黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期初试卷 理(含解析)

黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分共60分）
1．（5分）已知A={x∈Z|﹣2＜x＜4}，B={x|≥1}，则A∩（∁R B）的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）
A．B．C．D．
3．（5分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）
A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是
4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的部分对应值如下表：
x 1
f（x） 1
则不等式f（|x|）≤2的解集是（）
A．B．{x|0≤x≤4}C．D．{x|﹣4≤x≤4}
5．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2﹣x，若f′（x0）=0则f′（﹣x0）=（）
A．0 B．2a C．2b D．﹣2
6．（5分）由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种
7．（5分）2014-2015学年高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（）
A．24 B．30 C．60 D．90
8．（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）
A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45
10．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）
A．（，）B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）
11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有
2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
12．（5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，
，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分共20分）
13．（5分）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科文科
男13 10
女7 20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到
k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为．14．（5分）已知0＜θ＜，由不等式tanθ+≥2，
tanθ+=++≥3，
tanθ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：
tanθ+≥n+1，则a=．
15．（5分）若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c 的取值范围是．
16．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：
①函数f（x）的最小值是﹣1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．
其中正确命题的序号是．
三、解答题（共70分）
17．（12分）已知函数．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
18．（12分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．
19．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax（a∈R）
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为
（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
22．（12分）已知关于x的函数
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．
黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分共60分）
1．（5分）已知A={x∈Z|﹣2＜x＜4}，B={x|≥1}，则A∩（∁R B）的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：首先化简集合B求出其补集，然后与集合A进行交集运算．
解答：解：B={x|≥1}={x|}={x|1＜x≤3}，∁R B={x|x≤1或，x＞3}，
∴A∩（∁R B）═{x∈Z|﹣2＜x＜4}∩{x|x＜1或，x＞3}={﹣1，0，1}，
∴A∩（∁R B）的元素个数为3个；
故选：C．
点评：本题考查了集合的交集、补集的运算，特别注意元素的属性．
2．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）
A．B．C．D．
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由复数的代数形式的除法运算化简，求出实部和虚部，作积后得答案．
解答：解：=，
∴复数的实部为，虚部为，
则复数的实部与虚部之积为．
故选：B．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）
A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是
考点：演绎推理的基本方法．
专题：规律型；推理和证明．
分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，可得结论．
解答：解：根据平面与空间之间的类比推理方法，可知由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．
故选B．
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的部分对应值如下表：
x 1
f（x） 1
则不等式f（|x|）≤2的解集是（）
A．B．{x|0≤x≤4}C．D．{x|﹣4≤x≤4}
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．
解答：解：设幂函数为f（x）=xα，则（）α=，∴α=，
∴f（x）=x
不等式f（|x|）≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4
∴﹣4≤x≤4
∴不等式f（|x|）≤2的解集是{x|﹣4≤x≤4}．
故选D．
点评：本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）=acosx+bx2﹣x，若f′（x0）=0则f′（﹣x0）=（）
A．0 B．2a C．2b D．﹣2
考点：导数的运算．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：求出原函数的导函数，令辅助函数g（x）=﹣asinx+2bx，得到
，由f′（x 0）=0求得，结合函数g（x）为奇函数可
求得f′（﹣x0）的值．
解答：解：由f（x）=acosx+bx2﹣x，得：
，
令g（x）=﹣asinx+2bx，
∵g（﹣x）=﹣asin（﹣x）﹣2bx=asinx﹣2bx=﹣（﹣asinx+2bx）=﹣g（x），
∴g（x）为奇函数．
∵f′（x 0）==0，
∴．
则f′（﹣x 0）=．
故选：D．
点评：本题考查导数的运算，考查了函数奇偶性的性质，解答此题的关键是构造函数g（x）=﹣asinx+2bx，属中档题．
6．（5分）由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：概率与统计．
分析：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，恰有两个空
座位相邻，三个空座位在种插入方法，由此能求出恰有两个空座位相邻的不同坐法的种数．
