全国版2021版高考数学一轮温习第8章平面解析几何第5讲椭圆学案202105092275

第5讲椭圆
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的核心，两核心间的距离叫做焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
考点2 椭圆的标准方程和几何性质
[必会结论]
椭圆的常常利用性质
(1)设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(
a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P
点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个核心、中心和短轴的一个端点组成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过核心F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的核心且垂直于长轴的弦之长为2b 2
a
.
(5)椭圆离心率e ＝
1－b 2
a
2. [考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)椭圆上一点P 与两核心F 1，F 2组成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )
(5)方程mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．[2021·浙江高考]椭圆x 29＋y 2
4＝1的离心率是( )
A.
133 B.53 C.23 D.59
答案 B
解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 2
4＝1，
∴a ＝3，c ＝a 2
－b 2
＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝
5
3
.故选B. 3．[2021·广东模拟]已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左核心为F 1(－4,0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 答案 B
解析 由4＝25－m 2
(m >0)⇒m ＝3，故选B.
4．[讲义改编]已知中心在原点的椭圆C 的右核心为F (1,0)，离心率等于1
3，则椭圆C
的方程是( )
A.x 24＋y 23＝1
B.x 24＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
2＝1 D.x 29＋y 2
8
＝1 答案 D
解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，c a ＝13，c 2
＝a 2
－b 2
，
解得a 2＝9，b 2
＝8.
故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
8
＝1.
5．椭圆x 2
＋my 2
＝1的核心在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________. 答案 14
解析 椭圆x 2
＋my 2
＝1可化为x 2
＋y 21
m
＝1，
因为其核心在y 轴上，所以a 2
＝1m
，b 2＝1，
依题意知
1
m ＝2，解得m ＝1
4
. 6．[2021·上海联考]若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a
＝________.
答案 4或8
解析 ①当核心在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22
，解得a ＝4；②当核心在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22
，解得a ＝8.
板块二 典例探讨·考向冲破 考向
椭圆的概念及标准方程
例1 (1)[2021·杭州模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、
右核心为F 1，F 2，离心率为3
3
，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 2
3＋y 2
＝1 C.
x 2
12＋y 28
＝1 D.
x 212＋y 2
4
＝1 答案 A
解析 由题意及椭圆的概念知4a ＝43，则a ＝3，又c a
＝c
3
＝
33
，∴c ＝1，∴b 2
＝2，∴C 的方程为x 23＋y 2
2
＝1，选A.
(2)设F 1，F 2别离是椭圆x 225＋y 2
16
＝1的左、右核心，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，
|OM |＝3，则P 点到椭圆左核心的距离为________．
答案 4
解析 连接PF 2，则OM 为△PF 1F 2的中位线， |OM |＝3，∴|PF 2|＝6.
∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 触类旁通
(1)在利用椭圆概念解题的时候，一方面要注意到常数2a >|F 1F 2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个核心所组成的“核心三角形”中的数量关系．
(2)待定系数法求椭圆方程，若核心位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若核心位置不明确，则需要分核心在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2
＋By 2
＝1(A >0，B >0，A ≠B )．
【变式训练1】 (1)[2021·厦门模拟]已知椭圆x 2
4＋y 2
＝1，F 1，F 2为其两核心，P 为椭
圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为( )
A ．6
B ．4
C ．2
D ．8 答案 B
解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22＝4(当且仅
当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B.
(2)已知椭圆C 的中心在原点，一个核心F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________．
答案
x 216＋y 2
12
＝1 解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
由题意知⎩⎨⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
a ∶
b ＝2∶
3，
c ＝2，
解得a 2＝16，b 2
＝12.
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(3)[2021·豫北六校联考]设F 1，F 2别离是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右核心，过
点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.
答案 5
解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3. ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.
考向 椭圆的几何性质
例2 (1)[2021·全国卷Ⅲ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右极点别离为A 1，A 2，
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.
