2mjt-电磁感应中的能量问题

电磁感应中的能量问题
1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量之间转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
2．能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
其他形式的能量
――→
克服安培力做功
电能――→
电流做功
焦耳热或
其他形式
的能量
(2)求解焦耳热Q的三种方法
①焦耳定律：Q＝I2Rt.
②功能关系：Q＝W克服安培力．
③能量转化：Q＝ΔE其他能的减少量．
3．解决此类问题的步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(右手定则)确定感应电动势的大小和方向．
(2)画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
注意：在利用能量的转化和守恒解决电磁感应问题时，第一要准确把握参与转化的能量的形式和种类，第二要确定哪种能量增加，哪种能量减少．
命题点1由于切割磁感线而产生感应电动势类
5．(2017·天津卷，12)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN 刚开始运动时加速度a 的大小；
(3)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q 是多少．
【解析】 (1)将S 接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S 接2时，电容器放电，流经MN 的电流由M 到N ，又知MN 向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下．
(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E ，当开关S 接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN 的电流为I ，有
I ＝E R
① 设MN 受到的安培力为F ，有 F ＝IlB ②
由牛顿第二定律，有 F ＝ma ③ 联立①②③式得 a ＝BlE mR
.④
(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q 0，有 Q 0＝CE ⑤
开关S 接2后，MN 开始向右加速运动，速度达到最大值v max 时，设MN 上的感应电动势为E ′，有
E ′＝Bl v max ⑥ 依题意有 E ′＝Q C
⑦
设在此过程中MN 的平均电流为I ，MN 上受到的平均安培力为F ，有 F ＝I lB ⑧ 由动量定理，有 F Δt ＝m v max －0⑨ 又I Δt ＝Q 0－Q ⑩ 联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得
Q ＝B 2l 2C 2E m ＋B 2l 2C
.⑪
【答案】 (1)垂直于导轨平面向下 (2)BlE mR (3)B 2l 2C 2E
m ＋B 2l 2C
命题点2 由于磁通量变化而产生感应电动势类
6．如图甲所示，导体棒MN 置于水平导轨上，PQMN 所围的面积为S ，PQ 之间有阻值为R 的电阻，不计导轨和导体棒的电阻．导轨所在区域内存在沿竖直方向的匀强磁场，规定磁场方向竖直向上为正，在0～2t 0时间内磁感应强度的变化情况如图乙所示，导体棒MN 始终处于静止状态．下列说法正确的是( )
A ．在0～t 0和t 0～2t 0时间内，导体棒受到的导轨的摩擦力方向相同
B ．在t 0～2t 0时间内，通过电阻R 的电流大小为SB 0
Rt 0
C ．在t 0～2t 0时间内，通过电阻R 的电荷量为SB 0
2R
D ．在0～2t 0时间内，回路中产生的焦耳热为Q ＝5S 2B 20
t 0R
【解析】 导体棒MN 始终静止，与导轨围成的线框面积不
变，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E ＝ΔΦΔt ＝S ΔB
Δt ，即感应电动势与B t 图
象斜率成正比，0～t 0时间内的感应电流I 1＝E R ＝S ΔB ΔtR ＝S B 0t 0R ，t 0～2t 0时间内的感应电流I 2＝
E
R ＝S ΔB ΔtR ＝S 2B 0
t 0R ，选项B 错；0～t 0时间内磁通量在减小，根据楞次定律推论知导体棒有向右运动的趋势，摩擦力水平向左．t 0～2t 0时间内磁通量增大，同理可判断导体棒有向左运动趋势，摩擦力水平向右，选项A 错；在t 0～2t 0时间内，通过电阻R 的电荷量Q ＝I ×Δt ＝E R ×Δt
＝S ΔB ΔtR ×Δt ＝S ΔB R ＝2SB 0R
，选项C 错；由Q ＝I 2Rt 得， Q ＝Q 1＋Q 2＝I 21Rt 0＋I 2
2Rt 0＝S 2B 20t 20R 2·R ·t 0＋4S 2B 20t 20R 2·R ·t 0＝S 2B 20t 0R ＋4S 2B 20t 0R ＝5S 2B 2
