2016届高考数学热点难点一网打尽专题11宝刀未老的函数应用性问题(原卷版)

【备战2016年高考高三数学热点、难点一网打尽】
第11讲“宝刀未老”的函数应用性问题
考纲要求:
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．
2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.
基础知识回顾:
1．常见的函数模型及性质
(1)几类函数模型
①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．
④对数函数型模型：y＝mlog a x＋n(a＞0，a≠1)．
⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.
(2)三种函数模型的性质
【注】三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)
在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有a x > x n
(2)对数函数y＝loga x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)
对数函数y＝loga x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有loga x< x n
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在
同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有
a x
> x n
>loga
x
2．解决函数应用问题重点解决以下问题
(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；
(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 应用举例:
类型一、构建二次函数模型
【例1】经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满
足g(t)＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N)．前40天价格为f(t)＝1
4t ＋22(1≤t ≤40，t
∈N)，后60天价格为
f(t)＝－1
2t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．
类型二、构建分段函数模型
【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单
位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，
此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式．
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/
小时)f(x)＝x ·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
类型三、构建“对勾”函数f(x)＝x ＋a
x (a ＞0)模型
【例3】某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的
保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元． (1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价为85%)．问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．
类型四、构建高次函数或复杂的分式结构函数模型
【例4】近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电
设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成
正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，
安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函
数关系是C(x)＝
k
20x ＋100
(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种太阳能供电设备
的费用与该企业15年
共将消耗的电费之和．(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式． (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？
方法、规律归纳:
一个防范:特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
四个步骤:(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
实战演练:
1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e－kt，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．
A．小时 B．小时 C．5小时 D．10小时
3．某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为
f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
(A)600元 (B)900元 (C)1600元 (D)1700元
4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平
方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益 ( )． A．0.016 B．0.032 C．0.024 D．0.048
5．某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再
享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6．如图，在△ABC中，∠C=90°,CA=CB=1,为△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（）
A. B. C. D.
7．要制作一个容积为4，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________（单位：元）．8．宜黄高速公路连接宜昌、武汉、黄石三市，全长约350公里，是湖北省大三角经济主骨架的干线公路之一．若某汽车从进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比（比例系数记为k）．当汽车以最快速度
行驶时，每小时的运输成本为488元．若使汽车的全程
．．运输成本最低，其速度为．11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0．57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0．5元计算．（1）设月用电x度时，应交电费y 元．写出y关于x的函数关系式；
（2）小明家第一季度交纳电费情况如下：
则小明家第一季度共用电多少度？
10．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。

已知AB=3米，AD=2米。

（Ⅰ）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求的取值范围；（Ⅱ）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。