吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测(一)文数试题 .doc 含解析

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B
【解析】
试题分析:由题意可知，21cos 32π=-，23sin 32π=，则1
3z 22
i =-+,对应的点在第二象限. 故选B.
考点：复数几何意义
2.已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<,则A
N （N 为自然数集）为( ）
A ．(,2)
(3,)-∞-+∞ B ．(2,3) C ．{0,1,2} D ．{1,2} 【答案】C
【解析】 试题分析：由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2A N =，故选C 。

考点：集合运算.
【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
（2）注意元素的互异性。

在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集。

在解决有关A ∩B ＝∅,A ⊆B 等集合问题时,往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解。

3。

3。

已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则|2|a b +=（ ）
A ．22
B ．
5 C ．2 D ．4 【答案】B
【解析】
试题分析：2(2,1)a +b =，故25|a +b |=。

故选B 。

考点：向量的模
4。

我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）
A ．164石
B ．178石
C ．189石
D ．196石
【答案】C
考点：抽样中的用样本去估计总体.
5.命题:“00x ∃>，
使002()1x x a ->”，这个命题的否定是( ） A ．0x ∀>，使2()1x x a -> B ．0x ∀>,使2()1x x a -≤
C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤
D ．0x ∀≤，使2()1x
x a -> 【答案】B
【解析】
试题分析:由已知,命题的否定为0x ∀>，2
(1x x a ⋅-≤使）,故选
B 。

考点：逻辑问题中的特称命题的否定
【方法点睛】（1)对全称（存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2）判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)"是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x)成立;要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0)不成立即可。

要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题。

6。

按照如图的程序框图执行，若输出结果为31,则M 处
条件可以是( ）
A ．32k >
B ．16k ≥
C ．32k ≥
D ．16k <
【答案】C
【解析】
试题分析:由已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==,31,32s k ==,符合条件输出，故选C 。

考点：直到型循环结构程序框图运算。

7.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,12a =,145a a a +=，若32n S >，则n 的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知12a
=且145a a a +=，可得2d =，因此532S =，即632S >,故选D 。

考点：等差数列基本量的求取,以及等差数列求和.
8。

某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ )
A ．342π+
B ．63π+
C ．362π+
D ．3122
π+
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意,此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(1
22)322
V π=⋅+⨯⨯⨯，故选C.
考点：三视图
【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略
9。

已知圆22(1)
(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个,则b 的取值范围是（ ） A ．(2,0)(0,2)-
B ．(32,32)-
C ．(32,2)(2,32)--
D ．(32,2](2,32]--
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于(1,3)时，满足只有两个圆上的点到直线l 的距离为1,根据点到直线的距离公式可得|11|132b -+<
<，因此(32,2)(2,32)b ∈--. 故选C 。

考点：直线与圆的位置关系,点到直线距离
10。

“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）
【答案】D
【解析】
试题分析：由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D 。

考点：函数图像
【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质。

（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系，结合图象研究。

11。

双曲线22
21y x b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点,且1||8PF =，120PF PF •=，则双曲线的离心率为（
）
A ．3
B ．5
C ．
26 D ．54 【答案】B
【解析】
试题分析：由已知1a =，18PF =，则26PF =。

又因为120PF PF ⋅=,则1210F F =，即5c =。

则双曲线离心率为5，故选B. 考点：双曲线的定义及渐近线
12。

已知函数222(0)()2(0)
x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩,函数()|()|1g x f x =-，若2(2)()g a g a ->，则实数a 的取值范围是( ）
A ．(2,1)-
B ．(,2)
(2,)-∞-+∞ C ．(2,2)- D ．(,2)
(1,1)(2,)-∞--+∞ 【答案】D
【解析】 试题分析：由题可知，()f x 为单调递增的奇函数，则()g x 为偶函数，又2(2)()g a g a ->，因此2|2|||a a ->,即222(2)a a ->,利用换元法解得a 的取值范围是(,2)(1,1)(2,)-∞--+∞. 故选D. 考点:分段函数的性质以及函数的图像
【思路点睛】(1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线2
4y x =的焦点坐标为 。

【答案】1(0,)16
【解析】
试题分析：已知抛物线24y x =,可化为214x y =，故焦点坐标应为1(0,)16。

考点：抛物线性质
14.函数()4
(1)f x x x x =+-的定义域为 . 【答案】{|0x x =或1}x ≥
【解析】
考点：函数定义域
15。

动点(,)P x y 满足200
30x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：由已知可得，线性可行域如图所示，则线性
目标函数在点3,0（）取最小值3.
考点:线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一,准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16。

