高三数学理科第一次联考试卷 试题 2

示范性中学地区高三第一次联考卷
数 学
一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
1．假设集合2
{|2160}A x x x =--≤，5{|5}y B y C =≤，那么A B 中元素个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
2．假设角α的终边过点〔︒-︒30cos 3,30sin 3〕，那么sin θ等于 A ．2
1
B ．2
1
-
C ．2
3-
D ．3
3-
3．过点P (-1,0)作圆C ：(x - 1)2 + 〔y - 2〕2 = 1的两
切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，那么过A 、B 、C 的圆方程是
A ．x 2 + (y - 1)2 = 2
B ．x 2 + (y - 1)2 = 1
C ．(x - 1)2 + y 2 = 4
D ．(x - 1)2 + y 2 = 1
4.函数y = f (x )的图象过原点且它的导函数y = f ' (x )的图象是如下图的一条直线，那么y = f (x )
的图象的顶点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．假设不等式
0)1(ln <--a
n a a
对于任意正整数n 恒成立， 那么实数a 的取值范围是
A ．{1}
a a >
B ．1{0}
2a a <<
C ．1{01}2
a a a <<>或
D ．1{01}3
a a a <<>或
6．F 1，F 2分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，
假设2
12PF PF 的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是
A ．(1,)+∞
B ．(1,2] C
． D ．(1,3]
7．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维
向量可用〔x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n 〕表示.设a =( a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，b =〔b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n 〕，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为
∑∑∑====
n i n
i i i n
i i
i b a b
a 1
1
221)
)((cos θ. 当a =(1, 1,1,1…,1)，b =(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cos θ=
A ．n
n 1-
B ．
n
n 3
- C.
n
n 2
- D ．
n
n 4
- 8．假设二面角M -l -N 的平面角大小为23
π，直线m ⊥M ，那么平面N 内的直线与m 所成角
的取值范围是 A ．[,62
]ππ
B ．[,]42
ππ
C ．[,]32
ππ
D ．[0,]2
π
9．某银行储蓄卡的密码是一个4位数，某人用千位、百位上的数字之积为十位，个位上的
数字(如2816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0，这样设计出来的密码有 A ．90个
B ．99个
C ．100个
D ．112个
10．2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定，工薪所得减除费用HY 从800元进步到1600元，也就是说原来收入超过800元的局部就要纳税，2006年1月1日开场超过1600元才纳税，假设税法修改前后超过局部的税率一样，如下表：
试问：假如某人2021年9月交纳个人所得税123元，那么按照新税法，他只要交税 A ．43元 B ．33元
C ．23元
D ．53元
二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。

将答案填在题中的横线上〕
11．假设n x
x )1
(-展开式的第4项含x 3，那么n 的值是___________．
12．设函数()f x 满足：对任意的1x 、2x R ，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，那么()f π-与
(3)f - 的大小关系是______________________________．
13．经过抛物线
)0(22>=p px y 的焦点F 作与轴垂直的直线,交抛物线于A 、B 两点,O 是
抛物线的顶点,再将直角坐标平面沿x 轴折成直二面角,那么∠AOB 的余弦值是 ． 14．有以下几个命题
①曲线1)1(22=+-y x 按)2,1(-=a
平移可得曲线1)3()1(22=+-+y x ；
②假设|x －2|+|y －2|1≤，那么使x +y 获得最大值和最小值的最优解都有无数多个； ③设A 、B 为两个定点，为常数m ，m PB PA =+||||，那么动点P 的轨迹为椭圆；____________________________________．
④假设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是该椭圆上的任意一点，那么点F 2关于
2
1PF F ∠的外角平分线的对称点M 的轨迹是圆其中真命题的序号为________________________．〔写出所有真命题的序号〕．
15．将侧棱互相垂直的三棱锥称为“直角三棱锥〞，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱
锥的“直角面和斜面〞；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面〞．请仿照直角三角形以下性质：〔1〕斜边的中线长等于斜边边长的一半；〔2〕两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；〔3〕斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．
写出直角三棱锥相应性质〔至少一条〕：_____________________．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
16．〔本小题满分是12分〕函数2
()
sin cos 3cos 22
2
x x
x f x ．
〔1〕当时x ∈【-∏/2，∏/2】，求f (x )的值域；
〔2〕将f (x )的图象按向量c =(h, k) (0 < h < π)平移，使得平移后的图象关于原点对称，
求出向量c
．
17．〔本小题满分是12分〕如图，梯形ABCD 中，
CD //AB ，1
2
AD DC CB AB ===，E 是AB 的中点， 将△ADE 沿DE 折起，使点A 折到点P 的位置， 且二面角P DE C --的大小为1200．
〔I 〕求证：DE PC ⊥；
〔II 〕求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小； 〔III 〕求点D 到平面PBC 的间隔 .