0t 0R
，故选项
D 对．
【答案】 D
能量转化问题的分析程序：先电后力再能量
[高考真题]
1．(2016·浙江卷，16)如图所示，a 、b 两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，边长l a ＝3l b ，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则( )
A ．两线圈内产生顺时针方向的感应电流
B ．a 、b 线圈中感应电动势之比为9∶1
C ．a 、b 线圈中感应电流之比为3∶4
D ．a 、b 线圈中电功率之比为3∶1
【解析】 当磁感应强度变大时，由楞次定律知，线圈中感应电流的磁场方向垂直纸面向外，由安培定则知，线圈内产生逆时针方向的感应电流，选项A 错误；由法拉第电磁感应定律E ＝S ΔB Δt 及S a ∶S b ＝9∶1知，E a ＝9E b ，选项B 正确；由R ＝ρL
S ′知两线圈的电阻关
系为R a ＝3R b ，其感应电流之比为I a ∶I b ＝3∶1，选项C 错误；两线圈的电功率之比为P a ∶P b ＝E a I a ∶E b I b ＝27∶1，选项D 错误．
【答案】 B
2.(2014·四川卷，6)如图所示，不计电阻的光滑U 形金属框水平放置，光滑、竖直玻璃挡板H 、P 固定在框上，H 、P 的间距很小．质量为0.2 kg 的细金属杆CD 恰好无挤压地放在两挡板之间，与金属框接触良好并围成边长为1 m 的正方形，其有效电阻为0.1 Ω.此时在整个空间加方向与水平面成30°角且与金属杆垂直的匀强磁场，磁感应强度随时间变化规律
是B ＝(0.4－0.2t )T ，图示磁场方向为正方向．框、挡板和杆不计形变．则( )
A ．t ＝1 s 时，金属杆中感应电流方向从C 到D
B ．t ＝3 s 时，金属杆中感应电流方向从D 到
C C ．t ＝1 s 时，金属杆对挡板P 的压力大小为0.1 N
D ．t ＝3 s 时，金属杆对挡板H 的压力大小为0.2 N
【解析】 t ＝1 s 时，穿过闭合回路中的磁通量减少，由楞次定律可判断感应电流的方向从C →D ，选项A 正确；
t ＝3 s 时，磁感应强度的方向斜向上，且穿过闭合回路中的磁通量增加，由楞次定律可以判断感应电流的方向仍是从C →D ，故选项B 错误；t ＝1 s 时，
B ＝(0.4－0.2×1)T ＝0.2 T ， F 安＝BIl ① E ＝ΔB Δt S ②
I ＝E R
③ 由①②③得：F 安＝0.2 N 对金属杆受力分析如图所示：
由平衡条件得：F N1＝F 安sin 30°＝0.1 N ，选项C 正确；
同理，可算出金属棒对档板H 的压力大小为0.1 N ，选项D 错误． 【答案】 AC
[名校模拟]
3．(2018·太原五中高三上学期月考)如图甲所示，MN 、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，间距为L ＝1 m ，质量为m 的金属杆ab 水平放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B ＝0.5 T ．P 、M 间接有阻值R 1的定值电阻，Q 、N 间接变阻箱R .现从静止释放ab ，改变变阻箱的阻值R ，测得最大速度为v m ，得到1v m 与1
R
的关系如图乙所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度
g 取10 m/s 2.则( )
A ．金属杆中感应电流方向为a 指向b
B ．金属杆所受安培力沿斜面向下
C ．定值电阻的阻值为1 Ω
D ．金属杆的质量为1 kg
【解析】 由受力平衡知，金属杆所受安培力沿斜面向上，由左手定则判断，金属杆中感应电流方向由b 指向a ，所以A 、B 错误；总电阻为R 总＝R 1R
R 1＋R ，I ＝BL v R 总，当达到最大速
度时金属杆受力平衡，mg sin θ＝BIL ＝B 2L 2v m R 1R ·(R 1＋R )，1v m ＝B 2L 2mg sin θR ＋B 2L 2
mg sin θR 1，根据图乙
代入数据，可以得到杆的质量m ＝0.1 kg ，R 1＝1 Ω，C 正确．
【答案】 C
4.(2018·银川一中高三上学期第一次调研)如图所示，光滑金属导轨AC 、AD 固定在水平面内，并处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中．有一质量为m 的导体棒以初速度v 0从某位置开始在导轨上向右运动，最终恰好静止在A 点．在运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边三角形回路，且通过A 点的总电荷量为q .已知导体棒与导轨间的接触电阻值恒为R ，其余电阻不计，则( )
A ．该过程中导体棒做匀减速运动
B ．当导体棒的速度为v 0
2时，回路中感应电流小于初始时的一半
C ．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为qR
B
D ．该过程中接触电阻产生的热量为18
m v 2