63 B.33 C.23 D.13
答案 A
解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝
2ab
a 2＋b
2
＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13
，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2
＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫132
＝63.故选A. (2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
答案 35
解析 由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2
＝a 2
－b 2
，消去b ，整理得5c 2
＝3a 2－2ac ，即5e 2
＋2e －3＝0，解得e ＝35
或e ＝－1(舍去)．
触类旁通
椭圆离心率的求解方式
求椭圆的离心率，常见的有三种方式：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【变式训练2】 (1)[2021·全国卷Ⅰ]直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34 答案 B
解析 不妨设直线l 过椭圆的上极点(0，b )和左核心(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l
的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14
×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2
，所以c 2a 2＝
14，即e 2
＝14，所以e ＝12(e ＝－12
舍去)，故选B.
(2)[2021·锦州模拟]设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右核心别离为F 1，F 2，P 是C
上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
答案
33
解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3
3
.
考向
椭圆中的核心三角形
例3 [2021·漳浦县校级月考]椭圆x 2
4＋y 2
＝1上的一点P 与两核心F 1，F 2所组成的三角
形称为核心三角形．
(1)求PF 1→
·PF 2→
的最大值与最小值；
(2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ
2.
解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
则PF 1→
·PF 2→
＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2
－3＝34x 2－2.
∵x 2
∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]．
∴PF 1→
·PF 2→
的最大值为1，最小值为－2.
(2)证明：由椭圆的概念可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，
可得4c 2
＝4a 2
－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b
2
1＋cos θ
，
即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2sin θ1＋cos θ＝b 2
tan θ2＝tan θ2.
触类旁通
椭圆的核心三角形：椭圆上的一点与两核心所组成的三角形称为核心三角形．解决核心三角形问题常利用椭圆的概念和正弦定理、余弦定理．
以椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)为极点的△
PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则
(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；
(2)4c 2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|·cos θ；
(3)S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，
S △PF 1F 2取最大值，为bc ；
(4)核心三角形的周长为2(a ＋c )； (5)当P 为短轴端点时，θ最大；
(6)若核心三角形的内切圆圆心为I ，延长PI 交F 1F 2于点Q ，则|PI ||IQ |＝|PF 1||F 1Q |＝|PF 2|
|F 2Q |，所
以|PI ||IQ |＝|PF 1|＋|PF 2||F 1Q |＋|F 2Q |＝2a 2c ＝1e
(e 为离心率)． 【变式训练3】 (1)如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个核心，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．
答案 内切
解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，F 、F ′别离是椭圆的左、右核心，
作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2
＋y 2
＝a 2
，如图所示．
设PF 中点为M ，连接PF ′，
∴OM 是△PFF ′的中位线，可得|OM |＝12|PF ′|，即两圆的圆心距为1
2|PF ′|
按照椭圆概念，可得|PF |＋|PF ′|＝2a ，
∴圆心距|OM |＝12|PF ′|＝12(2a －|PF |)＝a －1
2|PF |，
即两圆的圆心距等于它们的半径之差，
因此，以PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆x 2
＋y 2
＝a 2
相内切．
(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个核心，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→
⊥
PF 2→
.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
答案 3
解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→
⊥PF 2→
，
所以|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2
－2|PF 1||PF 2|＝4c 2
， 所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2
－4c 2
＝4b 2
， 所以|PF 1||PF 2|＝2b 2，
所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2
＝9.
所以b ＝3.
考向
直线与椭圆的综合问题
命题角度1 弦的中点问题
例4 [2021·南昌模拟]已知椭圆：y 2
9＋x 2
＝1，过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B
两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )
A ．9x －y －4＝0
B ．9x ＋y －5＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋y －5＝0
答案 B
解析 设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，因为A ，B 在椭圆y
2
9＋x 2
＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧
y 21
9＋x 2
1
＝1，y
22
9＋x 22
＝1，
两式相减得
y 21－y 2
2
9
＋x 21－x 2
2＝0，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得
y 1－y 2
9
＋x 1－x 2＝0，得
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即9x ＋y －5＝0. 命题角度2 弦长问题
例5 [2021·陕西咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
过点P (2,1)，且离心率e ＝
32
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 的斜率为1
2
，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．
解 (1)∵e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34
，∴a 2＝4b 2
.
又椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，
∴4a 2＋1b
2＝1，∴a 2＝8，b 2
＝2.
故所求椭圆方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设l 的方程为y ＝1
2
x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2
x ＋m ，
x 2
8＋y 22＝1，
整理，得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0.
