双塔区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

双塔区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．1e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 2． 下列关系式中正确的是（ ）
A ．sin11°＜cos10°＜sin168°
B ．sin168°＜sin11°＜cos10°
C ．sin11°＜sin168°＜cos10°
D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
3． 已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ∙ 的最小值为
A
、4- B
、3- C
、4-+ D
、3-+
4． 若A （3，﹣6），B （﹣5，2），C （6，y ）三点共线，则y=（ ）
A ．13
B ．﹣13
C ．9
D ．﹣9
5．
若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．2
6． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 7． 实数
a=0.2
，
b=log
0.2，
c=
的大小关系正确的是（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
8． 设f （x ）=e x +x ﹣4，则函数f （x ）的零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
9． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
10．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
11．设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
12．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；红、黑球各一个
二、填空题
13．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）
14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
212
||z z z +在复平面内对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
16．设()x x
f x e
=
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________. 17．给出下列命题：
①存在实数α
，使
②函数是偶函数
③是函数的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是．
18．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
三、解答题
19．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．
（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
20．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．
21．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．
（1）若M是AB的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．
22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
23．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
24．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.879 10.83
双塔区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 2． 【答案】C
【解析】解：∵sin168°=sin （180°﹣12°）=sin12°，
cos10°=sin （90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx 在x ∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C ．
【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．
3． 【答案】D.
【解析】设PO t =，向量PA 与PB 的夹角为θ，
PA PB ==1
sin
2
t θ
=
，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-
，∴2
2
2cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t t
θ==-->，2
22
3(1)PA PB t t t
∴=+->，依不等式PA PB ∴的最小值为3.
4． 【答案】D
【解析】解：由题意， =（﹣8，8），
=（3，y+6）．
∵
∥，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，
故选D ．
【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．
5． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2
+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2
=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
6．【答案】A
【解析】
考点：棱锥的结构特征．
7．【答案】C
【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．8．【答案】C
【解析】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
9．【答案】A.
【解析】
10．【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A．
11．【答案】D
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
12．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
二、填空题
13．【答案】（0，2）
【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2
∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点
14．【答案】D
【解析】
15．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足
，
解得；
若
，只需满足
，
解得 9＜a ≤25， 当a ＜0时，不符合条件， 综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
16．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e -'==
，由0()0f x '<得，0
1x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 17．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵
＞，∴存在实数α，使
错误，故①
错误，
②函数=cosx 是偶函数，故②正确，
③当
时，
=cos （2×+）=cos π=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
18．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
43 符合，跳出循环．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）（a ，b ）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况
函数y=f （x ）有零点，△=b 2
﹣4a ≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件
所以函数y=f （x
）有零点的概率为
（2）函数y=f （x
）的对称轴为，在区间[1，+∞
）上是增函数则有
，（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件
所以函数y=f （x ）在区间[1，+∞
）上是增函数的概率为
【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查
的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．
20．【答案】
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+（y+7）2
=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…
因为直线l
被圆所截得的弦长是，
所以，弦心距为
，
即圆心到所求直线l
的距离为
．…
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
所以圆心到直线l的距离为，…
因此，
解得b=﹣2，或b=﹣12．…
所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．
即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．
21．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…
（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，
∴E为C1B的中点…
又D为AB中点，∴AC1∥DE…
DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．23．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，
亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
24．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷体育迷合计
男30 15 45
女45 10 55
总计75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．
∵3.030＜3.841，
∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j（j=1，2）表示女性．
设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．
∴P（A）=．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。