【教学设计】 余弦、正切函数

28.1.2余弦、正切函数
【知识与技能】
1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；
2.能运用余弦、正切的定义解决问题.
【过程与方法】
逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.
【情感态度】
在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快乐.
【教学重点】
掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.
【教学难点】
灵活运用三角函数的有关定义进行计算.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？
【教学说明】这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回顾，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取正确认知.
二、思考探究，获取新知
问题如图，在△和△A B C
''',
中，∠∠C'=90°∠A =∠A'.
求证：（1）AC
AB=
A C
A B
''
''；（2）
BC
AC=
B C
A C
''
''
【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出
结论.教师在学生探讨过程中，提出问题∠A 确定后，∠A 的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳. 余弦：在△中，∠90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠
A 的余弦，记作 ，即 =
A b c ∠的对边＝斜边 正切：在中，∠90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠
A 的正切，记作， =
A a A b ∠的对边＝∠的邻边. 锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.
三、典例精析，掌握新知
例1 在△中，∠C = 900， 6， = 3
5 ， 求 ，的 值.
分析与解 由正弦函数定义及 = 35知， = BC AB = 3
5，又
= 6，故 = 10，所以 = 22AB BC = 8，从而 = AC AB = 810 = 4
5，
= 8463AC BC ＝＝.
【教学说明】本题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关
注学生解题时是否能紧扣定义，即 = BC AB ， = AC AB ， = AC
BC 的运用是否得当，有没有出现混淆情形.
例2 在△中， = = 20， = 30，试求 ， 的值.
【分析】 由于∠B 和∠C 都不是直角三角形中的锐角，而题意
却要求出，的值， 这样迫使我们要将∠B ，∠C 放到直角三角形中去，这时，过A 作丄于D 可达到这一目的，问题可逐步解决.
解 过A 作丄于D.Q = ，∴ = = 12 =12⨯30 = 15.又 = = 20，∴ = 57，因此 = BC AC = 57715
3＝， = AD 577AC 204＝＝.
四、运用新知，深化理解
1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
2.如图，在△中，∠90°，8，，求的值.
3.在△中，∠90°，
（1）求和的值;
（2）若5，求和的长.
4.在△中，∠90°，，.
（1）与的关系如何？为什么？
（2）2A 与2A 的关系如何？说说你的理由（2()2).
（3）找出与的关系； （4）由（1），（2），（3），你能发现什么有趣的结论？
【教学说明】 让学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分析能力和解决问题能力得到进一步发展.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
【答案】 1.（1） =
5
13， =
12
13 =
12
13 =
5
13 =
5
12
= 12 5.
(2) =
3313
13
13
＝
, =
2213
13
13
＝
, =
2213
13
13
＝
, =
3313
13
13
＝
,
=
3
2 =
2
3.
2.解：Q =
BC
AC =
3
4， = 8. ∴ = 6，在△中， = 22
AC BC
+
= 10.
∴ =
63
105
＝
， =
84
63
＝
.
3.解：（1）由于 =
BC1
AB3
＝
，设 = x,则 = 3x.
∴ = 22
AB BC
- = 22
(3x)2x
x
-＝2.
∴ =
AC
AB =
22
3 =
BC
AC =
2
4.
(2) 若 = 5，即3x = 5,
∴x =
5
3∴ =
5
3 =
102
3.
4.解：（1） = (2)2A + 2A = 1 (3)· = 1 (4)略
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流.
【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
1.布置作业：从教材P
68～70
习题28.1中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题，让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，掌握高效的学习方法.。