2020届百师联盟高三练习题五(全国Ⅰ卷)数学(文)试题(解析版)

2020届百师联盟高三练习题五（全国Ⅰ卷）数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{|13}P x x =<<，集合{|ln(2)}Q x y x ==-，则()
P Q ⋂=R ð（ ）． A ．{|23}x x ≤< B ．{|13}x x <<
C ．{|12}x x <≤
D ．{|12}x x <<
【答案】C
【解析】根据对数真数为正实数化简集合Q 的表示，根据补集的定义、交集的定义进行求解即可. 【详解】
20x ->，得2x >，则{|2}Q x x =>，所以{|2}Q x x =≤R ð，
即()
{|12}P Q x x ⋂=<≤R ð． 故选：C 【点睛】
本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力. 2．在递增等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．
127
2
B ．
212
C ．
632
D ．
638
【答案】A
【解析】根据等比数列的下标性质，通过解方程，结合等比数列的通项公式求出等比数列的公比，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】
{}n a 是等比数列，所以有21544a a a a =⋅=⋅，245a a +=，因为{}n a 是递增等比数列，
解得21a =，44a =，
所以2424a q a ==，得2q =或2q =-（舍），112a =，所以()
717112712
a q S q -==-． 故选：A 【点睛】
本题考查了等比数列的下标，考查了等比数列前n 项和公式，考查了等比数列基本量计
算，考查了数学运算能力.
3．已知函数22,1()21,1
x x f x x x x ⎧≤=⎨+->⎩，则满足不等式()2
1(1)f a f a -≥-的实数a
的取值范围为（ ）． A ．[1,2]-
B ．[2,1]-
C ．(,2][1,)-∞-+∞U
D ．(,1][2,)-∞-+∞U
【答案】B
【解析】先判断函数的单调性，再根据单调性进行求解即可. 【详解】
因为函数()f x 在(,1]-∞和(1,)+∞上均单调递增，且122=，212112+⨯-=，所以
函数()f x 在R 上单调递增，若()
2
1(1)f a f a -≥-，即211a a -≥-，解得
21a -≤≤．
故选：B 【点睛】
本题考查了分段函数的单调性，考查了指数函数和二次函数的单调性，考查了数学运算能力.
4．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且满足(2)1f =，则不等式
2(3)10x f x ++<的解集为（ ）．
A ．(,2)(1,)-∞--+∞U
B ．(1,2)
C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞
D ．(2,1)--
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可. 【详解】
由奇函数图象性质知()f x 的图象在R 上单调递增，(2)(2)1f f -=-=-， 则(
)
2
310f x x ++<，即(
)
2
31(2)f x x f +<-=-，所以232x x +<-，解得
(2,1)x ∈--．
故选：D
本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.
5．已知点F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点，点P 是该双曲线渐近线上一
点，若POF V 是等边三角形（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）．
A B ．2
C ．3
D 【答案】B
【解析】根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、,,a b c 之间的关系进行求解即可. 【详解】
由P 在渐近线上且POF V 是等边三角形，其中一条渐近线的斜率
tan 60b
a
=︒=
所以离心率2e ==． 故选：B 【点睛】
本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力. 6．希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若p 和2p +均是素数，素数对
(,2)p p +称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率
为（ ）． A ．
1
3
B ．
14
C ．
15
D ．
16
【答案】C
【解析】先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】
依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知．从中选取两个共包含15个基本事件，而孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)三对，包含3个基本事件，所以概率为
31155
=．
【点睛】
本题考查了数学阅读能力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.
7．图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为1a ，2a ，3a ，…，15a ，则运行图2的程序框图，输出结果为（ ）．
A ．121
B ．119
C ．10
D ．5
【答案】C
【解析】通过执行程序框图识别框图的功能，再根据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可. 【详解】
由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数．通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10. 故选：C 【点睛】
本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属于中档题.