解答：解：三人排成一排，有种排法，
三人排好后有四个位置可以插入空座位，
∵恰有两个空座位相邻，
∴三个空座位在种插入方法，
∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有=72种．
故选：C．
点评：本题考查恰有两个空座位相邻的不同坐法的种数的求法，是中档题，解题时要注意插空法的合理运用．
7．（5分）2014-2015学年高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（）
A．24 B．30 C．60 D．90
考点：计数原理的应用．
专题：计算题；排列组合．
分析：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，相加即得所求．
解答：解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况．
若3人中有2男1女，则不同的选法共有 C42C31=18种，
若3人中有1男2女，则不同的选法共有C41C32=12种，
根据分类计数原理，所有的不同的选法共有 18+12=30种，
故选：B．
点评：本题主要考查组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．
8．（5分）某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.35，得到P（ξ≥120）=0.15，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
解答：解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，
∵P（100≤ξ≤110）=0.35，
∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.35×2）=0.15，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9．
故选：B．
点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）
A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45
考点：二项式定理．
专题：计算题．
分析：将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．
解答：解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10
∴其展开式的通项为T r+1=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r
令r=8得a8=4C108=180
故选B
点评：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．
10．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）
A．（，）B．（，11）C．（，12）D．（6，l2）
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨
a＜b＜c，结合图象求出a+b+c的范围即可．
解答：解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，a∈（，1）b∈（1，3），c∈（3，9），
由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11
当a变小时，b变大，c也变小，=
故a+b+c的取值范围为（，11）
故选：B．
点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．
11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有
2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
考点：导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
解答：解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016，
故选：C．
点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
12．（5分）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，
，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）
A．B．C．D．
考点：数列的应用；归纳推理．
专题：计算题；压轴题；新定义；规律型．
分析：根据每个数是它下一个行左右相邻两数的和，先求出第8、9、10三行的第2个数，再求出9、10两行的第3个数，求出第10行第4个数．
解答：解：设第n行第m个数为a（n，m），据题意知，
a（7，1）=，a（8，1）=，a（9，1）=，a（10，1）=，
∴a（10，2）=a（9，1）﹣a（10，1）=，
a（8，2）=a（7，1）﹣a（8，1）=，
a（9，2）=a（8，1）﹣a（9，1）=，
a（10，3）=a（9，2）﹣a（10，2）=，
a（9，3）=a（8，2）﹣a（9，2）=，
a（10，4）=a（9，3）﹣a（10，3）=．
故选B．
点评：本题考查通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．
二、填空题（每题5分共20分）
13．（5分）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科文科
男13 10
女7 20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到
k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．
考点：独立性检验的应用．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.844＞3.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．
解答：解：∵根据表中数据，得到K2的观测值≈4.844．
4.844＞3.841，
∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．
故答案为：5%．
点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．14．（5分）已知0＜θ＜，由不等式tanθ+≥2，
tanθ+=++≥3，
tanθ+=+++≥4，…，启发我们得到推广结论：
tanθ+≥n+1，则a=n n．
考点：归纳推理；类比推理．
专题：探究型．
分析：由结论可知当n=1时，a=1，n=2时，a=22，当n=3时，a=33，然后利用归纳推理即可得到结论．
解答：解：由已知不等式得到的推广结论tanθ+≥n+1，
得当n=1时，a=1；
n=2时，a=22；
当n=3时，a=33；
…
由归纳推理可知，a=n n．
故答案为：n n．
点评：本题主要考查归纳推理的应用，要求利用已知几个不等式之间的关系得出规律．从而确定a的取值．
15．（5分）若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c 的取值范围是（﹣∞，﹣9ln3]．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：将不等式恒成立，进行参数分离，利用导数求出函数的最值即可．
解答：解：若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，
则c≤x2﹣bx﹣9lnx恒成立即可，
设f（x）=x2﹣bx﹣9lnx，
则f′（x）=2x﹣b﹣=，
设g（x）=2x2﹣bx﹣9，如图
∵g（0）=﹣9＜0，判别式△=b2+72＞0，对称轴x=，
所以由g（x）=0得x=＜0（舍去）或x=，
即当x=时f（x）取得极小值，
∵b∈（0，3），
所以当b=3时，极小值点最小为x=，
此时f（3）=32﹣3×3﹣9ln3=﹣9ln3，
故c≤﹣9ln3，
故答案为：（﹣∞，﹣9ln3]．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合导数是解决本题的根据，综合性较强，难度较大．