18．〔此题满分是14分〕甲、乙两人参加一项智力测试。

在备选的10道 题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位参赛者
P
C
B
D A E
都从备选项里面随机抽出3道题进展测试，至少答对2道题才算通过.
〔I 〕求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； 〔II 〕求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率.
19.〔本小题满分是14分〕〔理科〕政府决定用“对社会奉献率〞对企业进展 评价，用a n 表示某企业第n 年投入的治理污染费用，用b n 表示该企业第n 年的产值。

设a 1 = a 〔万元〕，且以后治理污染费用每年都比上一年增加3a 〔万元〕；又设b 1 = b 〔万元〕，且企业的产值每年均比上一年增长10%，用ab
b a P n
n n 100=表示企业第n 年“对社会奉献率〞.
〔I 〕求该企业第一年和第二年的“对社会奉献率〞；
〔II 〕试问：从第几年起该企业“对社会奉献率〞不低于30%？ 20．〔本小题满分是14分〕△OFQ 的面积为62，且m FQ F O =⋅. 〔I 〕设6424<<m ，求向量OF 与FQ 夹角θ的取值范围； 〔II 〕假设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过
点Q 〔如图〕，|OQ |取最小
设F 〔c , 0〕，Q (x 1, y 1)，2)146(c m -=，当
值时，求此双曲线的方程．
21.〔本小题满分是14分〕 〔理科〕奇函数f (x )，偶函数g (x ) 满足f (x )+ g (x )＝a x (a >0且a ≠1).
〔I 〕求f (x )、g (x )的表达式； 〔II 〕设f (x )的反函数8
121tan
),(1π
=-a x f 当时，求证：)]([1
x g f -≤－1；
〔III 〕令函数h(a )=()(1)f n nf ，当2*,≥∈n N n 且，求函数h(a )的单调区间．
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答案、解题提示
1． D 0,1,4,5B ,当中的4个元素均在集合A 中．
2． C 因为3r
=，所以3sin
cos30
2
． 3．〔理科〕A 因为C(1,2)，线段PC 的中点M
(0,1)就是所求圆的圆心，半径为PM =
所以过A 、B 、C 的圆方程是2
2(1)2x y ．
〔文科〕A 2
2
42b ，即a 2 + b 2 > 4．
4．〔理科〕 A 设
/()f x ax b =+，由图形知道y 截距b > 0，斜率a ＜ 0．
于是2
1()
2f x ax bx ，它的图象的顶点为
2,
2b b a a
，显然位于第一象限． 〔文科〕D 因为x > 0时，f (x ) > 0恒成立,所以a > 0，2
()
320f x ax bx
c
的两个根x 1、x 2均小
于零，所以12
203b x x a
，12
03c x x a
，所以a,b,c 同正。

5．C 当a > 1时，ln a > 0，那么原不等式等价于(1)a n a ，显然恒成立；
当0 < a < 1时，ln a < 0，那么原不等式等价于(1)a n a ，于是，只要1a
a ，从而10
2
a
．综合得1012
a
a 或．
6．D
2
22122
2
2
2
(2)44448PF a
PF a PF a a a
a PF PF PF ，当且仅当
222
4a PF PF ，即
2
2PF a 时取等号．这时1
4PF a .由1212PF PF F F ，得62a c ≥，即3c
e a
=
≤，得(1,3]e ∈．
7．D 因为
41
-=∑=n b a i n
i i , 所以n
n 4
cos -=
θ．
8．A 显然平面N 内的直线与m 所成最大可以是
2π，最小的是直线m 和它在平面N 内射影的所成的角6
π，
故答案是[,62
]ππ．
9． C 千位可以取0，1，2，…，9这十个数字，百位上也可以取0，1，2，…，9这十个数字，这时十位
与个位上的数字由题意可以确定．因此，一共有10×10=100个密码．
10．A 先按旧税法算出该人在2021年9月的收入．超过800元的局部：对于小于等于500元的局部，当为500元时，个人所得税是500×5％＝25〔元〕；对于大于500且小于等于2000元的收入局部，应当为〔123－25〕÷10℅＝980元．
从而某人该月的收入是800＋500＋980＝2280〔元〕． 再算按照新税法，该人要交税．
因为2280－1600＝680〔元〕，所以他应交纳的个人所得税为 500×5％＋180×10％＝43〔元〕．
