四分位数的计算

四分位数的计算
四分位数(Quartile)
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,1什么是四分位
数
,2四分位数的计
算［1］
,3四分位数举例
,4参考文献
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什么是四分位数
分位数根据其将数列等分的形式不同可以分为中位数，四分位数，十分位数、白分位数等等。

四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的意义和作用。

人们经常会将数据划分为4个部分，每一个部分大约包含有1/4即25,的数据项。

这种划
分的临界点即为四分位数。

它们定义如下：
,Q二笫1四分位数，即第25百分位数；1
,Q二第2四分位数，即第50百分位数；2
,Q二第3四分位数，即第75百分位数。

3
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［1］四分位数的讣算
(一)根据未分组的资料计算四分位数
第一步:确定四分位数的位置。

四分位数是将数列等分成四个部分的数，一个数列有三个四分位数，设下四分位数、中位数
和上四分位数分别为Q、Q、Q，则:Q、Q、Q的位置可由下述公式确定：123123
n + 1
=4
Q的位置1
2( n -I- 1) n + 1
=4_ = 2
Q的位置2
3(n + 1)
=-4-
Q的位置3
式中n表示资料的项数
第二步:根据笫一步所确定的四分位数的位置，确定其相应的四分位数。

例如:某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为13、13.5、13.8、13.9、
14、14.6、14.8、15、15.2、15.4、15. 7公斤，则三个四分位数的位置分别为: 允+1
(11+1)。

- ------------- ------------------
Q的位置1
2(n + l)仇+ 1 11 + 1
=~4― = 2= 2
Q的位置2
3(n 4-1) 3 x (11 + 1)
Q的位置3
即变量数列中的第三个、第六个、第九个工人的某种产品产量分别为下四分位数、中位数和上四分位数。

即:
Q = 13. 8 公斤.Q 二 14. 6 公斤、Q = 15. 2 公斤 123
上例中（n+1）恰好为4的倍数，所以确定四分数较简单，如果（n+1）不为4的整 数倍数，按上述分式计算出来的四分位数位置就带有小数，这时，有关的四分位数 就应该是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数，权数的大小取决于两 个整数位置距离的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和等
例如:某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为13、13.5. 13.8. 13.9.
14、14. 6、14. 8^ 15、15. 2> 15. 4 公斤,
Q 的位置1
2( n+ 1) n -I- 1
4~~= 2
Q 的位置2 3(n+ 1)
3 x (10+ 1) -4~~= 4
Q 的位置3
即变量数列中的第2・75项、笫5.5项、第8・25项工人的某种产品产量分别为 下四分位数、中位数和上四分位数。

即：
0=0. 25X 第二项+0. 75X 第三项=0. 25X13. 5+0. 75X13. 8=13. 73（公斤）1
0=0. 5X 第五项+0. 5X 第六项二0. 5X 14+0. 5X 14. 6=14. 3 （公斤）2
0=0. 75X 第八项+0. 25X 第九项二0. 75X15+0. 25X15. 2=15. 05（公斤）3
在实际资料中，山于标志值序列中的相邻标志值往往是相同的，因而不一定要 通过讣算才能得到有关的四分位数。

（二）山组距式数列确定四分位数
笫一步，向上或向下累计次数。

第二步，根据累计次数确定四分位数的位置。

则三个四分位数的位置分别为:
(10 + 1) ~4~~
=2.75 1() +1 = 5.5
1)当采用向上累讣次数的资料确定四分位数时，四分位数位置的公式是: ="卜1
Q的位置1
~ 4 — ~2
Q的位置2
_3(E/ + 1)
_ 4
Q的位置3
式中:表示资料的总次数。

2)当采用向下累讣次数的资料确定四分位数时，四分位数位置的公式是:
3(E/ + 1)
_ 4
Q的位置1
2(E/+1) Ef + i
= 4 = ~2
Q的位置2
E/-I-1
_ -4-
Q的位置3
式中:表示资料的总次数。

第三步，根据四分位数的位置算岀各四分位数。

1)当累讣次数是向上累计时，按下限公式计算各四分位数。

刀f Q2刀f q
fQ2
E q
F _ 9 X i.
式中:Q 、Q 、Q 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数；123
L 、L 、L 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的下限；123
i 、i 、i 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的组距；123
表示总次数；
、、分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的次数；
S 表示下四分位数前一组的累讣次数；QI ? 1
S 表示中位数前一组的累计次数；Q2 ? 1
S 表示上四分位数前一组的累计次数。

