end,:); % A/D，提取xx中最后一行的值，即当前y和y导数yout(k)=xk(1); %xk(1)即为当前系统输出采样值y(k)
e(k)=rin(k)-yout(k);%计算当前误差
de(k)=(e(k)-e_1)/ts; %计算u(k)中微分项输出
u(k)=20.0*e(k)+0.50*de(k);%计算当前u(k)的输出
%控制信号限幅
if u(k)>10.0
u(k)=10.0;
end
if u(k)<-10.0
u(k)=-10.0;
end
%更新u(k-1)和e(k-1)
u_1=u(k);
e_1=e(k); end
figure(1);
plot(time,rin,'r',time,yout,'b');%输入输出信号图
xlabel('time(s)'),ylabel('rin,yout');
figure(2);
plot(time,rin-yout,'r');
xlabel('time(s)'),ylabel('error');%误差图
程序运行结果显示表1所示。

表1 程序运行结果
输入输出图 误差图
分析:输出跟随输入，PD 控制中，微分控制可以改善动态特性，调节时间缩短，允许加大比例控制，使稳态误差减小，提高了控制精度.
2．Ex4 被控对象是一个三阶传递函数s
s s 1047035.8752350023++，采用Simulink 与m 文件相结合的形式，利用ODE45方法求解连续对象方程，主程序由Simulink 模块实现，控制器由m 文件实现。

输入信号为一个采样周期1ms 的正弦信号。

采用PID 方法设计控制器，其中05.0,2,5.1===d i p k k k 。

误差初始化由时钟功能实现，从而在m 文件中实现了误差的积分和微分。

控制主程序：ex4.mdl
控制子程序：ex4f.m
function [u]=ex4f(u1,u2)%u1为Clock，u2为图2-1中Sum模块输出的误差信号e的采样值
persistent errori error_1
if u1==0 %当Clock=0时，即初始时，e(k)=e(k-1)=0
errori=0
error_1=0
end
ts=0.001;
kp=1.5;
ki=2.0;
kd=0.05;
error=u2;
errord=(error-error_1)/ts;%一阶后向差分误差信号表示的误差微分
errori=errori+error*ts;%累积矩形求和计算的误差的积分
u=kp*error+kd*errord+ki*errori;%由PID算式得出的当前控制信号u(k) error_1=error;%误差信号更新
图2-1 Simulink仿真程序
其程序运行结果如表2所示。

Matlab输出结果
errori =
error_1 =
表2 例4程序运行结果 kp=1.5;ki=2.0;kd=0.05; kp=3.5;ki=2.0;kd=0.05;
三、离散系统的数字PID 控制仿真
1．Ex5 设被控对象为s
s s s G 1047035.87523500)(23++=，采样时间为1ms ，对其进行离散化。

针对离散系统的阶跃信号、正弦信号和方波信号的位置响应，设计离散PID 控制器。

其中S 为信号选择变量，S=1时是阶跃跟踪，S=2时为方波跟踪，S=3时为正弦跟踪。

求出G(s)对应的离散形式)
()()(z U z Y z G =
，其中Y(z)和U(z)是关于z 的多项式，则可以得到其对应的差分表达式
)3()4()2()3()1()2()3()4()2()3()1()2()(-+-+-+------=k u num k u num k u num k y den k y den k y den k yout 仿真程序：ex5.m
%PID Controller
clear all;
close all;
ts=0.001;%采样周期
sys=tf(5.235e005,[1,87.35,1.047e004,0]);%被控对象连续传递函数dsys=c2d(sys,ts,'z');%转换成离散z传递函数的形式
[num,den]=tfdata(dsys,'v');%提取z传递函数中的分子和分母多项式系数u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;%u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)的初值
y_1=0.0;y_2=0.0;y_3=0.0; %y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)的初值
x=[0,0,0]'; %比例、微分、积分项的初值
error_1=0;%e(k-1)的初值
disp('S=1--step,S=2--sin,S=3--square')% S=1阶跃，S=2方波，S=3正弦S=input('Number of input signal S:')%接收输入信号代号
for k=1:1:1500
time(k)=k*ts;%各采样时刻
if S==1 %阶跃输入时
kp=0.50;ki=0.001;kd=0.001; %各项PID系数
rin(k)=1; %阶跃信号输入
elseif S==2
kp=0.50;ki=0.001;kd=0.001; %各项PID系数
rin(k)=sign(sin(2*2*pi*k*ts)); %方波信号输入
elseif S==3
kp=1.5;ki=1.0;kd=0.01; %各项PID系数
rin(k)=0.5*sin(2*2*pi*k*ts); %正弦信号输入
end
u(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); %PID控制信号输出u(k)
%控制信号输出限幅
if u(k)>=10
u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end
%根据差分方程计算系统当前输出y(k)
yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+n um(4)*u_3;
error(k)=rin(k)-yout(k);%当前误差
%更新u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
x(1)=error(k); %比例输出
x(2)=(error(k)-error_1)/ts; %微分输出
x(3)=x(3)+error(k)*ts; %积分输出
error_1=error(k); %更新e(k-1)
end
figure(1); %作图
plot(time,rin,'r',time,yout,'b');
xlabel('time(s)'),ylabel('rin,yout');
其程序运行结果如表3所示。