【解析】 由法拉第电磁感应定律可得导体棒中产生的感应电动势为E ＝Bl v ，其感应
电流大小为I ＝E R ＝Bl v
R ，安培力大小为F ＝BIl ＝B 2l 2v R ，由牛顿第二定律可知，导体棒将做加
速度逐渐减小的减速运动，选项A 错误；由I ＝Bl v R 可知，当速度减为1
2v 0时，导体棒的长度
l 也将变小，故其感应电流小于初始时的一半，选项B 正确；由于在导体棒运动的过程中，通过导体棒的总电荷量为q ，而q ＝I Δt ，I ＝E R ，E ＝ΔΦ
Δt ，ΔΦ＝BS ，以上各式联立可得S
＝qR
B ，选项
C 正确；由能量守恒定律可知，该过程中，导体棒的动能全部转化为接触电阻产生的热量，故Q ＝1
2m v 20
，选项D 错误．
【答案】 BC
5．(2018·无锡市高三第一学期质检)在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L ，如图所示．一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形线框，在t ＝0时刻以速度v 0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过时间t 0，线框ab 边到达gg ′与ff ′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是( )
A ．当ab 边刚越过ff ′时，线框加速度的大小为g sin θ
B ．t 0时刻线框匀速运动的速度为v 04
C ．t 0时间内线框中产生的焦耳热为32mgL sin θ＋15
32m v 20
D ．离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动
【解析】 当ab 边进入磁场时，有E ＝BL v 0，I ＝E
R ，mg sin θ＝BIL ，有B 2L 2v 0R ＝mg sin θ.
当ab 边刚越过ff ′时，线框的感应电动势和电流均加倍，则线框做减速运动，有4B 2L 2v 0
R ＝
4mg sin θ，加速度向上大小为3g sin θ，A 错误；t 0时刻线框匀速运动的速度为v ，则有
4B 2L 2v
R ＝mg sin θ，解得v ＝v 0
4，B 正确；线框从进入磁场到再次做匀速运动的过程，沿斜面向下运
动距离为32L ，则由功能关系得线框中产生的焦耳热为Q ＝3mgL sin θ2＋(m v 20
2－m v 22)＝
3mgL sin θ2＋15m v 2032
，C 正确；线框离开磁场时做加速运动，D 错误．
【答案】 BC
6.(2018·泰州模拟)如图所示，边长为L 、电阻不计的n 匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为P 、U ，线框及小灯泡的总质量为m ，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l ，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平．线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光．则( )
A ．有界磁场宽度l <L
B ．磁场的磁感应强度应为mgU nPL
C ．线框匀速穿越磁场，速度恒为P
mg
D ．线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为mgL
【解析】 因线框穿越磁场过程中小灯泡正常发光，故为匀速穿越磁场，且线框长度L 和磁场宽度l 相同，A 错；匀速穿越，故重力和安培力相等，mg ＝nBIL ＝nB P U L ，得B ＝mgU
nPL ，
B 对；匀速穿越，重力做功的功率等于电功率，即mg v ＝P ，得v ＝P
mg ，C 对；线框穿越磁
场时，通过的位移为2L ，且重力做功完全转化为焦耳热，故Q ＝2mgL ，D 错．
【答案】 BC
课时作业(三十一) [基础小题练]
1．如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L 、电阻为R 的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d (d ＞L )的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t ＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v
t 图象中，可能正确描述上述过程的是( )
【解析】 导线框进入磁场的过程中，线框受到向左的安培力作用，根据E ＝BL v 、I ＝E
R 、F ＝BIL 得F ＝B 2L 2v R ，随着v 的减小，安培力F 减小，导线框做加速度逐渐减小的减速动动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，根据F ＝B 2L 2v R
，导线框做加速度减小的减速运动，所以选项D 正确．
【答案】 D