已知三棱锥S ABC
SA SB SC两两垂直,且
-，满足,,
-外接球上一动点，则点Q ===，Q是三棱锥S ABC
2
SA SB SC
到平面ABC的距离的最大值为.
【答案】43
3
【解析】
考点：三棱锥的外接球
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P,A，B,C构成的三条线段PA，PB，
PC 两两互相垂直，且PA ＝a ,PB ＝b ，PC ＝c ,一般把有关
元素“补形"成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分) 已知23
()cos sin 3cos 2
f x x x x =-
+。

（1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC ∆中,A 为锐角且3()2
f A =
，
3AB AC AD +=,3AB =,2AD =，求sin BAD ∠.
【答案】（1）5[,]12
12k k π
πππ-+
，k ∈Z 。

（2）3518
- 【解析】
试题解析：（1） 由题可知
133()sin 2(1cos2)222
f x x x =-++sin(2)
3x π=-，
令222232k x k πππ
ππ--+≤≤,k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππ
ππ-+,k ∈Z 。

（6分) (2) 由
3
()2
f A =
，所以3sin(2)32A π
-=，解得3A π=或2A π=（舍）
又因为3AB AC AD +=,则D 为ABC ∆的重心,以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，因为2AD =，所以6AE =，在ABE
∆中,3120AB ABE =∠=，，由正弦定理可得36
sin 3
2
AEB =
∠,解得
14AEB ∠=
且15
cos 4
AEB ∠= 因此31511351sin sin()324248
BAD AEB π
-∠=-∠=⋅-⋅=. （12分）
考点：三角函数的化简以及恒等变换公式,正弦定理
18。

（本小题满分12分)
某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ，已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ,若当年产量不低于350kg 而低于550时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg .
（1)求图中,a b 的值；
(2）试估计年销售额大于5000元小于6000元的概率？
【答案】（1）⎩
⎨⎧==0035.0001
.0b a (2)0.325
【解析】
试题分析:(1)由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,所有小长方形面积和为1得1)0040.0015.0(100=+++b a ,再根据组中值估计平均数得
45515.06001005004.0400100300=⨯+⨯+⨯+⨯b a ，解方程组可得
⎩
⎨⎧==0035.0001.0b a （2）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,得年销售额大于5000元小于6000元的概率为
50(0.0010.0040.0015)0.325⨯++=
试题解析:解：(1) 由已知，
⎩
⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯=+++45515.06001005004.04001003001)0040.0015.0(100b a b a ， 即⎩⎨⎧=+=+05.250030045.0)(100b a b a ，有⎩
⎨⎧==0035.0001.0b a .(6分）
（2） 由(1）结合直方图可知，当年产量大于250kg 而低于300kg ,或年产量大于350kg 而低于400kg ，或年产量大于
550kg 而低于600kg 时，其年销售额为大于5000而低于6000元,
所以其概率为50(0.0010.0040.0015)0.325
⨯++=。

（12分）
考点：频率分布直方图，古典概型概率
19。

(本小题满分12分）
已知四棱锥P ABCD
-中,底面为矩形,PA⊥底面ABCD，1
PA BC
==，2
AB=，M为PC上一点,M为PC的中点.
(1）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
（2）求平面ADM将四棱锥P ABCD
-分成上下两部分的体积比.
【答案】（1）N为PB中点，（2）1
23 5
V
V
=
试题解析：解:（1）
N
为PB 中点,截面如图所示。

（4分）
A
B
C
D
P
M
N
（2)因为MN 是PBC ∆的中位线，1BC =，所以1
5,22
MN AN ==,且AN AD ⊥，
所以梯形ADMN 的面积为11
535
(1)2228
+⨯=， P 点到截面ADMN
的距离为P 到直线AN 的距离2
5
d =
， 所以四棱锥P ADMN -的体积1
13521384
5V
=⨯⨯=, 而四棱锥P ABCD -的体积12
2133
V =⨯⨯=，
所以四棱锥被截下部分体积21
215
3412
V V V =-=-=， 故上，下两部分体积比123
5V V =.（12
分）
考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
（1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，
则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． （3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 20。

（本小题满分12分） 已知函数2
()23f x x
x =+-，ln ()k x
g x x
=
,且函数()f x 与()g x 的图象
在1x =处的切线相同。

（1）求k 的值；
（2）令|()|(1)
()()(1)
f x x F x
g x x ≤⎧=⎨
>⎩，若函数()y F x m =-存在3个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】（1)4(2)4
(,4)e
【解析】
试题解析:（1） 已知2
()23f x x
x =+-
()22f x x '=+，则(1)4f '=，又(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线
方程为44y x =-，又因为()f x 和()g x 的图像在1x =处的切线相同,2
(1ln )()k x g x x -'=
所以(1)4g k '==。

