3.1 不等式的基本性质(课件)高一数学(苏教版2019必修一)

不能
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0，∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d ?
则 2≤μ≤4,1≤v≤2.
=
+ = ,
由
解得
- = ,
=
则
+
,
2
-
.
2
+ -
4a-2b=4· 2 -2·2 =2μ+2v-μ+v=μ+3v.
而 2≤μ≤4,3≤3v≤6,则 5≤μ+3v≤10.
故 5≤4a-2b≤10.
归纳总结
防范措施
1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
综上所述，结论为：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
提示:以上错解中忽视了配方法的应用,事实上,本题中 a2+b2-ab
可继续化为
2
2
3 2
+ b.
4
2

3 2
2
2
2
2
正解:因为 A-B=a +3ab-4ab+b =a +b -ab= + b ≥0,
2
4
所以 A≥B.
归纳总结
防范措施
1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因
质进行运算,求得待求的取值范围.
2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解
题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围,所以我们选用不等式
的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法.
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？
定
号
判断差与0的大小
结
论
利用实数a，b大小比较的基本事实
错因分析
易错警示
忽视因式可能为0
1.若a＞b，则ac 2 ________bc 2 .
错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2
＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．
以上性质是求解和证明不等式的基础.
课本例题
例1
求解不等式
解：不等式
10
90－ t≥80
3
，并用不等式的性质说明理由.
10
90－ t≥80两边同乘以3，得
3
270－10t≥240.
(不等式性质4)
两边同加上－270，得
－10t≥240－270.
即
(不等式性质 3)
－10t≥－30.
1
两边同乘以－ ，得
所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0.
故 a＋c ＞ b＋c.
本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方
向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一
边，即
a ＋ b ＞ c ⇔ a ＞ c － b.
性质4
证明
若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc.
证明
因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0.
由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，
即
因此
a－c＞0.
a＞c.
性质3
若 a＞b，则 a＋c＞b＋c.
分析 要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，即 a－b ＞ 0.
证明
因为a ＞ b，所以 a－b＞0.
又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b，
例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3.
满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd，
当 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到 ac＞bd.
故只有 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到ac＞bd.
பைடு நூலகம்
课本练习
3. 比较两数 (x＋1)(x2－x＋1)与(x－1)(x2＋x＋1)的大小.
解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1，
由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c.
又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d.
于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d.
本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式
和原不等式同向.
性质6
若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd.
证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc.
所以 a－c＞b－d.
证法2 因为c＜d，所以－c＞－d.
又因为 a＞b，所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d).
即 a－c＞b－d
练一练
2. (1)已知 a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.
b a
(2)已知 a<b<0，求证：a<b.
证明
(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系
上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.
新知探究
1.实数比较大小的基本事实
文字语言
符号表示
当a－b为正数时，称a＞b；
a＞b ⇔ a－b＞0
当a－b为零时，称a＝b；
a＝b ⇔ a－b＝0
当a－b为负数时，称a＜b.
>
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a____c.
性质3 如果a>b，那么a＋c____b＋c.
>
>
性质4 如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc.
<
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d.
>
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd.
a＜b ⇔ a－b＜0.
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
(1) 若a＝b且 b＝c，则 a＝c；
(2) 若a＝b，则 a±c＝b±c；
(3) 若a＝b，则


ac＝bc， ＝


● 不等式有哪些基本性质呢?
(c≠0).
新知探究
2.不等式的性质
性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>b⇔b<a.
变.
5
5
5
5
不等式两边都除以－ ，不等号的方向改变，得 － x ÷(－ ) ≤ －7÷(－ ) ；
14
x≤ .
5
∴ 不等式的解为{ x∣x
2
14
≤ }.
5
2
2
2
课本例题
例2
已知 a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证法1 由a＞b，得 a－b＞0；
由c＜d，得 d－c＞0.
因为(a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0，
作差
变形
=2
∵2＞0，
0是相等与不等的分
界线，它也为比较实
数的大小提供了标杆.
定号
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
定论
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).
这是解决不等式问题的常用方法.
概念归纳
作差法比较两个实数大小的基本步骤
作
差
a-b
变
形
采用配方、因式分解、通分、有理化等手段
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种. 那
“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
么，对于任意两个实数 a，b，它们的差 a－b 也只可能为正数、零和负数中的一种.
连接起来的式子
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与
苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.1 不等式的基本性质
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
分层练习
课堂小结
学习目标
1.掌握不等式的基本性质.
2.运用不等式的性质解决有关问题.
3.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提
升数学抽象及数学运算素养.
情景导入
2
3
②+①×(-1),得 0≤2b≤3,0≤b≤2.④
③×4+④×(-2),得 3≤4a-2b≤12.
这个方法错在哪里？
归纳总结
提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的.
那到底是为什么呢?
我们先看不等式4a-2b ≥3什么时候取等号,
3
由上述解题过程可知,当 a= ,且
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2，
满足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d，
故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
不能
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd ?
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd.
式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的
式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形.
2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养.
错因分析
错用不等式的性质
1.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解:1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
①+②,得
3
3≤2a≤6, ≤a≤3.③
＝a2.
当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1；
当a≠0时，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1.
练一练
3.比较 + 2 + 3 和 + 1 + 4 的大小.
【解】运用作差法：
+2 +3 − +1 +4
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
2
3
b=2时 ,才取等号,而此时a-b=0,不满足①式,
因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12.
出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这
一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的.
错因分析
正解:令 a+b=μ,a-b=v,
ac－bc＝(a － b)c.
因为 a＞b，所以 a－b＞0.
因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；
当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc.
本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.
性质5
证明
若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d.
>
性质1 若 a ＞ b，则 b ＜ a.
分析 要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0.
证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0.
又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，
即
b－a＜0.
所以
b＜a.
性质2 若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c.
分析
要证 a＞c，只要证 a－ c＞0.
因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd.
由性质 2，得 ac＞bd.
特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2.
以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论：
若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*).
本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式
和原不等式同向。
性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论.
要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同
乘(除以)一个常数;
一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的;
一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到
的等等.
课本例题
例3
比较两数(a2＋1)2与 a4＋a2＋1的大小.
解： 因为 (a2＋1)2－ (a4＋a2＋1)
＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1
又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.
2
2
b
－a
（b＋a）（b－a）
b a
(2)a－b＝ ab ＝
，
ab
∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
（b＋a）（b－a）
b a
∴
<0，故
<
.
ab
a b
概念归纳
用不等式的性质进行证明时，要善于寻找欲证不等式与
已知条件的关系,利用相应的不等式性质证明;
正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.
错因分析
因忽视配方法在判断符号中的应用致错
2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( B )
A.A≤B B.A≥B
C.A>B D.大小关系不确定
错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定.
10
t≤3.
(不式性质4)
课本练习
2. 解不等式
5
10－ x
2
≥ 3，并用不等式的性质说明理由.
根据不等式的性质1：不等式的两边同时加上 (或减去) 同一个数(或式子) ，不等
号的方向不变.
5
不等式两边都减10，不等号的方向不变，得 10－ x －10 ≥3 －10；
2
5
2
－ x≥ －7；
根据不等式的性质3：不等式的两边同时乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改