全概率公式(第2课时)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
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第二次训练时恰好取到 1 个新球的事件，
则 A0 A1 A2 ，且 A0 , A1, A2 两两互斥，
P(A0 )
C32 C62
1 5
,
P(
A1)
C13C13 C62
3 5
,
P(
A2
)
C32 C62
1 5
P(B |
A0 )
C13C13 C62
3 , P(B | 5
A1)
C12C14 C62
8 , P(B | 15
应概率模型
温故知新 条件概率
（2）求P(AB)：
①概率的乘法公式： P(A) 0时, P(AB) P(A)P(B | A). ②A,B相互独立： P(AB) P(A)P(B). ③ P( AB) n( AB)
n()
全概率公式
（3）全概率公式 设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)＞0，
(1)n1 2n
.
课后作业
1. 教材53页 习题7.1 第5，7题 2. 拓展学习：教材53页 阅读与思考
注意:别忘了作业本上错题的修正.
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 例2.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随 机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1 或0.假设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1； 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 例3.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于 随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收 为1或0.假设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；
发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解 : 记A "发送的信号为0", B "接收的信号为0",
则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1",
由(1)得P(B) 0.475,
(2)由贝叶斯公式得P( A | B) P( AB) P( A)P(B | A)
0.5 0.05 1
P(B)
P(B)
0.475 19
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 练习：某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对 运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第 二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其 出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入
乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是
红球的概率为 .
【解】令事件A 为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件 B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C 为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件 D为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则 P A 4 2 ， PB 3 ， PC 3 ，
2.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是
新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过
一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后
放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球
，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
i 解：用 Ai (i {0,1, 2}表示第一次取到 个新球的事件，用 B 表示
i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝i＝∑n 1P(Ai)P(B|Ai).
全概率公式的运用五步曲 第一步,用符号表示随机事件；
第二步,划分样本空间 第三步,分步计算概率 第四步,由全概率公式求出概率 第五步，作答
巩固——全概率公式的运用 1.甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红
P(Bn1) P(Bn )P(Bn1 | Bn ) P(Bn )P(Bn1 | Bn )
即pn1 即pn1 pn
1 3
pn
0
(1
pn
)
1 2
,
11 1
3
2
(
pn
), 3
1 ( 1 )n1, pn
62
即pn1
1 2
pn
1 2
,
构造法求数列通项公式
1 3
1 6
(
1 )n1 2
1 3
1
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第
一棒的概率．
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能 是第几棒．
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
跑第一棒的概率．
(2)解：P
A1
|
B
P A1B PB
P
A1 P B PB
|
A1
0.3 0.6 0.69
6 23
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲
跑第一棒的概率为 6 .
23
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
A2 )
C15 C62
1 3
因此 P(B)
P(
A0
)P(B
|
A0
)
P(
A1)P(B
|
A1)
P(
A2
)P(B
|
A2
)
1 5
3 5
3 5
8 15
1 5
1 3
38 75
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 38 .
75
深化对全概率的理解 例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第 2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
0.8
0.7
0.7
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比 赛中甲最可能是第几棒．
(3)解：P
A2
|
B
P A2B PB
0.2 0.8 0.69
16 69
P
A3
|
B
P A3B PB
0.2 0.7 0.69
14 69
P
A4
|
B
P A4B PB
0.3 0.7 0.69
21 69
所以 P A4 | B P A1 | B P A2 | B P A3 | B源自|B)3 7
.
新知探究：贝叶斯公式 思考：你能仿照全概率公式的一般化，你能否将例2中的问题(2) 一般化形式吗？请你尝试做一做.
将例1中的问题(2)一般化，
可以得到贝叶斯公式.
思考：例1中，P(A1)和P(A1|B)的实际意义是什么？ P(A1)是试验之前就已知的，它是第1台机床加工的零件所占的 比例，称为先验概率. P(A1|B)是已知抽到的零件是次品，这件次品来自第1台机床的 可能性，称为后验概率. 如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,
任取一个零件,计算它是次品的概率为0.0525 第5步，作答
深化对全概率的理解
例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第 2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
所以甲最可能是第四棒．
备选例题
拓展创新训练：
例1：甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传 出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人 中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率.