2．如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑且平行的金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B .一根质量为m 的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m ，则( )
A ．如果
B 增大，v m 将变大 B ．如果α变大，v m 将变大
C ．如果R 变大，v m 将变大
D ．如果m 变小，v m 将变大
【解析】 以金属杆为研究对象，受力如图所示．
根据牛顿第二定律得，mg sin α－F 安＝ma ，其中F 安＝B 2L 2v
R ，当a →0时，v →v m ，解得
v m ＝
mgR sin α
B 2L 2
，结合此式分析即得B 、C 选项正确．
【答案】 BC
3.如图所示电路，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨下端接有电阻R ，导轨电阻不计，斜面处在竖直向上的匀强磁场中，电阻可忽略不计的金属棒ab 质量为m ，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力F 的作用．金属棒沿导轨匀速下滑，则它在下滑高度h 的过程中，以下说法正确的是( )
A ．作用在金属棒上各力的合力做功为零
B ．重力做的功等于系统产生的电能
C ．金属棒克服安培力做的功等于电阻R 上产生的焦耳热
D ．金属棒克服恒力F 做的功等于电阻R 上产生的焦耳热
【解析】 根据动能定理，合力做的功等于动能的增量，故A 对；重力做的功等于重力势能的减少，重力做的功等于克服F 所做的功与产生的电能之和，而克服安培力做的功等于电阻R 上产生的焦耳热，所以B 、D 错，C 对．
【答案】 AC
4.如图所示，正方形闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场．若第一次用0.3 s 时间拉出，外力所做的功为W 1；第二次用0.9 s 时间拉出，外力所做的功为W 2，则( )
A ．W 1＝1
3W 2
B ．W 1＝W 2
C ．W 1＝3W 2
D ．W 1＝9W 2
【解析】 设正方形边长为L ，导线框的电阻为R ，则导体切割磁感线的边长为L ，运动距离为L ，W ＝E 2R t ＝B 2L 2v 2R ·L v ＝B 2L 3v R ＝B 2L 4
Rt
，可知W 与t 成反比，W 1＝3W 2.选C.
【答案】 C
5. 用一段横截面半径为r ，电阻率为ρ、密度为d 的均匀导体材料做成一个半径为R (r ≪R )的圆环．圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N 极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B ，圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v ，忽略电感的影响，则( )
A ．此时在圆环中产生了(俯视)沿顺时针方向的感应电流
B ．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C ．此时圆环的加速度a ＝B 2v
ρd
D ．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度v m ＝
ρdg B 2
【解析】 圆环向下切割磁感线，由右手定则可知，圆环中感应电流的方向为顺时针方向(俯视)，A 正确；再由左手定则可知，圆环受到的安培力向上，B 错误；圆环中感应电动
势为E ＝B ·2πR ·v ，感应电流I ＝E R ′，电阻R ′＝ρ2πR πr 2＝2Rρ
r 2，解得I ＝B πv r 2ρ.圆环受到的安
培力F ＝BI ·2πR ＝2B 2π2v Rr 2ρ.圆环的加速度a ＝mg －F m ＝g －2B 2π2v Rr 2
mρ，圆环质量m ＝
d ·2πR ·πr 2，解得加速度a ＝g －B 2v
ρd
，C 错误；当mg ＝F 时，加速度a ＝0，圆环的速度最大，
v m ＝
ρdg
B 2
，D 正确． 【答案】 AD
6．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m ，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN 垂直于导轨放置，质量为0.2 kg ，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T ．将导体棒MN 由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN 的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6)( )
A ．2.5 m/s 1 W
B ．5 m/s 1 W
C ．7.5 m/s 9 W
D ．15 m/s 9 W
【解析】 当小灯泡稳定发光时，导体棒MN 匀速运动，受力如图所示．根据受力平衡可得，mg sin θ＝μmg cos θ＋B 2L 2v 2R ，代入数据得，v ＝5 m/s ；小灯泡消耗的电功率为P ＝(BL v 2R )2