kp=0.50;ki=0.001;kd=0.001;kp=1.50;ki=0.001;kd=0.001;
S=1
阶
跃跟踪
S=2
方
波跟踪
S=3
正
弦跟踪
2．Ex6针对于Ex5被控对象所对应的离散系统，设计针对三角波、锯齿波和随机信号的位置式响应。

仿真程序：ex6.m。

程序中当S=1时为三角波，S=2时为锯齿波，S=3时为随机信号。

如果D=1，则通过pause命令实现动态演示仿真。

%PID Controller
clear all;
close all;
ts=0.001;
sys=tf(5.235e005,[1,87.35,1.047e004,0]);
dsys=c2d(sys,ts,'z');
[num,den]=tfdata(dsys,'v');
u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;
r_1=rand;
y_1=0;y_2=0;y_3=0;
x=[0,0,0]';
error_1=0;
disp('S=1--Triangle,S=2--Sawtooth,S=3--Random')% S=1三角，S=2锯齿，S=3随机
S=input('Number of input signal S:')%接收输入信号代号
disp('D=1--Dynamic display,D~=1--Direct display')%D=1动画显示，D~=1直接显示
D=input('D=')
for k=1:1:3000
time(k)=k*ts;
kp=1.0;ki=2.0;kd=0.01;
if S==1 %Triangle Signal
if mod(time(k),2)<1
rin(k)=mod(time(k),1);
else
rin(k)=1-mod(time(k),1);
end
rin(k)=rin(k)-0.5;
end
if S==2 %Sawtooth Signal
rin(k)=mod(time(k),1.0);
end
if S==3 %Random Signal
rin(k)=rand;
vr(k)=(rin(k)-r_1)/ts; %Max speed is 5.0
while abs(vr(k))>=5.0
rin(k)=rand;
vr(k)=abs((rin(k)-r_1)/ts);
end
end
u(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); %PID Controller
%Restricting the output of controller
if u(k)>=10
u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end
%Linear model
yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+n um(4)*u_3;
error(k)=rin(k)-yout(k);
r_1=rin(k);
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
x(1)=error(k); %Calculating P
x(2)=(error(k)-error_1)/ts; %Calculating D
x(3)=x(3)+error(k)*ts; %Calculating I
xi(k)=x(3);
error_1=error(k);
if D==1 %Dynamic Simulation Display
plot(time,rin,'b',time,yout,'r');
pause(0.000001);
end
end
plot(time,rin,'r',time,yout,'b');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
Matlab运行结果为：
S=1--Triangle,S=2--Sawtooth,S=3--Random
Number of input signal S:1（2、3）
S = 1
D=1--Dynamic display,D=0--Direct display %D=1动画显示，D~=1直接显示
D=0 D =
0 %D=0直接显示，如果D=1，则通过pause 命令实现动态演示仿真。

其程序运行结果如表4所示。

表4 程序运行结果
S=1 d=1
S=2 d=1
S=3 d=1
00.51
1.5
2 2.53
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
time(s)
r i n ,y o u t
分析：s=1时为三角波的位置式响应，s=2时为锯齿波的位置式响应；s=3时为随机信号的位置式响应。

3．Ex7 采用Simulink 实现PID 控制器的设计，如图2-2所示，其中离散
PID控制的子系统如图2-3所示，其封装界面如图2-4所示。

仿真程序：ex7.mdl
图2-2 离散PID控制的Simulink主程序
图2-3 离散PID控制的Simulink控制器程序
图2-4 离散PID控制的封装界面
其程序运行结果如表5所示。