16．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．
其中正确命题的序号是①③④．
考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．
专题：综合题．
分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；
②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a
的取值范围是a＞1；
④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．
解答：
解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；
②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取
值范围是a＞1；故正确；
④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，
即f（）＜，故正确．
故答案为：①③④．
点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．
三、解答题（共70分）
17．（12分）已知函数．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）当a=4时，利用基本不等式即可求函数f（x）的最小值；
（2）根据一元二次不等式的解法即可解关于x的不等式f（x）＞a+3；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，利用参数分离，然后求函数的最值，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵a=4，
∴，
当x=2时，取得等号，
∴当x=2时，f（x）min=6．
（2）由题意得，
∴x2+2x+a＞（a+3）x，
∴x2﹣（a+1）x+a＞0，
∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，
当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），
当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）．
（3），
等价于a＞﹣x2﹣2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，
令g（x）=﹣x2﹣2x，
则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=﹣1﹣2=﹣3，
∴a＞﹣3．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决此类问题的基本方法．18．（12分）已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．
考点：二项式定理；二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：（1）根据的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，
对x进行赋值，令x=1，即可得到关于n的方程：22n﹣2n=992，求出n，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项
（2）利用两边夹定理，设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式
，即可求解
解答：解：由题意知：22n﹣2n=992，解得n=5．
（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，因为=（﹣1）10﹣r x10﹣2r
r C
10r2
则，得
即
解得
所以r=3，故系数的绝对值最大的项是第4项
即
点评：本题通过赋值法求出n，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于基础题．
19．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．
考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；
（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．
解答：解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．
点评：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax（a∈R）
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数在极值点处的值为0，求出a；令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间．
（2）利用二次方程实根的分布，结合二次函数的图象，从判别式、对称轴与区间的位置关系、区间端点值的正负，列出不等式求出a的范围．
解答：解：f′（x）=x2+（a﹣1）x+a
（1）∵f（x）在x=2处取得极值
∴f′（2）=0
∴4+2（a﹣1）+a=0
∴
∴=
令f′（x）＞0则
∴
∴函数f（x）的单调递增区间为
（2）∵f（x）在（0，1）内有极大值和极小值
∴f′（x）=0在（0，1）内有两不等根
对称轴
∴即
∴
点评：本题考查导数在极值点处的值为0；解决二次方程的实根分布应该从判别式、对称轴与区间的位置关系、区间端点值的正负加以限制．
21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为
（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）把ρsin2θ=4cosθ化为直角坐标方程为y2=4x，可得曲线C的形状．
（Ⅱ）根据直线l过点（1，0）和点（0，1），可得直线l的斜率为﹣1，倾斜角α=，把
直线l的参数方程代入y2=4x化简，利用韦达定理求得AB=|t1﹣t2|的值．
解答：解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，
从而曲线C的形状是顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．
（Ⅱ）∵直线l过点（1，0）和点（0，1），∴直线l的斜率为﹣1，从而其倾斜角α=，∴直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=4x，化简可得，
设点A、B对应的参数分别为t1、t2，则 t1+t2=﹣6，t1•t2=2，
∴．
点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．
22．（12分）已知关于x的函数
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）a=﹣1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；
（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．
解答：解：（Ⅰ），x∈R．
当a=﹣1时，f（x），f'（x）的情况如下表：
x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x）﹣0 +
f（x）↘极小值↗
所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为﹣e﹣2．
（Ⅱ）．
①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x）﹣0 +
f（x）↘极小值↗
因为F（1）=1＞0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，
所以此时﹣e2＜a＜0；
②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：
x （﹣∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣
f（x）↗极大值↘
因为F（2）＞F（1）＞0，且，
所以此时函数F（x）总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．。