析 : 设n次传球后球在乙手中的概率为pn ,
n
1时,
p1
1 2
,
记Bn "n次传球后球在乙手中", 则Bn1 BnBn1 BnBn1
分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便
于求解,我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。
发送
接收0(B)
0(A)
例2.在数字通信中，信号是由
数字0和1组成的序列.由于随机 发送 因素的干扰，发送的信号0或1 0(A)
有可能被错误地接收为1或0.假 设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1 的概率分别为0.9和0.1； 发送 信号1时，接收为1和0的概率分 别为0.95和0.05. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
第1步:用符号表示随机事件
第2步:划分样本空间
A3
根据题意得P(A1)=0.25, P(A2)=0.3,
P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06,
P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
第3步,分步计算概率
(1)由全概率公式,得
A1 A3B A1B
A2B
A2
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 第4步,由全概率公式求出概率
解 : 记Ai "取到第i台加工的零件"(i 1,2,3),
记B "取到的零件为次品", 由(1)得P(B) 0.0525 ,
则P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1) P(B)
0.25 0.06 2 , 0.0525 7
同理可得P( A2
|
B)
2 7
,
P( A3
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
解：（1）记“甲跑第一棒”为事件 A1，“甲跑第二棒”为事件 A2 ，
“甲跑第三棒”为事件 A3 ，“甲跑第四棒”为事件 A4 ，“运动队
获胜”为事件 B，则
PB P A1 PB | A1 P A2 PB | A2 P A3 PB | A3 P A4 PB | A4
接收0(B)
解 : 记A "发送的信号为0", B "接收的信号为0",
则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1",
(1) B AB AB , 由全概率公式得
P（B） P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)
0.50.9 0.50.05 0.475
P(B) 1 P(B) 1 0.475 0.525
10 5
10
10
PD P A P D | A P B P D | B P C P D | C 2 6 3 5 3 5 27
5 11 10 11 10 11 55
故答案为： 27
55
巩固——全概率公式的运用 2.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是 新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过 一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后 放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球 ，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
0.30.6 0.20.8 0.20.7 0.30.7 0.69
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69．
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲
选修三《第七章 随机变量及其分布》
7.1.2 全概率公式
第2课时
课程目标
学科素养
I.进一步巩固理解全概率 1.数学抽象：全概率公式
公式的形式并会利用全概 2.逻辑推理：从特殊到一般的思想
率公式计算概率;
方法
II.了解贝叶斯公式以及公 3.数学运算：运用全概率、贝叶斯
式的简单应用.
公式求事件概率
4.数学建模：将相关问题转化为对
则 A0 A1 A2 ，且 A0 , A1, A2 两两互斥，
P(A0 )
C32 C62
1 5
,
P(
A1)
C13C13 C62
3 5
,
P(
A2
)
C32 C62
1 5
P(B |
A0 )
C13C13 C62
3 , P(B | 5
A1)
C12C14 C62
8 , P(B | 15
应概率模型
温故知新 条件概率
（2）求P(AB)：
①概率的乘法公式： P(A) 0时, P(AB) P(A)P(B | A). ②A,B相互独立： P(AB) P(A)P(B). ③ P( AB) n( AB)
n()
全概率公式
（3）全概率公式 设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)＞0，
(1)n1 2n
.
课后作业
1. 教材53页 习题7.1 第5，7题 2. 拓展学习：教材53页 阅读与思考
注意:别忘了作业本上错题的修正.
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 例2.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随 机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1 或0.假设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1； 发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 例3.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于 随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收 为1或0.假设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；
发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
解 : 记A "发送的信号为0", B "接收的信号为0",
则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1",
由(1)得P(B) 0.475,
(2)由贝叶斯公式得P( A | B) P( AB) P( A)P(B | A)
0.5 0.05 1
P(B)
P(B)
0.475 19
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式 练习：某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对 运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、第 二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其 出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入
乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是
红球的概率为 .
【解】令事件A 为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件 B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C 为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件 D为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则 P A 4 2 ， PB 3 ， PC 3 ，
2.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是
新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过
一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后
放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球
，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
i 解：用 Ai (i {0,1, 2}表示第一次取到 个新球的事件，用 B 表示
i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝i＝∑n 1P(Ai)P(B|Ai).
全概率公式的运用五步曲 第一步,用符号表示随机事件；
第二步,划分样本空间 第三步,分步计算概率 第四步,由全概率公式求出概率 第五步，作答
巩固——全概率公式的运用 1.甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红
P(Bn1) P(Bn )P(Bn1 | Bn ) P(Bn )P(Bn1 | Bn )
即pn1 即pn1 pn
1 3
pn
0
(1
pn
)
1 2
,
11 1
3
2
(
pn
), 3
1 ( 1 )n1, pn
62
即pn1
1 2
pn
1 2
,
构造法求数列通项公式
1 3
1 6
(
1 )n1 2
1 3
1
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第
一棒的概率．
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能 是第几棒．
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
跑第一棒的概率．
(2)解：P
A1
|
B
P A1B PB
P
A1 P B PB
|
A1
0.3 0.6 0.69
6 23
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲
跑第一棒的概率为 6 .