表5 Simulink仿真结果
Kp=0.5;Ki=0.001;Kd=0.001;T=0.001Kp=1.5;Ki=0.01;Kd=0.01;T=0.001
分析：位置式PID 控制算法的缺点是，由于采用全量输出，所以每次输出均与过去的状态有关，计算时要对e(k)量进行累加，计算机输出控制量u(k)对应的是执行机构的实际位置偏差，如果位置传感器出现故障，u(k)可能会出现大幅度变化。

u （k ）大幅度变化会引起执行机构未知的大幅度变化，这种情况在生产中是不允许的，在某些重要场合还可能造成重大事故。

为了避免这种情况的发生，可采用增量式PID 控制算法。

四、增量式PID 控制算法及仿真
当执行机构需要的是控制量的增量（例如驱动步进电机）时，应采用增量式PID 控制，根据递推原理可得增量式PID 控制算法为
()())2()1(2)()()1()()
1()()(-+--++--=--=∆k e k e k e k k e k k e k e k k u k u k u d i p
Ex8 设被控对象s
s s G 50400
)(2+=
，采用增量式控制算法，PID 控制参数
10,1.0,8===d i p k k k 。

仿真程序：ex8.m
%Increment PID Controller clear all; close all; ts=0.001;
sys=tf(400,[1,50,0]); dsys=c2d(sys,ts,'z'); [num,den]=tfdata(dsys,'v');
u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;
y_1=0;y_2=0;y_3=0;
x=[0,0,0]';
error_1=0;
error_2=0;
for k=1:1:1000
time(k)=k*ts;
rin(k)=1.0;
kp=8;
ki=0.10;
kd=10;
du(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3);
u(k)=u_1+du(k);
if u(k)>=10
u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end
yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2+num(2)*u_1+num(3)*u_2; error=rin(k)-yout(k);
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
x(1)=error-error_1; %Calculating P
x(2)=error-2*error_1+error_2; %Calculating D
x(3)=error; %Calculating I
error_2=error_1;
error_1=error;
end
plot(time,rin,'b',time,yout,'r'); xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout'); 其程序运行结果如图5所示。

分析：增量式PID 控制算法计算的误差小。

由于他只输出控制量，所以误动作时影响小，系统的超调及振动也少。

由于控制算法中不需要累加，控制增量Δu(k)仅与最近k 次的采样有关，所以误动作影响小，而且较容易通过加权处理获得比较好的控制效果。

仿真程序ex8.m 运行结果：PID 控制参数
10,1.0,8===d i p k k k 。

图5 增量式PID 控制算法仿真结果
实验三 PID 控制的改进算法
在计算机控制系统中，PID 控制是通过计算机程序实现的，因此灵活性很大。

一些原来在模拟PID 控制器中无法实现的问题，在引入计算机以后，就可以得到解决，于是产生了一系列的改进算法，形成非标准的控制算法，以改善系统品质，满足不同控制系统的需要。

一、积分分离PID 控制算法
在普通PID 控制中，积分的目的是为了消除金叉，提高精度，但在过程的启动、结束或大幅度增减设定是，短时间内系统输出有很大偏差，会造成PID 运算的积分积累，致使控制量超过执行机构可能允许的最大动作范围对应的极限控制量，引起系统较大的超调，甚至引起系统较大的振荡，这在生产中是绝对不允许的。

积分分离控制基本思路是，当被控量与设定值偏差较大时，取消积分作用，以免由于积分作用使系统稳定性降低，超调量增大；当被控量接近给定值时，引入积分控制，以便消除静差，提高控制精度。

其具体实现步骤是：
1） 根据实际情况，人为设定阈值ε>0；
2） 当ε>)(k e 时，采用PD 控制，可避免产生过大的超调，又使系统有较快的响应；
3） 当ε≤)(k e 时，采用PID 控制，以保证系统的控制精度。

积分分离算法可表示为：
∑=--++=k
j d
i p T
k e k e k T j e k k e k k u 0)
1()()()()(β
式中，T 为采样时间，β为积分项的开关系数，⎩⎨⎧>≤=ξ
ξ
β|)(|0|)(|1k e k e
Ex9 设备控对象为一个延迟对象1
60)(80+=-s e s G s
，采样周期为20s ，延迟时间
为4个采样周期，即80s 。

输入信号r(k)=40，控制器输出限制在[-110,110]。

3,005.0,8.0===d i p k k k
被控对象离散化为)5
num
u
k
y
y
k
den
-
=k
-
)2(
(
(
)1
)2(
(-
+
)
仿真方法一：仿真程序：ex9_1.m。

