三元变系数欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的正整数解

分以下几种情况讨论。
情况 １ 当 φ（ｙ）φ（ｚ）＝１时，有 φ（ｙ）＝φ（ｚ）
＝１，则有（ｙ，ｚ）＝（１，１），（１，２），（２，１），（２，２）。又
由（１）可得 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）＝７＋
φ（ｘ），再由引理 ３可知，φ（ｘ）＝１，则有 ｘ＝１，２，即
φ（ｘｙｚ）＝８，有 ｘｙｚ＝１５，１６，２０，２４，３０。经计算，方程
５［φ（φｙ（）ｙφ）（φｚ（）ｚ）＋１－］１＋１０＝５＋φ（ｙ）φ１（０ｚ）－１，
即 φ（ｘ）＜５＋φ（ｙ）φ１（０ｚ）－１
（４）
２．１ 当 φ（ｙ）φ（ｚ）＝２时，有 φ（ｙ）＝１，φ（ｚ）＝
２，此时（ｙ，ｚ）＝（１，３），（１，４），（１，６），（２，３），（２，
４），（２，６）；或 φ（ｙ）＝２，φ（ｚ）＝１，此时（ｙ，ｚ）＝（３，
对于任意正整数 ｎ，欧拉函数 φ（ｎ）定义为不大 于 ｎ且与 ｎ互素的正整数的个数。欧拉函数在数论 中有着重要的作用，近年来，有关欧拉函数的性质以 及欧拉方程吸引了很多学者的兴趣。如 Ｇｕｙ讨论 了方程 φ（ｘ＋ｙ）＝φ（ｘ）＋φ（ｙ）的可解性［１］；张四 宝，许霞等研究了方程 φ（ｍｎ）＝３（φ（ｍ）＋φ（ｎ））， φ（ｍｎ）＝４（φ（ｍ）＋φ（ｎ）），φ（ｍｎ）＝１１（φ（ｍ）＋ φ（ｎ））的可解性［２－５］；孙翠芳，王曦等分别讨论了 当 ｍ＝２，４，５，６时，方程 φ（ｘｙｚ）＝ｍ（φ（ｘ）＋φ（ｙ）＋ φ（ｚ））的可解性，并 给 出 了 所 有 正 整 数 解［６－１０］；杨 张 媛研究了系数不同的方程 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ） ＋３φ（ｚ）的可解性，并给出了所有正整数解［１１］。由 此，本文将在之前研究的基础上，讨论三个系数且系 数各不相同的方程 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ） 的可解性，并给出其所有正整数解。
７，３），（３，３，７），（３，３，１４），（４，３，９），（６，３，７），（３，
４，９），（３，６，７）。
证明 由引理 １知
φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘφ）（φ（（ｘｙ，ｚ）ｙｚ（）ｘ），ｙｚ）＝
φ（ｘ）φφ（（（ｙｘ），φｙｚ（）ｚ））φ（（ｘ，ｙｙ，ｚｚ））（）ｙ，ｚ），
由引理 ２可得 φ（ｘｙｚ）≥φ（ｘ）φ（ｙ）φ（ｚ），则有
１），（４，１），（６，１），（３，２），（４，２），（６，２）。又由（４）
式可知 φ（ｘ）＜１５，则 φ（ｘ）＝１，２，４，６，８，１０，１２。
（１）当 φ（ｘ）＝１时，ｘ＝１，２，有 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）
＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）＝１３，由引理 ３可得此式不成立，
方程无解；或 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）＝１０，
曹盼盼，赵西卿
（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 ７１６０００）
摘 要：研究了方程 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）的可解性问题，φ（ｎ）定义为欧拉函数。利用 欧拉函数的性质和初等数论中的整除理论，得到了该方程的所有正整数解。 关键词：欧拉函数；方程；正整数解 中图分类号：Ｏ１５６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０１９）０４－００１５－０６
第 ３８卷 第 ４期 ２０１９年 １２月
延安大学学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１９．０４．０１５
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２０１９
三元变系数欧拉函数方程 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）的正整数解
１，３），（１３，１，４），（１３，１，６），（１３，２，３），（２１，１，４），
（２６，１，３），（２８，１，３），（３，２，１２），（６，１，１２），（３，４，
４），（４，３，４），（４，４，３），（１２，１，９），（７，１，１５），（７，１，
１６），（７，１，２０），（９，１，１６），（９，１，２０），（３，７，４），（４，
有 ｘｙｚ＝１１，２２，经计算，方程无解。综上所述，方程
（１）无正整数解。
（２）当 φ（ｘ）＝２时 ，ｘ＝３，４，６，有 φ（ｘｙｚ）＝
φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）＝１４，由引理 ４得，此式不存
在，方程无解；或 φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）＝
１１，由引理 ３可得此式不成立，方程无解。综上所
２ 定理与证明
定理 欧拉函数方程
φ（ｘｙｚ）＝φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）
（１）
的正整数解如下：
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（５，２，４），（５，２，６），（８，１，４），（８，１，
６），（８，２，３），（１０，１，４），（１０，１，６），（１０，２，３），（１２，
１，４），（９，１，３），（９，１，６），（９，２，３），（１８，１，３），（１３，
无解。
情况 ２ 当 １＜φ（ｙ）φ（ｚ）≤１０，由（２）式可得
φ（ｘ）≤２φφ（（ｙｙ））φ＋（５ｚ）φ（－ｚ１）＜５［φφ（（ｙ）ｙ）φ（＋ｚφ）（－ｚ））≥０，可得
φ（ｙ）＋φ（ｚ）≤φ（ｙ）φ（ｚ）＋１，将其代入（３）式
中，有 φ（ｘ）＜５［φφ（（ｙ）ｙ）φ（＋ｚφ）（－ｚ）１］≤
１ 主要引理
引理 １［１１］ 对任意正整数 ｍ，ｎ，（ｍ，ｎ）＝ｄ，则 φ（ｍｎ）＝ｄφ（φｍ（）ｄφ）（ｎ）。 引理 ２［１１］ 对任意正整数 ｎ，ｎ≥φ（ｎ）。 引理 ３［１１］ 对任意正整数 ｎ，ｎ≥３时，φ（ｎ）必 为偶数。
引理 ４［１１］ 方程 φ（ｎ）＝１４无正整数解；方程 φ（ｎ）＝２６无 正 整 数 解；φ（ｎ）＝３４无 正 整 数 解；φ （ｎ）＝３８无正整数解。
收稿日期：２０１９ １１ ０７ 基金项目：国家自然科学基金（６１８６１０４４） 作者简介：曹盼盼（１９９５—），女，陕西榆林人，延安大学硕士研究生。
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φ（ｘ）＋２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）≥φ（ｘ）φ（ｙ）φ（ｚ），
即 φ（ｘ）［φ（ｙ）φ（ｚ）－１］≤２φ（ｙ）＋５φ（ｚ）（２）
由于 φ（ｙ）φ（ｚ）＞０，则可按 φ（ｙ）φ（ｚ）的取值