∵Δ＝4m 2
－8m 2
＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－4. 则|AB |＝
1＋14
× (x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝5(4－m 2
).
点P 到直线l 的距离d ＝
|m |1＋14
＝2|m |
5
.
∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2
)≤m 2＋4－m 2
2＝2.
当且仅当m 2
＝2，即m ＝±2时取得最大值． 触类旁通
直线与椭圆综合问题的处置方式
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系成立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
核心规律
1.椭圆中的参数a ，b ，c 三者的关系为a 2
－b 2
＝c 2
，这是椭圆中参数关系的核心． 2.求离心率常常利用两种方式：
(1)求得a ，c 的值，代入公式e ＝c
a
即可；
(2)列出a ，b ，c 的方程或不等式，按照b 2
＝a 2
－c 2
将b 消掉，转化为含有a 和c 的关系，最后转化为关于e 的方程或不等式．
满分策略
1.判断椭圆的两种标准方程的方式为比较标准方程形式中x 2
和y 2
的分母大小． 2.关于离心率的范围问题，必然不要忘记椭圆离心率的固有范围0<e <1.
3.注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，
这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有效，也是容易被忽略而致使求最值错误的原因.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列 14——椭圆离心率范围的求解技能
[2021·衡中模拟]F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右核心，若椭圆上存在点P ，使
∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解题视点 将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x |≤a 破解．
解析 解法一：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20
b
2＝1.
PF 1→
＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，
若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→
·PF 2→
＝x 2
0＋y 2
0－c 2
＝0.
∴x 2
＋b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
0a 2＝c 2，∴x 2
0＝a 2
(c 2
－b 2
)c 2.
∵0≤x 20
≤a 2
，∴0≤c 2－b 2
c
2≤1.
∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2
，∴
2
2
≤e <1. 解法二：如图，由题意，∠F 1PF 2≥90°，∠OPF 2≥45°，
sin ∠OPF 2＝c a ≥22
， ∴
2
2
≤e <1. 答案
2
2
≤e <1 答题启迪 成立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，而且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方式.
跟踪训练
已知过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的核心F 1，F 2的两条彼此垂直的直线的交点在椭圆内部(不
包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，
22 C.⎝
⎛⎭⎪⎫
22，1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，22 答案 B
解析 设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的短轴的一个端点为B ，中心为O ，椭圆上任意一点为M ，过核
心F 1，F 2的两条彼此垂直的直线的交点为P ，则点P 在以O 为圆心，|F 1F 2|为直径的圆上，且该圆的半径r ＝|OP |＝12|F 1F 2|＝c (其中c ＝a 2－b 2
)，则由椭圆的性质及题意可得r <b ，
即c <b ，所以c 2
<b 2
＝a 2
－c 2
，所以2c 2
<a 2
，得2c <a ，所以e ＝c a <12＝2
2
，故所求椭圆的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，
22.
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．[2021·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
5＝1的两个核心，点P 在椭圆上，若线
段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|
|PF 1|
的值为( )
A.
514 B.513 C.49 D.59
答案 B
解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，
∴|PF 2|＝b 2a ＝5
3
.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，
∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝5
13
.故选B.
2．已知中心在原点的椭圆C 的右核心为F (1,0)，离心率等于1
2，则C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
2＝1 D.x 24＋y 2
3
＝1 答案 D
解析 依题意，所求椭圆的核心位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12
⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝3，
因此椭圆C 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”的( )
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又没必要要条件
答案 B
解析 要使方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆，只须知足
⎩⎪⎨⎪
⎧
5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，
解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程
x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝
1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的一个核心是圆x 2＋y 2
－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，
则椭圆的左极点为( )
A ．(－3,0)
B ．(－4,0)
C ．(－10,0)
D ．(－5,0)
答案 D
解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2
＝1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝
b 2＋
c 2＝5.∵椭圆的核心在x 轴上，∴椭圆的左极点为(－5,0)．故选D.
5．[2021·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个核心作垂直于x 轴的直线
与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个极点，则椭圆的离心率为( )
A.