当M=1时采用分段积分分离法，M=2时采用普通PID控制。

%Integration Separation PID Controller
clear all;
close all;
ts=20;
%Delay plant
sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80);
dsys=c2d(sys,ts,'zoh');
[num,den]=tfdata(dsys,'v');
u_1=0;u_2=0;u_3=0;u_4=0;u_5=0;
y_1=0;y_2=0;y_3=0;
error_1=0;error_2=0;
ei=0;
% M=1分段积分分离，M=2普通PID
disp('M=1--Using integration separation,M=2--Not using integration separation')
M=input('whether or not use integration separation method:')
for k=1:1:200
time(k)=k*ts;
%输出信号
yout(k)=-den(2)*y_1+num(2)*u_5;
rin(k)=40;
error(k)=rin(k)-yout(k);
ei=ei+error(k)*ts;%积分项输出
if M==1 %使用分段积分分离
if abs(error(k))>=30&abs(error(k))<=40
beta=0.3;
elseif abs(error(k))>=20&abs(error(k))<=30
beta=0.6;
elseif abs(error(k))>=10&abs(error(k))<=20
beta=0.9;
else
beta=1.0;
end
elseif M==2
beta=1.0;
end
kp=0.80;
ki=0.005;
kd=3.0;
u(k)=kp*error(k)+kd*(error(k)-error_1)/ts+beta*ki*ei; if u(k)>=110 % 控制信号限幅
u(k)=110;
end
if u(k)<=-110
u(k)=-110;
end
u_5=u_4;u_4=u_3;u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
error_2=error_1;
error_1=error(k);
end
figure(1);
plot(time,rin,'b',time,yout,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
figure(2);
plot(time,u,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('u'); 其程序运行结果表1所示。

表1 例9仿真方法一结果
m=1 m=2
输入输出信号
控制信号
分析：积分饱和的防止方法有积分分离法和预限削弱法。

积分作用使系统稳定性降低，超调量增大。

比较仿真结果，当被控量与设定值偏差较大时，删除积分作用，以使∑=k
j j e 0)(不至过大。

只有当)(k e 较小时方引入积分作用，以消除静
差，提高控制精度，控制量不宜进入饱和区。

仿真方法二：采用Simulink 仿真 初始化程序ex9_2f.m clear all; close all; ts=20;
sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80); dsys=c2d(sys,ts,'zoh'); [num,den]=tfdata(dsys,'v'); kp=1.80;
ki=0.05;
kd=0.20;
Simulink主程序ex9_2f.mdl，如图3-1所示。

图3-1 Simulink主程序
其运行结果如表2所示。

表2 Simulink仿真结果
PID参
数
kp=1.80; ki=0.05; kd=0.20kp=1.80; ki=0.01; kd=0.20
仿真
结果
分析：由图可知，积分时间常数能消除系统的稳态误差，提高系统控制精度，只有当积分时间常数合适时，过度过程的特性才比较理想。

积分时间常数过小，系统震荡次数多，积分时间常数过大，对系统性能影响减少。

二、抗积分饱和PID控制算法
所谓积分饱和是指若系统存在一个方向的偏差，PID控制器的输出由于积分作用的不断累加而加大，从而导致执行机构达到极限位置Xmax，若控制器输出u(k)继续增大，阀门开度不可能在增大，此时就称计算机输出控制超出正常运行范围而进入了饱和区。

