甘肃省武威六中2022年高三第二次诊断性考试数学(理)试卷

甘肃省武威六中2022年高三第二次诊断性考试数学
（理）试卷
时刻：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数i
1i
1z -+=
，则复数z 的模为 （ ） A ． 2 B ．2 C ．1 D ． 0
2. 设集合A={15+=k x x ，k ∈N}，B={Q x x x ∈≤,6}，则A ∩B 等于 ( ) A ．{1，4} B ．{1，6} C ．{4，6} D ．{1，4，6}
3.设m n == ( )
A ．m n > B. m n = C.m n < D. ,m n 的大小不定
4. 函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于
（ ）
A ．-9
B ．9
C ．-3
D ．0
5. 若关于x 的不等式2log (17)x x a +--≤恒成立，则a 的取值范畴是 （ ） A ．3a ≥ B ．3a > C ．3a ≤ D ．3a <
6. 用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则如此的五位数的个数是
（ ）
A ．36
B ．32
C ．24
D ．20
7若曲线C2上的点到椭圆C1:112
1322
22=+y x 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则
曲线C2的方程为 ( )
22
22
22
22
22222222.1.1.1.143135341312
x y x y x y x y A B C D -=-=-=-= 8. 已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，l αβ，则 ( )
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α
C. 垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D. 垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直
9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 （ ） A
1
B
C
1 D
10．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．依照图形的构成，
此数列的第2020项与5的差，即2012a －（ ）
A. 2020×2020
B. 2020×2011
C. 1009×2020
D. 1009×2011 11. 已知集合{|,110,2
n A x x n n ==≤≤∈N }，{(,)|5,}B x y y x x A ==-∈，在集合
B 中随机取两个点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的
概率是 （ ） A.91 B.454 C.457 D.52 12.定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且函数(3)y f x =-的图像关于(3,0)成中心对称，若s,t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≥--，则14s ≤≤时，则3t s +的范畴
是 （ ） A [-2,10] B [4,16] C [-2,16] D [4,10] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知函数(tan )sin cos ,(,22
f x x x x ππ
=∈-则1
()2f =
14．已知：
1,3,0,
OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内,且30,AOC ∠=︒设
(,),OC mOA nOB m n R =+∈则m n
= ．
15.曲线x y C =:1，0:2=x C ，3C 的参数方程为⎩⎨⎧-==t
y t
x 1（t 为参数），那么1C ，
2C ，3C 围成的图形的面积为 .
16.函数()f x 的导函数为()f x '，若关于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有
121212()()(2
f x f x x x
f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①
()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1
()=
f x x
；④()=x f x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．
满足条件的函数的序号） 三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分） 设函数1()cos (sin
cos )4442
x
x x f x =+- （1）求函数()y f x =取最值时x 的取值集合；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=
求函数()f A 的取值范畴．
18. （本题满分10分）
如图，一个圆形游戏转盘被分成6个平均的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转
动时，箭头A 所指区域的数字确实是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性差不多上相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情形记为
(,)a b （假设儿童和成人的得分互不阻碍，且每个家庭只能参加一
次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭能够获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19. （本题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋11
2上．数列{b n }满足b n ＋2
－2b n ＋1＋b n ＝0(n∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k
57对一切 n∈N *都成立的最大正整数k 的值．
20.（本题满分12分）已知斜三棱柱1
1
1
ABC A B C -的底面是直角
三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面
上射影D 落在BC 上．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面1
1
BB C C ；
（Ⅱ）若点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；
（III ）若1
cos 3
θ=
，且当1AC BC AA a ===时，求二面 角1
C AB C --的大小．
21. （本题满分12分）已知椭圆)
0(1:2
222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P(4,0),A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交 椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；
（Ⅲ）在（II ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求ON OM ⋅的
取值范畴.
22.（本小题满分14分）已知函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范畴）
高三第二次诊断数学（理）参考答案
三、解答题
18.解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情形为(5,3)．
111()339
P A =⨯=
．
因此某个家庭得分情形为(5,3)的概率为19
．……………………………… 3分
（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)
共3类情形．
因此
1111111()3333333
P B =⨯+⨯+⨯=
．
因此某个家庭获奖的概率为13
． ………………………………………… 6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率差不多上13
，因此
1~(5,)
3
X B ．
0055
1232(0)()()33243P X C ==⋅=
，11
451280(1)()()33243
P X C ==⋅=,
2235
1280(2)()()33243P X C ==⋅=
,33
251240(3)()()33243
P X C ==⋅=. 4415
1210(4)()()33243P X C ==⋅=
，55
05121(5)()()33243
P X C ==⋅= 因此X 分布列为：
X
0 1 2 3 4 5
P
32243 80243 80243 40243 10243 1243
因此15533EX np ==⨯
=．因此X 的数学期望为5
3
…………………… 10分
20.解：（I ）∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1
B D A
C ⊥
又∵BC AC ⊥，1
B D
BC D =，∴AC ⊥平面11BB C C 。

4分 （II ）
1111111111AB BC BC AB C AC BC BC B C
B C AB C AB AC ⊥⎫
⊥⎫
⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭
⎪⎭
平面平面与相交 ∴四边形11
BB C C 为菱形， 又∵D 为BC 的中点，BD ABC ⊥平面
∴1
B B
C ∠为侧棱和底面所成的角α，∴
11cos 2
B B
C ∠=
∴1
60B BC ∠=，即侧棱与底面所成角60． 。

8分
（III ）以C 为原点，CA 为x 轴CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为Z 轴，建立空
间直角坐标系，
则A （a ,0,0），B (0,a ,0)，1220,,33a a C ⎛
⎫-
⎪ ⎪⎝⎭
，平面ABC 的法向量1(0,0,1)=n ，设平面ABC 1的法向量为2(,,)x y z =n ，
由22100AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得222=n 122cos ,<>=n n 12,45<>=n n ∵二面角1C AB C --大小是锐二面角， ∴二面角1
C AB C --的大小是45. 。

12分
22（Ⅰ）解：(1)
(),(1,)1
x a ax f x x x --'=
∈-+∞+. ………………2分
依题意，令(2)0f '=，解得 1
3
a =. ………………3分
经检验，1
3
a =时，符合题意. ………………4分
（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1
x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情形如下：
x
1(1,)x - 1x 12(,)x x
2x 2(,)x +∞
()f x ' -
0 +
0 - ()f x
↘
1()f x
↗
2()f x
↘
因此，()f x 的单调增区间是(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a
-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分
当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情形如下：
x
2(1,)x - 2x 21(,)x x
1x 1(,)x +∞
()f x ' -
0 +
0 - ()f x
↘
2()f x
↗
1()f x
↘
因此，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,
1)a
--和(0,)+∞. …8分
③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,
1)a -，减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；
当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1
(1,
1)a
--和(0,)+∞. ………………10分。