5＋14 B.5－12 C.3－12 D.3＋1
4
答案 B
解析 ∵过椭圆的两个核心作垂直于x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好
为正方形的四个极点，∴c ＝b 2a ，即ac ＝a 2－c 2，∴e 2
＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12
，
故选B.
6．[2021·惠来月考]以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为核心且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.
x 220＋y 2
19
＝1
B.x 29＋y 28＝1
C.x 25＋y 2
4＝1 D.x 23＋y 2
2
＝1 答案 C
解析 解法一：由题意知，c ＝1，a 2
－b 2
＝1，故可设椭圆的方程为x 2
b 2＋1＋y 2
b
2＝1，
离心率的平方为：
1
b 2
＋1
①， ∵直线x －y ＋3＝0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得(2b 2
＋1)x 2
＋6(b 2
＋1)x ＋8b 2
＋9－b 4
＝0，
由Δ＝36(b 4
＋2b 2
＋1)－4(2b 2
＋1)(8b 2
＋9－b 4
)≥0， ∴b 4
－3b 2
－4≥0，∴b 2
≥4，或b 2
≤－1(舍去)， ∴b 2的最小值为4，
∴①的最大值为15，此时，a 2＝b 2
＋1＝5，
∴离心率最大的椭圆方程是：x 25＋y 2
4
＝1.故选C.
解法二：令直线x －y ＋3＝0与椭圆的一个交点为P ，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|，
∵e ＝2c 2a ＝2
2a ，∴当|PF 1|＋|PF 2|最小时e 最大，F 1，F 2在直线x －y ＋3＝0的同侧，F 1
关于x －y ＋3＝0的对称点F 1′(－3,2)，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1′|＋|PF 2|≥|F 1′F 2|＝25，即2a ≥25，a ≥5，当a ＝5时e 最大，此时b 2
＝a 2
－c 2
＝4，所求椭圆方程为x 25＋y 2
4＝1.
故选C.
7．[2021·深圳检测]若x 2
＋ky 2
＝2表示核心在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 将椭圆的方程化为标准形式得y 22k
＋x 22
＝1，因为x 2＋ky 2
＝2表示核心在y 轴上的椭
圆，所以2
k
>2，解得0<k <1.
8．[2021·江西模拟]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y
2
b 2＝1(a >b >0)相交
于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
答案
2
2
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)别离代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
b
2
＝0，按照题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且
y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝0，得a 2
＝2b 2
，所以a 2
＝2(a 2
－c 2
)，整理得a 2
＝2c 2
，得c a
＝
22，所以e ＝2
2
. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝3
2
，其左、右核心别离为F 1，F 2，|F 1F 2|
＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点别离与坐标原点的连线的斜率之积为－1
4
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 2
1＋x 2
2为定值，并求该定值． 解 (1)∵c ＝3，e ＝
32
，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝1， 则椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明：由于y 1x 1·y 2x 2＝－14
，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 21x 22＝16y 21y 2
2.
而x 21
4＋y 2
1
＝1，x 22
4＋y 2
2
＝1，则1－x 21
4＝y 2
1
，1－x 22
4
＝y 2
2，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
24＝y 21y 22，则(4－x 21)(4－x 22)＝16y 21y 2
2， (4－x 2
1)(4－x 2
2)＝x 21x 2
2，展开得x 2
1＋x 2
2＝4为必然值．
10．[2021·山东模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个核心和短轴的两个端点都
在圆x 2
＋y 2
＝1上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为k 的直线过点M (2,0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探讨k 为何值时，
OA ⊥OB .
解 (1)依题意b ＝1，c ＝1，所以a 2
＝2. 所以椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，x 22
＋y 2
＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2
－2＝0.
所以x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－21＋2k 2.
因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2
(x 1－2)(x 2－2)， 所以x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝0， 即(1＋k 2
)x 1x 2－2k 2
(x 1＋x 2)＋4k 2
＝0， 所以(1＋k 2
)(8k 2
－2)1＋2k 2－16k 4
1＋2k 2＋4k 2
＝0，
解得k 2
＝15，此时Δ>0，所以k ＝±55
.
[B 级 知能提升]
1．[2021·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，则实数k 的取值
范围是( )
A ．(0,3) B.⎝
⎛⎭⎪⎫3，163
C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭
⎪
⎫163，＋∞
D ．(0,2)
答案 C
解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4
k <1，
解得k >16
3
；
当0<k <4时，c ＝4－k ，
由条件知14<4－k
4
<1，解得0<k <3，故选C.