一旦系统出现反向偏差，u(k)逐渐从饱和区推出。

进入饱和区越深，则退出饱和区所需时间越长。

在这段时间内，执行机构仍停留在极限
位置而不能随偏差反向立即作出相应的改变，这时系统就像失去控制一样，造成控制性能恶化。

这种现象称为积分饱和现象或积分失控现象。

抗积分饱和的思路是，在计算u(k)时，首先判断上一时刻的控制量u(k-1)是否已超出限制范围。

若u(k-1)>u max ，则只累加负偏差；若u(k-1)<u min ，则只累加正偏差。

这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。

Ex10 设被控对象为s
s s s G 1047035.87523500
)(23++=
，采样周期1ms 。

输入
r(k)=30, 0,9,85.0===d i p k k k
仿真程序：ex10.m 。

M=1时采用抗积分饱和算法，M=2时采用普通PID 算法。

%PID Controler with intergration sturation clear all; close all; ts=0.001;
sys=tf(5.235e005,[1,87.35,1.047e004,0]); dsys=c2d(sys,ts,'z'); [num,den]=tfdata(dsys,'v'); u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0; y_1=0;y_2=0;y_3=0; x=[0,0,0]'; error_1=0;
um=6;%控制信号限幅值 kp=0.85;ki=9.0;kd=0.0; rin=30; %Step Signal % M=1抗积分饱和，M=2普通PID
disp('M=1--Using intergration sturation,M=2--Not using iintergration sturation')
M=input('whether or not use integration separation method:') for k=1:1:800 time(k)=k*ts;
u(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); % PID Controller
if u(k)>=um
u(k)=um;
end
if u(k)<=-um
u(k)=-um;
end
%Linear model
yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+n um(4)*u_3;
error(k)=rin-yout(k);
if M==1 %Using intergration sturation
if u(k)>=um
if error(k)>0
alpha=0;
else
alpha=1;
end
elseif u(k)<=-um
if error(k)>0
alpha=1;
else
alpha=0;
end
else
alpha=1;
end
elseif M==2 %Not using intergration sturation
alpha=1;
end
%Return of PID parameters
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
error_1=error(k);
x(1)=error(k); % 计算比例项
x(2)=(error(k)-error_1)/ts; % 计算微分项
x(3)=x(3)+alpha*error(k)*ts; % 计算积分项
xi(k)=x(3);
end
figure(1);
subplot(311);
plot(time,rin,'b',time,yout,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('Position tracking');
subplot(312);
plot(time,u,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('Controller output');
subplot(313);
plot(time,xi,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('Integration');
其运行结果如表3所示。

表3 例10仿真结果
M=1时采用抗积分饱和算法M=2时采用抗积分饱和算法
分析:比较仿真结果知，采用普通的算法时，积分项的存在，有时可能会引起积分饱和，增加系统的调整时间和超调量，而采用了抗积分饱和的方法，可以消除静态误差，使控制量不易进入饱和区，即使进入了，也能较快，系统的输出特性得到了一定改善。

三、不完全微分PID 控制算法
在PID 控制中，微分信号的引入可改善系统的动态特性，但也易引入高频干扰，在误差扰动突变时尤其显出微分项的不足。

若在控制算法中加入低通滤波器，则可使系统性能得到改善。

具体做法就是在PID 算法中加入一个一阶惯性环节（低通滤波器）
s
T f +11
,T f 为滤波器系数。

可得此时的微分项输出为
()())
1()1()()1()1()()1()(-+---=--++-+=
k u k e k e K k e k e T T T k k u T T T k u D D f s D
p
D f
s f D αα，其中
)1(-+=
k u T T T D f
s f α，s
D
p
D T T k K =，T s 为采样时间，T D 为微分时间常数。

Ex11 被控对象为时滞系统传递函数1
60)(80+=-s e s G s
，在对象的输出端加幅值
为0.01的随机信号。

采样周期为20ms 。

采用不完全微分算法，
140,0055.0,3.0===D i p T k k 。

所加的低通滤波器为1
1801
)(+=
s s Q
仿真程序：ex11.m 。

M=1时采用不完全微分，M=2时采用普通PID %PID Controler with Partial differential clear all; close all; ts=20;
sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80); dsys=c2d(sys,ts,'zoh'); [num,den]=tfdata(dsys,'v');
u_1=0;u_2=0;u_3=0;u_4=0;u_5=0; %控制信号初值
ud_1=0; %uD(k-1)初值
y_1=0;y_2=0;y_3=0; %输出信号初值
error_1=0;
ei=0;
for k=1:1:100
time(k)=k*ts;
rin(k)=1.0;
yout(k)=-den(2)*y_1+num(2)*u_5; %输出信号差分方程
D(k)=0.01*rands(1);%干扰信号
yout(k)=yout(k)+D(k); %加入干扰后的输出信号
error(k)=rin(k)-yout(k);
ei=ei+error(k)*ts; %矩形面积求和计算的积分项输出
kp=0.30;
ki=0.0055;
TD=140;
kd=kp*TD/ts;
Tf=180;%Q的滤波器系数
Q=tf([1],[Tf,1]); %低通滤波器
%M=1选择不完全微分，M=2选择普通PID
disp('M=1—Using Partial differential PID,M=2-- Using PID Controler without Partial differential')
M=input('whether or not use Partial differential PID:')
if M==1 %M=1时用不完全微分
alfa=Tf/(ts+Tf);
ud(k)=kd*(1-alfa)*(error(k)-error_1)+alfa*ud_1;
u(k)=kp*error(k)+ud(k)+ki*ei;
ud_1=ud(k);
elseif M==2 %M=2时用普通PID
u(k)=kp*error(k)+kd*(error(k)-error_1)+ki*ei;
end
%输出限幅
if u(k)>=10
u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end
%更新采样值
u_5=u_4;u_4=u_3;u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
error_1=error(k);
end
figure(1);
plot(time,rin,'b',time,yout,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
figure(2);
plot(time,u,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('u');
figure(3);
plot(time,rin-yout,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('error');
figure(4);
bode(Q,'r');
dcgain(Q);
其运行结果如表4所示。