8．在如图的正方体ABCD A B C D ''''-中，3AB =，点M 是侧面BCC B ''内的动点，满足AM BD '⊥，设AM 与平面BCC B ''所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）．
A．
2
2
B
．2C．
4
3
D．
3
4
【答案】B
【解析】结合正方体的性质，根据线面垂直的判定定理，可以证明出BD'⊥平面ACB'，这样可以根据题意确定M的轨迹，利用线面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】
如图，连结AB'，B C'，AC，易证得BD'⊥平面ACB'，因为AM BD'
⊥所以AM⊂平面ACB'，又因为M∈平面BCC B''，所以M在B C'上移动．如图AB⊥平面BCC B''，所以AMB
θ=∠，在Rt AMB
△中，tan
AB
BM
θ=，当BM最小时，tanθ最大．即当BM B C'
⊥时，BM最小，值为
32
2
，所以max
tan2
32
2
θ==
．
故选：B
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了线面角的最值问题，考查了数学运算能力.
9．已知向量m
r
和向量n
r
满足||2||2
m n
==
r r
，且||||
m n m n
-=+
r r r r
，则向量m
r
与2
m n
-
r r 的夹角为（）．
A．
3
4
π
B．
2
π
C．
3
π
D．
4
π
【答案】D
【解析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为||||
m n m n
-=+
r r r r
，所以有22
()()
m n m n
-=+
r r r r
，
所以化简得：m n ⊥r r
，|2|m n -===r r
(2)cos |||2|2
m m n m m n θ⋅-===⋅-r r r
r r r
，所以θ=4π． 故选：D 【点睛】
本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量模的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算能力. 10．定义运算
a b ad bc c d
=-
，若
sin sin cos cos α
βαβ=
，sin α=，
,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则β=（ ）
． A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
34
π 【答案】B
【解析】
根据题中定义，化简
sin sin cos cos αβαβ=，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式，可以求出sin β的值，最后确定β的值. 【详解】
由题
sin sin sin cos cos sin sin()cos cos α
βαβαβαβαβ=-=-=，因为α，β均为锐角，所以2
2
π
π
αβ-
<-<
，所以cos()αβ-=
．又sin α
，所以
cos 5
α=
， sin sin[()]sin cos()cos sin()
βααβααβααβ=--=--
-5105102⎛⎫=
-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，因为0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以4πβ=． 故选：B 【点睛】
本题考查了两角差的正弦公式的应用，考查了新定义阅读能力，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
11．已知函数223,1
()2,
1x x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，则函数(())y f f x =图象与直线4y =的
交点个数为（ ）． A ．5 B ．6
C ．4
D ．3
【答案】D
【解析】画出函数()y f x =的图象，问题转化为方程(())4f f x =的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类讨论进行求解即可. 【详解】
如图为函数()y f x =的图象，函数(())y f f x =图象与直线4y =的交点个数即为方程(())4f f x =的根的个数，令()t f x =，则()4f t =．即寻找直线y t =与()y f x =图象的交点个数．当1t >时，24t =，得2t =，与()y f x =的图象1个交点；当1t ≤时，2234t t +-=，解得122t =--或1221t =-+>（舍），当122t =--时，
41220-<--<，y t =与()y f x =图象的2个交点．
综上所述，直线y t =与()y f x =图象一共4个交点．即满足题意的交点个数为3个． 故选：D
【点睛】
本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 12．如图在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2
D π
∠=
，4AB =，2AD CD ==，将该
图形沿对角线AC 折成图中的三棱锥B ACD -，且23BD =体积为（ ）．
A ．
323
π
B ．
163
π
C ．
83
π D ．
833
π 【答案】A
【解析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面
ACD ．如图将三棱锥B ACD -补成三棱柱BEF CDA -，这样利用勾股定理和球的
体积公式进行求解即可. 【详解】
在梯形ABCD 中，易得22AC BC ==，BC AC ⊥．在三棱锥B ACD -中，因为
23BD =，所以222BD BC CD =+，所以BC CD ⊥，则知BC ⊥平面ACD ．如图
将三棱锥B ACD -补成三棱柱BEF CDA -，即寻找三棱柱的外接球，因为上下底面均为直角三角形，所以分别取斜边中点M ，N ，连结MN ，取MN 中点O ，则点O 即为外接球球心，AO 即为外接球半径，则222r OA OM MA ==+=，所以343233
V r ππ==．
故选：A
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了三棱锥外接球体积问题，考查了割补法的运用，考查了数学运算能力.