2．[2021·重庆模拟]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 2
8
＝1的左、右核心，点E 是椭圆C 上
的动点，EF 1→
·EF 2→
的最大值、最小值别离为( )
A ．9,7
B ．8,7
C ．9,8
D ．17,8 答案 B
解析 由题意可知椭圆的左右核心坐标为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )，则EF 1→
＝(－
1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，EF 1→·EF 2→
＝x 2－1＋y 2＝x 2
－1＋8－89x 2＝19
x 2＋7(－3≤x ≤3)，
所以当x ＝0时，EF 1→
·EF 2→
有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→
·EF 2→
有最大值8，故选B.
3.[2021·鼓楼期末]由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2
b 2＝1(x ≤0)合成的曲线称
作“果圆”，如图所示，其中a 2
＝b 2
＋c 2
，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(x ≥0)的核心F 0和左
椭圆x 2c 2＋y 2
b 2＝1(x ≤0)的核心F 1，F 2肯定的△F 0F 1F 2叫做果圆的核心三角形，若果圆的核心三
角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 B.⎝
⎛⎭⎪⎫
23，1 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
33，1 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫0，
33 答案 C
解析 连接F 0F 1、F 0F 2，
按照“果圆”关于x 轴对称，可得△F 1F 0F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形， ∵△F 0F 1F 2是锐角三角形，
∴等腰△F 0F 1F 2的顶角为锐角，即∠F 1F 0F 2∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
由此可得|OF 0|>|OF 1|，
∵|OF 0|、|OF 1|别离是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝一、x 2c 2＋y 2
b
2＝1的半焦距，
∴c >b 2
－c 2
，平方得c 2
>b 2
－c 2
，
又∵b 2
＝a 2
－c 2
，∴c 2
>a 2
－2c 2
，解得3c 2
>a 2
， 两边都除以a 2
，得3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2
>1，解之得c a >
3
3
. ∵右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的离心率e ＝c
a
∈(0,1)，
∴所求离心率e 的范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫
33，1.故选C. 4．[2021·北京高考]已知椭圆C 的两个极点别离为A (－2，0)，B (2,0)，核心在x 轴上，离心率为
3
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，c a ＝3
2
，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2
＝1，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝
n
m ＋2
，
故直线DE 的斜率k DE ＝－
m ＋2
n
， 所以直线DE 的方程为y ＝－
m ＋2
n
(x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n
2－m
(x －2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n
2－m (x －2)，
解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)
4－m 2＋n
2.
由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2
，所以y E ＝－45n .
又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2
5
|BD |·|n |，
S △BDN ＝12
|BD |·|n |，
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
5．已知过点A (0,2)的直线l 与椭圆C ：x 2
3＋y 2
＝1交于P ，Q 两点．
(1)若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围；
(2)若以PQ 为直径的圆通过点E (1,0)，求直线l 的方程． 解 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
3＋y 2＝1，y ＝kx ＋2
消去y 得(3k 2＋1)x 2
＋12kx ＋9＝0，
令Δ＝(12k )2
－36(3k 2
＋1)>0， 解得k >1或k <－1，
所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0， 则P (0,1)，Q (0，－1)或P (0，－1)，Q (0,1)， 此时以PQ 为直径的圆过点E (1,0)，知足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，又E (1,0)，
所以EP →
＝(x 1－1，y 1)，EQ →
＝(x 2－1，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－12k 3k 2＋1，x 1x 2＝9
3k 2＋1
，
所以EP →
·EQ →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5
＝9(k 2
＋1)3k 2＋1＋(2k －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12k 3k 2＋1＋5 ＝
12k ＋14
3k 2
＋1. 因为以PQ 为直径的圆过点E (1,0)， 所以EP →
·EQ →
＝0，即12k ＋14
3k 2＋1
＝0，
解得k ＝－7
6，知足Δ>0，
故直线l 的方程为y ＝－7
6
x ＋2，
综上，所求直线l 的方程为x ＝0或y ＝－7
6
x ＋2.。