分析：比较m=1与m=2的图可得知：在标准PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分想输出急剧增加，容易引起调节过程的震荡，导致品质因数下降，为了
克服这点才引入不完全微分的PID算法。

其微分作用逐渐下降，微分输出信号按指数规律逐渐衰减到零，因而系统变化比较缓慢，不容易引起振荡。

微分控制可以改善动态特性，如超调量减少，调节时间缩短，使稳态误差减少，提高控制精度。

表4 例11运行结果
M=1时采用不完全微分M=2时采用普通PID
输入
信号（蓝
线）
输出
信号
（红
线）
采样
输出
误差
输出
Bode 图
四、微分线性PID 控制算法
微分线性的PID 控制结构如图3-2所示，其特点是只对输出量y(k)进行微分，而对给定值r(k)不进行微分。

这样，在改变给定值时，输出不会改变，而被控量的变化通常是比较缓和的，它适用于给定值r(k)频繁升降的场合，可以避免给定值升降时引起的系统振荡，从而改善系统的动态特性。

⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+s T k I p 111
1++s T s T D D γ+
-
r(s)y(s)
E(s)
u D (s)
u PI (s)u(s)
图3-2 微分先行PID 控制结构图 令微分部分的传递函数为11
1
)()(<++=
γγs T s T s y s u D D D ，式中
1
1
+s T D γ相当于低通
滤波器。

则有y dt
dy
T u dt du T D D D D
+=+γ 由差分得：)()
1()()()1()(k y T
k y k y T k u T k u k u T D D D D D
+--=+--γ
整理得微分部分的输出：)1()()1()(321--+-=k y c k y c k u c k u D D 其中T
T T c T T T T c T
T T c D D
D D D D +=++=
+=
γγγγ321,,
比例积分部分的传递函数为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=s T k s E s u I p PI 11)()(，其中T I 为积分时间常数。

离散控制算式为)()()(k u k u k u D PI +=。

Ex12 设被控对象为一个延迟对象1
60)(80+=-s e s G s
，采样周期为20s 。

输入信
号为带有高频干扰的方波信号：
))03.0sin(05.0)0005.0sgn(sin()(t t t r ππ+=。

普通PID 控制中 14,0021.0,36.0===d i p k k k 。

微分先行PID 中γ=0.5。

仿真程序：ex12.m 。

M=1时使用微分先行PID ，M=2使用普通PID %PID Controler with differential in advance clear all; close all; ts=20;
sys=tf([1],[60,1],'inputdelay',80); dsys=c2d(sys,ts,'zoh'); [num,den]=tfdata(dsys,'v'); u_1=0;u_2=0;u_3=0;u_4=0;u_5=0; ud_1=0;
y_1=0;y_2=0;y_3=0; error_1=0;error_2=0; ei=0;
%M=1使用微分先行PID ，M=2使用普通PID
disp('M=1¡ªUsing PID Controler with differential in advance ,M=2-- Using common PID Controler')
M=input('whether or not use PID Controler with differential in advance:');
for k=1:1:400 time(k)=k*ts;
%Linear model
yout(k)=-den(2)*y_1+num(2)*u_5;
kp=0.36;kd=14;ki=0.0021;
rin(k)=1.0*sign(sin(0.00025*2*pi*k*ts));
rin(k)=rin(k)+0.05*sin(0.03*pi*k*ts);
error(k)=rin(k)-yout(k);
ei=ei+error(k)*ts;
gama=0.50;
Td=kd/kp;
c1=gama*Td/(gama*Td+ts);
c2=(Td+ts)/(gama*Td+ts);
c3=Td/(gama*Td+ts);
if M==1 %PID Control with differential in advance ud(k)=c1*ud_1+c2*yout(k)-c3*y_1;
u(k)=kp*error(k)+ud(k)+ki*ei;
elseif M==2 %Simple PID Control
u(k)=kp*error(k)+kd*(error(k)-error_1)/ts+ki*ei; end
if u(k)>=110
u(k)=110;
end
if u(k)<=-110
u(k)=-110;
end
%Update parameters
u_5=u_4;u_4=u_3;u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
error_2=error_1;
error_1=error(k);
end
figure(1);
plot(time,rin,'r',time,yout,'b');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
figure(2);
plot(time,u,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('u');
其运行结果如表5所示。