23
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
A2 )
C15 C62
1 3
因此 P(B)
P(
A0
)P(B
|
A0
)
P(
A1)P(B
|
A1)
P(
A2
)P(B
|
A2
)
1 5
3 5
3 5
8 15
1 5
1 3
38 75
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 38 .
75
深化对全概率的理解 例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第 2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
0.8
0.7
0.7
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比 赛中甲最可能是第几棒．
(3)解：P
A2
|
B
P A2B PB
0.2 0.8 0.69
16 69
P
A3
|
B
P A3B PB
0.2 0.7 0.69
14 69
P
A4
|
B
P A4B PB
0.3 0.7 0.69
21 69
所以 P A4 | B P A1 | B P A2 | B P A3 | B源自|B)3 7
.
新知探究：贝叶斯公式 思考：你能仿照全概率公式的一般化，你能否将例2中的问题(2) 一般化形式吗？请你尝试做一做.
将例1中的问题(2)一般化，
可以得到贝叶斯公式.
思考：例1中，P(A1)和P(A1|B)的实际意义是什么？ P(A1)是试验之前就已知的，它是第1台机床加工的零件所占的 比例，称为先验概率. P(A1|B)是已知抽到的零件是次品，这件次品来自第1台机床的 可能性，称为后验概率. 如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,
任取一个零件,计算它是次品的概率为0.0525 第5步，作答
深化对全概率的理解
例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第 2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
所以甲最可能是第四棒．
备选例题
拓展创新训练：
例1：甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传 出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人 中的任何一人，求n次传球后球在乙手中的概率.
析 : 设n次传球后球在乙手中的概率为pn ,
n
1时,
p1
1 2
,
记Bn "n次传球后球在乙手中", 则Bn1 BnBn1 BnBn1
分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便
于求解,我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。
发送
接收0(B)
0(A)
例2.在数字通信中，信号是由
数字0和1组成的序列.由于随机 发送 因素的干扰，发送的信号0或1 0(A)
有可能被错误地接收为1或0.假 设发送信号0和1是等可能的. 已知发送信号0时，接收为0和1 的概率分别为0.9和0.1； 发送 信号1时，接收为1和0的概率分 别为0.95和0.05. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
第1步:用符号表示随机事件
第2步:划分样本空间
A3
根据题意得P(A1)=0.25, P(A2)=0.3,
P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06,
P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
第3步,分步计算概率
(1)由全概率公式,得
A1 A3B A1B
A2B
A2
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 第4步,由全概率公式求出概率
解 : 记Ai "取到第i台加工的零件"(i 1,2,3),
记B "取到的零件为次品", 由(1)得P(B) 0.0525 ,
则P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1) P(B)
0.25 0.06 2 , 0.0525 7
同理可得P( A2
|
B)
2 7
,
P( A3
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
解：（1）记“甲跑第一棒”为事件 A1，“甲跑第二棒”为事件 A2 ，
“甲跑第三棒”为事件 A3 ，“甲跑第四棒”为事件 A4 ，“运动队
获胜”为事件 B，则
PB P A1 PB | A1 P A2 PB | A2 P A3 PB | A3 P A4 PB | A4
接收0(B)
解 : 记A "发送的信号为0", B "接收的信号为0",
则A "发送的信号为1", B "接收的信号为1",
(1) B AB AB , 由全概率公式得
P（B） P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)
0.50.9 0.50.05 0.475
P(B) 1 P(B) 1 0.475 0.525
10 5
10
10
PD P A P D | A P B P D | B P C P D | C 2 6 3 5 3 5 27
5 11 10 11 10 11 55
故答案为： 27
55
巩固——全概率公式的运用 2.某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是 新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过 一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后 放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球 ，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
0.30.6 0.20.8 0.20.7 0.30.7 0.69
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69．
探究应用：巩固全概率公式和贝叶斯公式
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.3
0.2
0.2
0.3
比赛胜率 0.6
0.8
0.7
0.7
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲
选修三《第七章 随机变量及其分布》
7.1.2 全概率公式
第2课时
课程目标
学科素养
I.进一步巩固理解全概率 1.数学抽象：全概率公式
公式的形式并会利用全概 2.逻辑推理：从特殊到一般的思想
率公式计算概率;
方法
II.了解贝叶斯公式以及公 3.数学运算：运用全概率、贝叶斯
式的简单应用.
公式求事件概率
4.数学建模：将相关问题转化为对