二、填空题
13．如图为制作某款木制品过程中的产量x 吨与相应的消耗木材y 吨的统计数据，经计
算得到y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.85y
x =+，由于某些原因m 处的数据看不清楚了，则根据运算可得m =__________．
【答案】5.5
【解析】根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可. 【详解】
由题可知3456942x +++==，又知线性回归方程必过样本中心点(),x y ，将92
x =代
入ˆ0.70.85y
x =+，得4y =，即2.2 3.5 4.844
m
+++=，解得 5.5m =． 故答案为：5.5 【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力.
14．在复平面内，复数z 满足：||||6z z -++=，则复数z 对应的点的轨迹方
程是__________．
【答案】22
197
y x +=
【解析】设z 对应点(,)P x y ，根据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】
设z 对应点(,)P x y ，则
||||z z -++=6=，设点A ，
(0,B ，则||||6||PA PB AB +=>，所以点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，轨迹
方程为22
197y x +=．
故答案为：22
197
y x +=
【点睛】
本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力. 15．已知数列{}n a 中，11a =，12
(1)
n n a a n n +-=+，则n a =__________．
【答案】23n
-
【解析】运用累和法，结合裂项相消法进行求解即可. 【详解】
由题当2n ≥时，121
12(1)1n n a a n n n n -⎛⎫-=
=- ⎪--⎝⎭
，
则()()()()()1112233221n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=+-+-+-+-+-…
111111111112121322312n n n n n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦…
121213n n ⎛⎫
=+-=- ⎪⎝
⎭．
故答案为：2
3n
- 【点睛】
本题考查了数列累和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.
16．已知点F 是抛物线216y x =的焦点，直线l 经过点F 与抛物线交于A ，D 两点，
与圆22
(4)16x y -+=交于B ，C 两点（如图所示），则||||AB CD ⋅=__________．
【答案】16
【解析】设点()11,A x y ，()22,D x y ，根据圆的性质，结合抛物线的定义，可以求出
||||AB CD ⋅的表达式，设直线l 的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系
数关系进行求解即可. 【详解】
设点()11,A x y ，()22,D x y ，抛物线焦点(4,0)F ，圆22(4)16x y -+=的圆心为F ，则1||||||||4AB AF BF AF x =-=-=，2||||||||4CD DF CF DF x =-=-=． 所以12||||AB CD x x ⋅=．由题可知直线l 的斜率不为0，所以设直线方程为4x ty =+，
与抛物线方程联立得2
16640y ty --=，即1264y y =-,22
12
12
161616
y y x x =⋅=，
所以||||16AB CD ⋅=． 故答案为：16 【点睛】
本题考查了抛物线的定义和圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.
三、解答题
17．如图在四边形ABCD 中，21
sin ACD ∠=
，3D π∠=，7AC =．
（1）求CD ；
（2）若1BC =，34BCD π
∠=
，求ABC V 的面积． 【答案】（1）3CD =（2）
226
4
【解析】（1）运用正弦定理，结合余弦定理进行求解即可； （2）运用两角差的正弦公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】
（1）在ACD V 中，由正弦定理得，
sin sin AD AC
ACD D
=∠∠，所以21
7723AD =
=．
设CD x =，由余弦定理得22
2
2cos 3
AC AD CD AD CD π
=+-⋅，
即2230x x --=，解得3x =或1-（舍）．
所以3CD =． （2）由题27
cos ACD ∠=
， 所以227221(23)14
sin sin()227BCA BCD ACD +∠=∠-∠=
⨯+⨯=
， 所以11(23)14226
sin 722ABC S S AC BC BCA ++==⨯⋅⋅∠=⨯⨯=
． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.