（4分）
(2)由（1)可知|()|,(1)()(),(1)f x x F x g x x ≤⎧=⎨>⎩,即2|23|,(1)
()4ln ,(1)x x x F x x x x ⎧+-≤⎪
=⎨>⎪
⎩
当1x >时，4ln ()x
F x x
=，2
44ln ()x F x x -'=
，可得函数()F x 在x e =处
取得极大值4
e ,
当x →+∞时，图像趋近于x 轴。

函数()F x 的大致图像如图所示， 可知函数()y F x m =-存在3个零点时,
m 的取值范围是4
(,4)e
（12
分）
考点：导数几何意义，利用导数研究函数图像
21.（本小题满分12分）
以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点
D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点。

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求
证直线BM 与CN 的交点在一条直线上。

【答案】（1）22
196x y +=（2)33x =
【解析】
试题分析:（1)先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则2426,22
36a AB BD c AD b =+=+===⇒=(2）研究圆锥曲
线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标,再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x 轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值,设MN 的方程为3x my =+，2
2
(,)N x y ,则BM ：
112
2(3)3
y y x x --=
-- ，CN ：222
2(3)3
y y x x ++=
--，消去y 得
1212
224(3)
y y x my y +=-，再利用直线方程与椭圆方程联立方程
组，结合韦达定理可得1224323
m y y m -+=+，1221223y y m -=+，代入化简得3
3x =
试题解析:（1) 由题意可知两焦点为(3,0)-
与(3,0),且
26a =，因此椭圆的方程为22
196
x y +=.
（4分）
（2） ① 当MN 不与x 轴重合时， 设MN 的方程为3x my =+，且(
3,2)B ，(3,2)C -
联立椭圆与直线MN 2223180
3x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩
消去x 可得
2
2
(23)43120m y my ++-=，即122
4323
m y y m -+=+，1221223y y m -=+
设1
1
(,)M x y ，2
2
(,)N x y
则BM ：112
2(3)3
y y x x --=
-- ①
CN ：222
2(3)3
y y x x ++=
-- ②
②-①得212122
4(3)(
)33
y y x x x +-=----
1221212
(2)(2)
4(3)
my y my y x m y y +--=-
②当MN 与x 轴重合时，即MN 的方程为0x =,即(3,0)M ,(3,0)N -. 即BM
：2
2(3)33
y x --=
-- ①
CN
：2
2(3)33
y x +=
--- ②
联立①和②消去y 可得33x =。

综上BM 与CN 的交点在直线33x =上. （12分） 考点：直线和椭圆的位置关系及定值
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22。

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，F 为圆O 上一点，点A 在直线BD 的延长线上，过点B 作圆O 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =。

（1）证明:2
AE
AD AB =•；
（2）若4,6AE CB ==，求圆O 的半径.
【答案】（1）详见解析(2）3 【解析】
试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似:由弦切角定理得ABE AED ∠=∠，再由BAE ∠=BAE ∠，可得
AEB ADE ∆∆∽,可得AB AD AE ⋅=2
，（2）先由AB AD AE
⋅=2
得
1642=⋅=AB AD ,再由直角三角形得222AB BC AC +=，解得
AB=8，即得362===r BD AD
试题解析：（1) 由已知连接DE ,因为ABE AED ∠=∠ 且BAE ∠公用，所以AEB ADE ∆∆∽即AB AD AE
⋅=2
（5分）
因为 AB AD AE ⋅=2，所以16)(42=+=BD AD AD
因为CE BC =,所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+
2)(36100DB AD ++=,则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ,
所以半径是3.(10分）
考点:三角形相似
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（1)求曲线1
C 的直角坐标方程； （2）曲线2C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，求1C 与2C 的公共点的极坐标。

【答案】（1）x y 33=（2）)6
,3(π
【解析】
试题分析：（1）利用同角三角函数关系22sin
cos 1θθ+=消参数得22(2)
1x y -+=（2)利用222,cos x y x ρρθ=+=先将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程24cos 30ρρθ-+=，再将6πθ=代入求得223cos 303ρρθρ-+=⇒=，所以1C 与2C 的公共点的极坐标为)6,3(π
试题解析：(1) 曲线1C 的普通方程为22(2)
1x y -+=
（5分）
（2)由已知2:()6C R πθρ=∈，即x y 33=, 因为⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,
3(π
（10分） 考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k 。

(1)求k 的值；
（2）若,,a b c R ∈,22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值。

【答案】（1)2（2)2
试题解析:（1) 由于
3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩, 所以max ()
(1)2k f x f ==-=。

（5分） （2）由已知22222=++b c a ,有4)()(2222=+++c b b a ，
因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）,
所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++,即2≤+bc ab ,
故[]2)(max =+c a b (10分）
考点：绝对值定义，利用基本不等式求最值。