Q3 ? 1
U 、U 、U 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的上限；123
i 、i 、i 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的组距；123
表示总次数；
、、分别表示下四分位数、中位数和上四分位数所在组的次数；
s 表示下四分位数后一组的累计次数；Q1 ? 1
S 表示中位数后一组的累计次数；Q2 ? 1
S 表示上四分位数后一组的累计次数。

Q3 ? 1
例如:某企业职工按月11资的分组资料如下：
2）当累计次数是向下累计时，按上限公式计算各四分位数。

吃 f 理; 乂口 一 ％•.
Q1 = □ +」＜
•④二2 X = U 2 + 4 f X i 2
JQi 刀/ c “
JQi 式中:Q 、Q 、Q 分别表示下四分位数、中位数和上四分位数；123
/Qi /Qi —XU
按月工资分组（元）职工人数（人）向上累计职工人数向下累计职工人数
600 以下 23 23 566
1000 以上 43 566 43
合计566
根据上述资料确定某企业职丄的月工资的三个四分位数如下:
1）采用向上累计职工人数的资料得月工资四分位数的位置为:
—竽“5
Q 的位置3
根据计算结果可知，Q 、Q 、Q 分别位于向上累计职工人数的第二组、第三组和
笫四
组，123月工资四分位数分别为：
211 _ 邂一 23
Qi - 11 + 2 7 X n 600+ 丄面一x 100 = 698.73
（元）
迄1 一 Sc 竺懑-143
Q ・2 = G+ -）r ‘坐2*血=70（）+ 亠帀;厂 * 10（）= 793.33
（元）
2S1 一 Sc 憨型爲 一 293
Q$ = B+ 亠 i ”珀=8QQ+ A ・化 * 100 = 897.41 L30 600—700 120 143 543
700—800 150 293 423
800—900 135 428 273
900—1000 95 523 138
Q 的位置1
2（E/H 1） U±l = ^±l = 283.5
Q 的位置2
3（E/+ 1） W 卜1）=叶
(元)
2）采用向下累计职丄人数的资料得月丄资四分位数的位置为: Q 的位置3
同样可知:Q 、Q 、Q 分别位于向下累计职工人数的第二组、第三组和第四组，月 工资四123
= s +」•斗4 X = 900 一 X 100 = 897.41
Q*
/Qi 1 閃 （元） 讣算结果同按下限公式计算的一致，即所求某企业职工月工资的三个四分数也
分别为698. 75元、793. 33元和897. 41元。

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四分位数举例
下面是按递增顺序排列的起始月薪数据。

Q 即第2四分位数（中位数），已被确 知为2405o 2
2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825
3Q+ 1) _ 3x(566+ 1) Q 的位置1
2(E/ +1) E/ + 1
Q 的位置2
E/ + 1
566 + 1 -4- 141.75
分位数分别为：
二L _ q
竺竺 _ 773 Q> = U 2 + —1 r
xi 2 = 800 ——1—； 一 x 1Q0 = 793.33
计算Q和Q3需要用到计算第25白分位数和笫75百分位数的方法。

它们的讣算如下：1
对Q:i二(p/100)Xn=(25/100)X12=3 1
由于i为整数，由第3步的(2)可知，笫1四分位数即第25百分位数即为笫3 项与笫4项的平均值。

所以Q二(2350, 2380)/2二2365。

1
对Q:i=(p/100)X n=(75/100)X12=9 3
同样i为整数，由笫3步的(2)可知，第3四分位数即笫75百分位数即为第9 项与第10项的平均值。

所以Q二(2450+2550)/2二2500。

3
如下所示，四分位数将12个数据分为了4个部分，每个部分含有25,的数据项。

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825
Q1, 2365 Q2, 2405 Q3, 2500
(中位数)
我们已将四分位数分别定义为第25、50、75白分位数。

因此，四分位数的讣算方法与其他白分位数的计算方法是相同的。

但是在计算四分位数时有些方法的约定是不同的;而计算出来的值也会因这些约定的不同而稍有差异。

尽管如此，无论采用何种计算过程，计算四分位数的U的都是将数据划分为大致相等的4个部分。

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参考文献
1. ?论四分位数的计算•作者:祁德军，陈明。