18．在四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，AD ⊥平面PAB ，423AD BC ==，6AB =，
PA PC =，点E 是AB 边上靠近B 点的三等分点．
（1）证明：CD ⊥平面PCE ；
（2）若PCE V 的面积为63P 到底面ABCD 的距离． 【答案】（1）见解析（2）3
3【解析】（1）取AD 中点F ，连结CF ，根据平行线的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理和性质定理、全等三角形的性质进行证明即可； （2）利用三棱锥的等积性和体积公式进行求解即可. 【详解】
（1）因为AD BC ∥，AD ⊥平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，所以AD AB ⊥，
BC AB ⊥，2
DAP π
∠=
．
因为6AB =，E 是AB 边上靠近B 点的三等分点，所以4AE =，2BE =． 在Rt EBC V 中，4CE =，在Rt ADE V 中，8DE =． 取AD 中点F ，连结CF ，
在Rt CDF V 中，43CD =，所以222CD CE DE +=，即CD CE ⊥． 由题可知CD AD =，PA PC =，所以PAD PCD △≌△，即2
DAP DCP π
∠=∠=，
所以DC PC ⊥，又知PC EC C ⋂=， 所以CD ⊥平面PCE ．
（2）由（1）知CD ⊥平面PCE ．所以三棱锥D PCE -的底面为PCE V ，高为
43CD =，
在底面梯形ABCD 中，连接DE ，
CDE △的面积为：
CDE S S =△梯形(2343)643423283ABCD ADE BCE S S +⨯⨯⨯--=--=△△
又知D PCE P CDE V V --=，所以1
1
33
PCE CDE S CD S h ⨯⨯=⨯⨯△△ 解得33h =．
所以点P 到底面ABCD 的距离为33．
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明，考查了点到面距离的求法，考查了棱锥体积公式的应用，考查了数学推理论证能力和数学运算能力.
19．某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图．
（1）从甲的成绩中任取一个数据(90)x x ≥，从乙的成绩中任取一个数据(87)y y ≤，求满足条件||5x y -≥的概率；
（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适． 【答案】（1）
1
2
（2）甲同学参加比赛．见解析
【解析】（1）根据茎叶图求出抽取两个数据的基本事件的结果，再求出满足||5x y -≥的情况的个数，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可；
（2）根据茎叶图，结合平均数和方差的计算公式，求出甲乙两位同学成绩的均值和方差，最后从均值和方差两个角度进行选择即可. 【详解】
（1）抽取两个数据的基本事件有(90,85)，(90,86)，(90,87)，(91,85)，(91,86)，
(91,87)，共6种结果，
满足||5x y -≥的有(90,85)，(91,85)，(91,86)，共3个．
所以概率为
31
62
=． （2）x 甲88=，x 乙88=，
S 甲22222
1(8688)(8788)(8988)(9188)310⎡⎤=
-+-+-++-=⎣⎦…， S 乙222221
(8588)(8588)(8588)(9388)410
⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦…． 从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛． 【点睛】
本题考查了古典概型计算公式，考查了平均数和方差的计算公式，考查了平均数和方差的性质，考查了数学运算能力.
20．已知点1F ，2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 是该椭圆上
一点，若当123
F PF π
∠=
时，12PF F △
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设O 为坐标原点，是否存在过左焦点1F 的直线l ，与椭圆交于A ，B 两点，使得
AOB V 的面积为
12
13
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=（2）存在，直线l 方程为10x +=或10x ++=．
【解析】（1）根据椭圆焦点三角形的性质，结合222a b c =+，进行求解即可； （2）设出直线l 的方程，与椭圆的方程联立，根据弦长公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】
（1）由题可知当点P 在短轴端点时，12PF F △面积最大，值为bc =，此时
123
F PF π
∠=
，16
OPF π
∠=
，所以b =②，又知222a b c =+③，由上述3个式子
解得2a =，1c =，b =
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
（2）存在，由（1）1(1,0)F -，由题意可知直线l 与x 轴不重合，所以设:1l x my =-， 与椭圆方程联立得(
)
2
2
34690m y my +--=， 则>0∆，122
634
m y y m +=
+，1229
34y y m =-+，
则122
34
y y m -=
=+，
212112213
AOB
S OF y y =⨯⋅-==△，解得m =
即直线l 方程为10x +=或10x +=． 【点睛】
本题考查了椭圆焦点三角形的性质，考查了已知椭圆弦长求直线方程问题，考查了数学运算能力.
