人教课标版高中数学必修2《直线与方程》章末综合测试A卷

《直线与方程》章末综合测试A 卷
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°
2．若三点A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．－2 C ．－6 D ．2 3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0
4．两条直线l 1：2x ＋y ＋c ＝0，l 2：x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．不能确定
5．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0
6．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0 D ．3x ＋y ＋13＝0
7．直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－1
4
x ＋1的交点在第一象限，则k 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－23，1
B.⎝⎛⎭
⎫－2
3，0 C ．(0,1) D.⎣⎡⎦
⎤－2
3，1 8．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，－16
B.⎝⎛⎭⎫12，－16
C.⎝⎛⎭⎫12，16
D.⎝⎛⎭
⎫－12，16 9．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A ．[－3,5] B ．[－5,3] C ．[3,5] D ．[－5，－3]
10．如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )
A ．210
B ．6
C ．3 3
D ．2 5
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为________．
12．经过两条直线2x －y －3＝0和4x －3y －5＝0的交点，并且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程的一般式为____________．
13．已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图中，正确的是________(填序号)．
14．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．
15．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分8分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0， (1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；
(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．
17． (本小题满分8分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．
18． (本小题满分10分)已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，试求点D 坐标使四边形ABCD 为等腰梯形．
19．(本小题满分12分)直线y ＝－3
3
x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为一
边在第一象限内作等边
△ABC ，如果在第一象限内有一点P ⎝
⎛⎭⎫m ，1
2使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．
20．(本小题满分12分)如图，函数f (x )＝x ＋2
x
的定义域为(0，＋∞)，设点P 是函数图象上
任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .
(1)证明：|PM |·|PN |为定值；
(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．
参考答案：
一、选择题
1.解析：选A.因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A.
2.解析：选C.因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，
∴8－00－(－4)＝8－(－4)－m ， ∴m ＝－6，故选C.
3.解析：选D.由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0.
4.解析：选B.l 1的斜率k 1＝－2，l 2的斜率k 2＝1
2
，∵k 1k 2＝－1，所以两直线垂直．故选B.
5.解析：选D.由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点⎝⎛⎭⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －5
2
，化简得x －y ＋1＝0.故选D. 6.解析：选C.因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.故选C. 7.解析：选A.由方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋3k －2y ＝－1
4x ＋1， 解得⎩⎨⎧
x ＝12(1－k )5，
y ＝3k ＋2
5，
所以直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－1
4x ＋1的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12(1－k )5，3k ＋25.
要使交点在第一象限，则⎩⎨⎧
12(1－k )5>03k ＋2
5>0
，
解得－2
3
<k <1.
所以k 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－2
3，1. 8.解析：选B.采用赋值法．令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1
＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝⎛⎭⎫12
，－1
6，此即为直线所过的定点．故选B. 9.解析：选A.直线l ：x ＋y －c ＝0表示斜率为－1的一组平行直线，所以把点A 、B 代入即可求得在y 轴上的截距的取值范围：代入点A 得c ＝－3，所以直线在y 轴上的截距为－3，同理代入点B 得直线在y 轴上的截距为5. 10.解析：选A.易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A ′(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A ′(－2,0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210. 二、填空题
11.解析：直线的斜率k ＝2m 2－5m ＋2
m 2－4
＝1，
解得m ＝2或m ＝3.
当m ＝2时，m 2－4＝0，直线的斜率不存在， 此时倾斜角为90°. ∴m ＝3. 答案：3
12.解析：解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝04x －3y －5＝0，得交点为(2,1)，由平行知斜率为－2
3，所以直线方程为
y －1＝－2
3
(x －2)，化为一般式为2x ＋3y －7＝0.
答案：2x ＋3y －7＝0
13.解析：将l 1，l 2的方程化为斜截式为l 1：y ＝ax ＋b ；l 2：y ＝bx －a .
∵ab ≠0，a ≠b ，当a >0，b <0时①不正确；当a >0，b >0时，②不正确；当a <0，b <0时，③不正确，④正确． 答案：④
14.解析：∵l 1⊥l 2，∴2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10； 又∵点(1，p )在l 1上，∴10＋4p －2＝0，即p ＝－2； 又∵点(1，p )也在l 2上，∴2－5×(－2)＋n ＝0， 即n ＝－12. ∴m －n ＋p ＝20. 答案：20
15.解析：m 2＋n 2＝((m －0)2＋(n －0)2)2，设P (m ，n )，则|OP |2＝m 2＋n 2，显然|OP |的最小值
即为点O 到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b 2＝2c a 2＋b
2＝2c
c ＝2.∴m 2＋n 2的最
小值为d 2＝4. 答案：4 三、解答题
16.解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.
(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩
⎪⎨⎪⎧
a －3(a －2)＝0，
3a －1≠0，解得a ＝3，
此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，
直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.
故所求距离为d ＝|1－9|9＋9
＝42
3.
17.解：由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1＝0，
y ＝0，解得点A 的坐标为(－1,0)．
又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，
所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①
又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②
解①②组成的方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝－6，
即顶点C 的坐标为(5，－6)．
18.解：设所求D 点坐标为(x ，y )， (1)若AD ∥BC ，|AB |＝|CD |， 则⎩⎨⎧
y ＝3，(0＋1)2＋(3－0)2＝(x －3)2＋y 2.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝3.
(不合题意，舍去) (2)若AB ∥CD ，|BC |＝|AD |，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y －0x －3＝3－00＋1，(－1－3)2＋02＝x 2＋(y －3)2.
解得⎩⎨⎧
x ＝16
5y ＝3
5
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝3.(不合题意，舍去) 综上，得点D 的坐标为(2,3)或⎝⎛⎭⎫
165，35.
19.解：由已知可得直线CP ∥AB ，设CP 的方程为y ＝－33x ＋c (c >1)，则c －11＋1
3
＝AB ×3
2＝3，c ＝3，
由y ＝－33x ＋3过P ⎝⎛⎭⎫m ，12，得12＝－3
3
m ＋3， 所以m ＝53
2
.
20.解：(1)证明：设P ⎝
⎛⎭⎫x 0，x 0＋2
x 0(x 0>0)，
则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02
＝1
x 0，
因此|PM |·|PN |＝1.
(2)直线PM 的方程为y －x 0－2
x 0
＝－(x －x 0)，
即y ＝－x ＋2x 0＋2
x 0
，
解方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2
x 0，
∴x ＝y ＝x 0＋2
2x 0
.连接OP (图略)，
S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋1
2
|PM ||OM | ＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2
x 0＋22x 0⎝⎛⎭
⎫x 0＋12x 0 ＝2＋12⎝⎛⎭
⎫x 20＋1x 20. 令x 20＝t ，则t >0，且
S 四边形OMPN ＝2＋1
2⎝⎛⎭
⎫t ＋1t 在(0,1)上递减， 在(1，＋∞)上递增．
∴t ＝1，即x 0＝1(x 0>0)时，四边形OMPN 的面积取最小值1＋ 2.。