全国重点高中2018-2019学年高三数学 3.1不等式练习 苏教版必修5

3．1 不等关系
1．符号法则：设a ＞0，b ＞0，则
a ＋
b ＞0；a ×b ＞0；a b ＞0. 2．不等式的基本性质：
①a ＞b ⇒a ＋c ＞ b ＋c ；
②a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；
③a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；
④a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc .
x ＞y ⇒2x ＞2y .
x ＞y ⇒－2x ＜－2y ；
⑤a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .
x ＞1，y ＞2⇒x ＋y ＞3；
⑥a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .
x ＞2，y ＞3⇒x ×y ＞6；
⑦a ＞b ＞0，n ∈N *⇒a n ＞b n
； ⑧a ＞b ＞0，n ∈N *，n ＞1⇒n a ＞n b . x ＞y ＞0⇒x 2＞y 2；3x ＞3y .
3．比较实数大小的依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；
a ＝
b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0．
4．作差比较法是比较实数大小的最基本也是很重要的方法．基本步骤是：作差、变形、定正负、得结论．
►基础巩固
一、选择题
1．如下图，在一个面积为200 m 2
的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述不等关系正确的是(C )
A ．a ＞4b
B ．(a ＋4)(b ＋4)＝200
C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b ，（a ＋4）（b ＋4）＝200
D.⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞4b ，4ab ＝200 解析：本题易错选A ，原因是忽略了总面积的限制．
2．(2014·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有(D )
A.a c ＞b d
B.a c ＜b d
C.a d ＞b c
D.a d ＜b c
解析：根据给出的字母的取值范围，取特殊值验证． 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d ＝－1，所以A ，B 错误；a d ＝－32，b c
＝－23，所以a d ＜b c ，所以C 错误．故选D. 3．x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是(B )
A ．x ＞y
B ．x ＜y
C ．x ＝y
D ．不能确定
解析：∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2
－2a ＋4a ＋8＝－7＜0，∴x ＜y .
4．(2013·陕西卷)设[x ]表示不超过x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有(D )
A ．[－x ]＝－[x ]
B ．[2x ]＝2[x ]
C ．[x ＋y ]＝[x ]＋[y ]
D ．[x －y ]≤[x ][y ]
解析：可取特殊值检验排除，如[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，∴A 不正确．再如[2×1.6]
＝3，2[1.6]＝2，∴B 不正确．[1.5＋1.6]＝3，而[1.5]＋[1.6]＝2，∴C 也不正确．故答案D.
5．设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是(D )
A ．b －a ＞0
B ．a 3＋b 3
＜0
C ．a 2－b 2＜0
D ．b ＋a ＞0
解析：利用赋值法筛选，令a ＝1，b ＝0可立即排除A ，B ，C ，故答案为D.
二、填空题
6．某小区的绿化面积B 不小于该小区占地面积A 的16%，写成不等式就是：________． 解析：“不小于”就是“≥”．故B ≥16%·A .
答案：B ≥16%·A
7．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量P 应不少于2.3%，写出不等式组表示上述关系：________．
解析：“不少于”为大于或等于，不要漏掉“＝”．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，P ≥2.3% 8．若a ＞b ，且a ，b 同号，则1a ________1b
(填“＞”或“＜”)． 解析：∵a ，b 同号，∴ab ＞0.将a ＞b 的两边同乘以1ab 得1a ＜1b
. 答案：＜
三、解答题
9．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x 片和70元的盒装磁盘y 盒．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，用不等式表示上述关系．
解析：依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，y ≥2，x ，y ∈N *
. 10．某蔬菜收购点租用车辆，将100 t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8 t ，运费960元，每辆农用车载重2.5 t ，运费360元，据此，安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来．
解析：设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2.5y ≥100，0≤x ≤10，0≤y ≤20，x ∈N *，y ∈N *
.
►能力升级 一、选择题
11．已知x ＞y ＞z ，且x ＋y ＋z ＝2，则下列不等式恒成立的是(C )
A ．xy ＞yz
B ．xz ＞yz
C ．xy ＞xz
D ．x |y |＞z |y |
解析：∵x ＋y ＋z ＝2＞0，∴x 必为正数，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＞z ，x ＞0⇒xy ＞xz . 12．设实数a ，b ，c ，d 满足a ＋d ＝b ＋c ，且|a －d |＜|b －c |，则(C )
A ．ad ＝bc
B ．ad ＜bc
C ．ad ＞bc
D ．ad ≤bc
解析：∵|a －d |＜|b －c |⇔(a －d )2＜(b －c )2⇔(a ＋d )2－4ad ＜(b ＋c )2
－4bc ，又∵a ＋d ＝b ＋c ，∴－4ad ＜－4bc ，即ad ＞bc .
13．若a 2＜b 2，则下列不等式成立的是(C )
A ．a ＜b B.1a 2＞1b 2 C ．|a |＜|b | D ．a 3＜b 3
解析：a 2＜b 2⇔|a |＜|b |. 二、填空题
14．△ABC 的三边长分别为a ，b ，1，则a ，b 满足的不等关系是________．
解析：由三角形两边之和大于第三边得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞1，a ＋1＞b ，b ＋1＞a .
答案：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞1，a ＋1＞b ，b ＋1＞a
15．已知x ＞1，则x 3________x 2
－x ＋1(填“＞”或“＜”)．
解析：x 3－(x 2－x ＋1)＝(x 3－x 2)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)＞0，∴x 3＞x 2－x ＋1.
答案：＞
三、解答题
16．某家具工厂制造桌椅，先由木工成型，再由漆工油漆．木工组做一张桌子要3小时，做一把椅子要2小时；漆工组油漆一张桌子要2小时，油漆一把椅子要1小时．木工组日夜3班，最多工作24小时；漆工组日夜2班，最多工作14小时．如果一张桌子获利30元，一把椅子获利18元，请用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示出来．
解析：设平均每天应生产x 张桌子、y 把椅子，则
⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，
y ≥0，
3
x ＋2y ≤24，2x ＋y ≤14，x ∈N *，y ∈N *.。