21．已知函数()ln (3)2()f x x x k x k k =+-+-∈Z ． （1）当1k =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若当1x >时，总有()0f x >，求k 的最大值． 【答案】（1）320x y --=（2）最大值为5．
【解析】（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）对不等式进行常变量分离，构造新函数，求导，判断新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】
（1）当1k =时，()ln 21f x x x x =+-，()ln 3f x x '=+， 则可知(1)1f =，(1)3f '=
所以切线方程为13(1)y x -=-，化简可得切线方程为320x y --=；
（2）由题当1x >时，()0f x >恒成立，即ln (3)20x x k x k +-+->在1x >时恒成立， 即ln 32
1
x x x k x +-<
-在1x >时恒成立，
令ln 32()1
x x x g x x +-=
-，则2
ln 2()(1)'
--=-x x g x x ， 令()ln 2h x x x =--，则11()10x h x x x
'
-=-
=>在1x >时恒成立． 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，又知(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， 所以在(1,)+∞上存在唯一实数0(3,4)x ∈，满足0()0h x =，即00ln 2 x x =-， 当()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>． 所以函数()g x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增． 即()()000000min 0000232ln 32()2(5,6)11
x x x x x x g x g x x x x -+-+-====+∈--．
由ln 32
1
x x x k x +-<
-在1x >时恒成立，
所以02k x <+，又知k ∈Z ，所以整数k 的最大值为5． 【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了构造函数利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.
22．已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数
方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 是参数），曲线C 的极坐标方程为2
2
413sin ρθ=+． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 为曲线C 上一点，求使PAB △面积取得最大值时的P 点坐标．
【答案】（1）10x y +-=；22
14x y +=．（2
）P ⎛ ⎝⎭
【解析】（1）利用加减相元法把直线l 的参数方程化为普通方程，根据极坐标方程与直
角方程互化公式把曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）由题知线段AB 的长度为定值，若使PAB △面积取得最大值，只需点P 到直线l 的距离最大．根据椭圆的参数方程表示点P 的坐标，根据点到直线距离，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】
（1）直线l 的参数方程消参，得普通方程为10x y +-=；
将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
代入曲线C 的极坐标方程2
2
413sin ρθ=+， 得曲线C 的直角坐标方程为2214
x y +=．
（2）由题知线段AB 的长度为定值，若使PAB △面积取得最大值，只需点P 到直线l 的距离最大．
因为点P 在曲线C 上，所以设(2cos ,sin )P θθ， 则点P 到直线l 的距离为
2
d +=
=
≤
，
其中sin ϕ=
cos ϕ=．当且仅当sin()1θϕ+=-时，等号成立．
此时sin θ=，cos θ=，即5
5P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了椭圆方程参数方程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力. 23．已知函数()|22||1|f x x x =+--．
（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；
（2）若函数2
()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）见解析，
2
(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
（2）21m -<<-
【解析】（1）根据绝对值的性质把函数()f x 的解析式化简成分段函数的形式，在直角坐标系内画出函数图象，根据图象求出不等式解集即可；
（2）问题转化为()0>g x 恒成立，再转化为2()3f x m m >+恒成立，根据函数()f x 的
最小值进行求解即可. 【详解】
（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪+≥⎩
结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；
当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
； 当1x ≥时，33x +≥成立．
综上，不等式()3f x ≥的解集为2
(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
．
（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立，
即2()3f x m m >+恒成立，只需2
min ()3f x m m >+．
由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-． 所以232m m +<-，解得21m -<<-． 【点睛】
本题考查了含绝对值函数的图象和最值，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.。