11．9． 因为3
3336
41n n n n T C x C x x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，所以n – 6 = 3，即n = 9．
12．(
)
(3)f f ． 显然函数f (x )是递减函数，因为3π-<-，所以(
)(3)f f ．
13．
5
1．
14．②; ④．
15．〔1〕斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；〔2〕三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；
〔3〕斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1，等等．
16．解：〔1〕化简函数得3
()sin()
3
2
f x x
由有 5
[
,
]3
66x
，
……………6分
所以，
)(x f 13,122
． …………7分
〔2〕由图象变换得
3()sin()
3
2
g x x
h k ． …………9分
而平移后的图象关于原点对称，所以g(0) = 0且
0k
， …………11分
而0 < h < π
，所以3
k h π
==，即3
(,)32
c ． …………12分 17．〔I 〕连结AC 交DE 于F ，连结PF ．
//CD AB ，
BAC ACD ．
又
AD CD ，
DAC
ACD ，
BAC
DAC ，
即CA 平分BAD ． …………2分
ADE 是正三角形，
AC DE ，即PF ⊥DE ，CF ⊥DE ，
∴DE ⊥面PCF ，∴DE ⊥PC ． …………4分
〔II 〕过P 作PO AC ⊥于O ，连结OD ，设AD = DC = CB = α，那么AB = 2a ，
∵DE ⊥面PCF ，∴DE ⊥PO ， ∴PO ⊥面BCDE ，
∴∠PDO 就是直线PD 与平面BCDE 所成的角． …………6分 ∵∠PFC 是二面角P -DE -C 的平面角， ∴∠PFO = 60°，在RT △POD 中，
3sin 4
PO
PDO
PD ， ∴
直线PD 与平面BCDE 所成角是
3
arcsin
4
．……… …8分 〔III 〕∵DE ∥BC ，DE 在平面PBC 外，//DE PBC ∴面，D ∴点到面PBC 的间隔 即为点F 到面PBC 的间隔 ，过点F 作FG ⊥PC ，垂足为G ．
∴DE ⊥面PCF ，
BC PCF ∴⊥面．PBC PCF ∴⊥面面，
FG PBC ∴⊥面，
∴FG 的长即为点F 到面PBC 的间隔 ． …………10分
在菱形ADCE 中，AF FC =，PF CF ∴==
． E
C
F
B
G
D
O
A
P
120PFC ∠=，30
FPC
FCP ∴∠=∠=，
124
FG PF a ∴=
=． …………12分
18．〔I 〕甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ = 0) =
3103
4C C =301; P(ξ = 1) = 3102416C C C ⋅=103
; P(ξ = 2) = 3101426C C C ⋅=21
; P(ξ = 3) = 310
3
6C C =
6
1
………5分
甲答对试题数ξ的概率分布为：
甲答对试题数ξ的数学期望为：
E ξ = 0 ⨯
301+ 1⨯103+ 2 ⨯21 + 3⨯61=5
9. ……9分 〔II 〕甲、乙两人通过测试分别为事件A 、B, 那么
P(A) = 310361426C C C C +⋅=32; P(B) = 3
10
381228C C C C +⋅=1514. ……12分
因为A 、B 互相HY , 所以甲、乙都未通过测试的概率为
P(
A ⋅
B ) = P(A ) ⋅ P(B ) = (1-
32)(1 -1514) = 45
1
. 甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为
1 - P(
A ⋅
B ) = 1-
451=45
44
. ………14分 19．〔理科〕〔I 〕∵b b b b a a a a 1.1,,4,2121====，
∴%11001==
ab
ab
P ，%4.41004.42==
ab ab P ， 即该企业第一年和第二年的“对社会奉献率〞分别为1%和4.4%． …………6分 〔II 〕∵()b b a n a n n n
1
1
.1,23-=-=，(
)*
N
n ∈，∴1
32 1.1100
n n
n
P
，
∵
11.12
31
31>⨯-+=+n n P P n n ，即{}n P 为递增数列，- …………10分 又%30%66.331001.11967>≈⨯=
P ，%30%77.25100