分析：微分先行PID算法将微分算法放在前面，适用于给定量频繁升降的场合，可以避免给定值升降时引起的系统振荡，从而改善系统的动态特性。

表5 例12仿真结果
M=1时使用微分先行PID M=2使用普通PID
输
入输出
图
采
样图
五、带死区的PID控制算法
某些系统为了避免控制作用过于频繁，消除由于频繁动作所引起的振荡，可
采用带死区的PID 控制算法，控制算法为：⎩⎨⎧>≤=B
k e k e B
k e k e )()()(0)(，式中e(k)
为位置跟踪偏差，B 为可调的死区参数，具体可根据实际控制对象由试验确定。

若B 太小，会使控制动作过于频繁，达不到稳定被控对象的目的；若B 太大，则系统将产生较大的滞后。

Ex13 设被控对象为s
s s s G 1047035.87523500
)(23++=
，采样周期为1ms ，对象输
出上有一个幅值为0.5的正态分布的随机干扰信号。

采用积分分离式PID 控制算法进行阶跃响应，取ξ=0.2，死区参数B=0.1，采用低通滤波器对对象输出信号进行滤波，滤波器为1
04.01
)(+=
s s Q 。

仿真程序：ex13.m 。

M=1时，采用一般积分分离式PID 控制算法，M=2时采用带死区的积分分离式PID 控制算法。

%PID Controler with dead zone
clear all; close all; ts=0.001;
sys=tf(5.235e005,[1,87.35,1.047e004,0]); dsys=c2d(sys,ts,'z'); [num,den]=tfdata(dsys,'v') u_1=0;u_2=0;u_3=0;u_4=0;u_5=0; y_1=0;y_2=0;y_3=0; yy_1=0;
error_1=0;error_2=0;ei=0;
sys1=tf([1],[0.04,1]); %Low Freq Signal Filter dsys1=c2d(sys1,ts,'tucsin'); [num1,den1]=tfdata(dsys1,'v'); f_1=0;
%M=1选择普通积分分离式PID ，M=2选择带死区的积分分离式PID 算法 disp('M=1--Using common integration seperation PID Controler ,M=2--
Using integration seperation PID Controler with dead zone') M=input('whether or not use integration seperation PID Controler with dead zone:');
for k=1:1:2000
time(k)=k*ts;
rin(k)=1; %Step Signal
%Linear model
yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+...
num(3)*u_2+num(4)*u_3
D(k)=0.50*rands(1); %Disturbance signal
yyout(k)=yout(k)+D(k);
%Low frequency filter
filty(k)=-den1(2)*f_1+num1(1)*(yyout(k)+yy_1);
error(k)=rin(k)-filty(k);
if abs(error(k))<=0.20
ei=ei+error(k)*ts;
else
ei=0;
end
kp=0.50;ki=0.10;kd=0.020;
u(k)=kp*error(k)+ki*ei+kd*(error(k)-error_1)/ts;
if M==1
u(k)=u(k);
elseif M==2 %Using Dead zone
if abs(error(k))<=0.10
u(k)=0;
end
end
if u(k)>=10
u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end
%----------Return of PID parameters------------rin_1=rin(k);
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);
f_1=filty(k);
yy_1=yyout(k);
error_2=error_1;
error_1=error(k);
end
figure(1);
subplot(211);
plot(time,rin,'r',time,filty,'b');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
subplot(212);
plot(time,u,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('u');
figure(2);
plot(time,D,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('Disturbance signal');
其运行结果如表6所示。

表6 例13仿真结果
分析：在控制精度要求不太高，控制过程要求尽量平稳的场合，为了避免控制动作过于频繁，消除由此产生的震荡，可以认为设置一灵敏区。

死区是一可调参数，参数太小，调节动作过于频繁，达不到稳定控制的目的，参数太大，又会产生很大的纯滞后。

实验四纯滞后系统的控制算法
一、纯滞后系统的Smith控制算法
在工业过程控制中，许多被控对象具有纯滞后的性质。

Smith提出了一中纯滞后补偿模型，其原理为，与PID控制器并接一个补偿环节，该补偿环节称为Smith预估器。

被控对象传递函数为
s
p
e
s
Gτ-
)
(
，模拟调节器的传递函数为)
(s
D，则系统的
闭环传递函数为
s
p
s
p
e
s
G
s
D
e
s
G
s
D
s
τ
τ
-
-
+
=
Φ
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(。

可见，闭环特征方程中出现了纯滞后
环节，使系统稳定性降低，如果滞后时间τ足够大，系统将不稳定，这就是大延迟过程难于控制的本质。

针对这一问题，Smith提出在调节器上反向并联一个预估模型，Smith预估控制系统等效图如图4-1所示。

)
(s D s
e τ-)
(s G p s
p e s G τ-)()
(t r )(t e )
(t e c )
(t u )
(t c )
(t y τ+-
+
-
+
图4-1 带Smith 预估器的控制系统
Ex14 设被控对象为
160)(80+=
-s e s G s
p ，采用Smith 控制方法，在PI 控制中，取
022
.0,4==i p k k ，输入阶跃信号幅值为100。

仿真程序：ex14.mdl
其运行结果如表1所示。

分析：纯滞后性质常引起系统产生超调或者振荡，使系统的稳定性降低。

s
e τ-项在闭环控制回路之外，不影响系统的稳定性，仅将控制作用在时间坐标轴上推迟了一个时间τ，控制系统的过渡过程及其他性能指标都与对象特征为)(s G p 的完全相同，消除了纯滞后部分对控制系统的影响。

表1 例14运行结果
二、大林控制算法
早在1968年，美国IBM 公司的大林就提出了一种不同常规PID 控制规律的新型算法，
即大林控制算法，该算法的最大特点是，将期望的闭环响应设计成一阶惯性加延迟，然后反过来得到能满足这种闭环响应的控制器。

对于单回路控制系统，D(z)为数字控制器，G(z)为被控对象广义传递函数，
则闭环系统传递函数为：
)()(1)
()()()()(z G z D z G z D z R z C z +=
=
Φ
则有
)(1)
()(1)()()(z z z G z E z U z D Φ-Φ=
=。

如果能事先设定系统的闭环响应)(z Φ，则可得到控制器D(z)。

大林之处，通常的期望闭环响应是一阶惯性加纯延迟形式，其延迟时间等于对象的纯延迟时
间τ：
1)()()(+=
=Φ-s T e s R s C s s
ττ式中，τT 为闭环系统的时间常数，由此得到的控制率称为大林控制算法。

Ex15 设被控对象为
14.0)(76.0+=
-s e s G s
p ，采样时间为0.5s 。

期望的闭环响应设计为：
115.0)()()(76.0+=
=Φ-s e s R s C s s
仿真程序：ex15.m 。

M=1时为采用大林控制算法，M=2时为采用普通PID 算
法。

%Delay Control with Dalin Algorithm
clear all;
close all;
ts=0.5;
%Plant
sys1=tf([1],[0.4,1],'inputdelay',0.76);
dsys1=c2d(sys1,ts,'zoh');
[num1,den1]=tfdata(dsys1,'v');
%Ideal closed loop
sys2=tf([1],[0.15,1],'inputdelay',0.76);
dsys2=c2d(sys2,ts,'zoh');
%Design Dalin controller
dsys=dsys2/(dsys1*(1-dsys2));
[num,den]=tfdata(dsys,'v');
u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;u_4=0.0;u_5=0.0;
y_1=0.0;
error_1=0.0;error_2=0.0;error_3=0.0;
ei=0;
%选择是否使用大林算法，M=1使用，M=2不使用
disp('M=1¡ªUsing Dalin Method ,M=2-- Using common PID Controler') M=input('whether or not use Dalin Method:');
for k=1:1:50
time(k)=k*ts;
rin(k)=1.0; %Tracing Step Signal
yout(k)=-den1(2)*y_1+num1(2)*u_2+num1(3)*u_3;
error(k)=rin(k)-yout(k);
if M==1 %Using Dalin Method
u(k)=(num(1)*error(k)+num(2)*error_1+num(3)*error_2+num(4)*error_
3
-den(3)*u_1-den(4)*u_2-den(5)*u_3-den(6)*u_4-den(7)*u_5)/den(2);
elseif M==2 %Using PID Method
ei=ei+error(k)*ts;
u(k)=1.0*error(k)+0.10*(error(k)-error_1)/ts+0.50*ei;
end
%----------Return of dalin parameters------------
u_5=u_4;u_4=u_3;u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_1=yout(k);
error_3=error_2;error_2=error_1;error_1=error(k);
end
plot(time,rin,'b',time,yout,'r');
xlabel('time(s)');ylabel('rin,yout');
其程序运行结果如表2所示。

分析：大林控制算法，该算法的最大特点是，将期望的闭环响应设计成一阶惯性加延迟，然后反过来得到能满足这种闭环响应的控制器。

大林算法很好的抑制了振铃现象。

用大林算法设计的数字控制器系统输出超调量小甚至没有，并且允许有交长时间的调整时间。

表2 大林算法与普通PID算法比较
第五章
PID控制算法控制算法是微机化控制软件系统的一个重要组成部分，整个系统的控制功能主要由控制算法来实现
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