1.1165
6<≈⨯=P ， ∴从第7年起该企业“对社会奉献率〞不低于%30． …………14分
〔文科〕〔I 〕∵2212
==a a ，∴1123=-=a a ，2234==a a ，猜想22006=a ．
…………6分
〔II 〕2121n n a qa d +-=+，当d ＝0，显然成立；当d ≠0，1211,1n a a -==，
那么1q d +=； …………10分
()222n n a q a d -=+，当1q =，显然成立；当1q ≠，
,1n
a q q d 只有则． ………14分
20. 〔I
〕由，得1
||||sin()2||||cos .OF FQ OF FQ m πθθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅⋅=⎩
…………3分
∴46
tan
,4246,m
m
∴1tan θ<<
那么
4
3
π
π
θ<<
．
…………6分
〔II 〕设所求的双曲线方程为2
2
22b
y a x -=1 (a >0，b >0)，点Q (x 1，y 1)，那么FQ =(x 1－c ，y 1)．
∵△OFQ 的面积
2
1|OF ||y 1|=2
6，∴y 1=±
c
64．
又由OF ·FQ =(c ，0) (x 1－c ，y 1)=(x 1－c )c=(
4
6－1)c 2，∴x 1=
4
6c ．
|OQ |=
222
1
219683c
c y x +=+≥12
，当且仅当c=4时，|OQ |最小．
此时Q 的坐标为(6,6)，或者(6，－6)． …………11分
由此可得
2222661,
16.a b
a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
解得
22
4,
12.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故所求方程为
12
42
2y x -=1． …………14分
21．〔理科〕(I) ∵f (x )+g (x )＝a x ，∴f (－x )+ g (－x )＝a －
x ，
∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴－f (x )+g (x )＝a －
x ．
∴f (x )＝
2
x x
a a --，g (x )＝
2
x x
a a -+． …………4 分
(II) 1cos 1214
tan
211,
()
8
2
sin 4x
x
a a
a
f x
是R 上的减函数， ∴y =f
－1
(x )也是R 上的减函数． …………6分
又1
1
(2
1)
(21)(1)
1,()
2
1
(1),2
22
x x a a f g x f
1[()]
1.f g x …………8分
(III) 1
11()
()
(1)
().22
2
n
n
n n
a a
a
a h a f n nf n
a a
na n a
…………10分
'1
(1)
21
11
1
1
1()[]
2
11[(1)
(1)](1)(1
) (122)
2
n n n n n n
n
h a na n a n n a n n a a a a a 分
n>2,∴当),1()(',0)(,1'+∞∴>>在a h a h a 上是增函数.(0,1)是减函数；
当
)
,1()(',0)(,10'+∞∴<<<在a h a h a 上是减函数. (0,1)是增函
数． …………14分
〔文科〕〔I 〕进入汛期的水库水位标高f (n )＝205n 2＋6n ＋220．
令205n 2＋6n ＋220>400，整理得5n 2＋6n >81，代值验证得n ≥4，所以，在第 4天会发生危险．………………………………………………………… 4分 〔II 〕设每天开启p 个水闸泄洪，那么f (n )＝205n 2＋6n ＋220－4np ，
令205n 2＋6n ＋220－4np ≤400， 即p ≥55n 2＋6n －45n ＝5(5n 2＋6n n －9
n
)＝5(
5＋6n －9
n
)．………………8分
下面证明函数g(n)＝5＋6
n－
9
n为增函数．
事实上，令g(x)＝5＋6
x－
9
x(x≥1)，
g′(x)＝(5＋6
x－
9
x)′＝
1
25＋
6
x
(－
6
x2)＋
9
x2＝
3
x2(3－
1
5＋
6
x
)．
当x≥1时，g′(x)>0，∴g(x)在x≥1时为增函数，
所以g(n)＝5＋6
n－
9
n为增函数．……………………………………10分
于是g(n)max＝g(40)＝5＋6
40－9
40≈2.04，p≥5×2.04＝10.20．
故知每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库平安．…………………………14分。