R
＝1 W ，B 项正确．
【答案】 B
[创新导向练]
7．综合应用——考查电磁感应的综合应用
如图所示，在方向垂直纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场区域中有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd ，线框以恒定的速度v 沿垂直磁场方向向右运动，运动中线框dc 边始终与磁场右边界平行，线框边长ad ＝L ，cd ＝2L .线框导线的总电阻为R .则在线框离开磁场的过程中，下列说法中正确的是( )
A ．ad 间的电压为BL v
3
B ．流过线框截面的电量为2BL 2
R
C ．线框所受安培力的合力为2B 2L 2v
R
D ．线框中的电流在ad 边产生的热量为2B 2L 2v
3R
【解析】 ad 间的电压为U ＝I ·1
6R ＝B ·2L v R ·16R ＝BL v 3，故A 正确；流过线框截面的电量
q ＝I Δt ＝ΔΦΔt ·R ·Δt ＝2BL 2
R ，故B 正确；线框所受安培力的合力F ＝BI ·2L ＝4B 2L 2v R ，故C 错误；
产生的感应电动势E ＝2BL v ，感应电流I ＝E R ；线框中的电流在ad 边产生的热量Q ＝I 2·16R ·
L
v ＝2L 3B 2v
3R
，故D 正确．
【答案】 ABD
8．以“测速仪”为背景考查法拉第电磁感应定律与电路知识的综合应用
某校科技小组的同学设计了一个传送带测速仪，测速原理如图所示．在传送带一端的下方固定有间距为L 、长度为d 的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B 、方向垂直传送带平面(纸面)向里、有理想边界的匀强磁场，且电极之间接有理想电压表和电阻R ，传送带背面固定有若干根间距为d 的平行细金属条，其电阻均为r ，传送带运行过程中始终仅有一根金属条处于磁场中，且金属条与电极接触良好．当传送带以一定的速度匀速运动时，电压表的示数为U .则下列说法中正确的是( )
A ．传送带匀速运动的速率为U BL
B ．电阻R 产生焦耳热的功率为U 2
R ＋r
C ．金属条经过磁场区域受到的安培力大小为BUd
R ＋r
D ．每根金属条经过磁场区域的全过程中克服安培力做功为BLUd
R
【解析】 根据E ＝BL v ，则电压表读数为U ＝ER
R ＋r ，解得v ＝U (R ＋r )BLR ，选项A 错误；
电阻R 产生焦耳热的功率为P R ＝U 2
R ，选项B 错误；金属条经过磁场区域受到的安培力大小
为F ＝BIL ＝BLU
R ，选项C 错误；每根金属条经过磁场区域的全过程中克服安培力做功为W
＝Fd ＝BLUd
R
，选项D 正确．
【答案】 D
9．电磁感应现象中的电路问题
如图所示，竖直光滑导轨上端接入一定值电阻R ，C 1和C 2是半径都为a 的两圆形磁场区域，其区域内的磁场方向都垂直于导轨平面向外，区域C 1中磁场的磁感应强度随时间按B 1＝b ＋kt (k ＞0)变化，C 2中磁场的磁感应强度恒为B 2，一质量为m 、电阻为r 、长度为L 的金属杆AB 穿过区域C 2的圆心垂直地跨放在两导轨上，且与导轨接触良好，并恰能保持静止．则( )
A ．通过金属杆的电流大小为mg
B 2L
B ．通过金属杆的电流方向为从B 到A
C ．定值电阻的阻值为R ＝2πkB 2a 3
mg －r
D ．整个电路的热功率P ＝πkamg
2B 2
【解析】 根据题述金属杆恰能保持静止，由平衡条件可得：mg ＝B 2I ·2a ，通过金属杆的电流大小为I ＝
mg
2aB 2
，选项A 错误；由楞次定律可知，通过金属杆的电流方向为从B 到A ，选项B 正确；根据区域C 1中磁场的磁感应强度随时间按B 1＝b ＋kt (k ＞0)变化，可知ΔB
Δt ＝k ，
C 1中磁场变化产生的感应电动势E ＝ΔB 1Δt πa 2
＝k πa 2，由闭合电路欧姆定律，E ＝I (r ＋R )，联
立解得定值电阻的阻值为R ＝2πkB 2a 3mg －r ，选项C 正确；整个电路的热功率P ＝EI ＝k πa 2·
mg
2aB 2
＝πkamg 2B 2
，选项D 正确．
【答案】 BCD
10．综合应用——考查电磁感应中的力电综合问题
如图所示，一个“U”形金属导轨靠绝缘的墙壁水平放置，导轨长L ＝1.4 m ，宽d ＝0.2 m ．一对长L 1＝0.4 m 的等宽金属导轨靠墙倾斜放置，与水平导轨成θ角平滑连接，θ角可在0～60°调节后固定．水平导轨的左端长L 2＝0.4 m 的平面区域内有匀强磁场，方向水平向左，磁感应强度大小B 0＝2 T ．水平导轨的右端长L 3＝0.5 m 的区域有竖直向下的匀强磁场B ，磁感应强度大小随时间以ΔB
Δt ＝1.0 T/s 均匀变大．一根质量m ＝0.04 kg 的金属杆MN 从斜轨
的最上端静止释放，金属杆与斜轨间的动摩擦因数μ1＝0.125，与水平导轨间的动摩擦因数μ2＝0.5.金属杆电阻R ＝0.08 Ω，导轨电阻不计．
(1)求金属杆MN 上的电流大小，并判断方向；
(2)金属杆MN 从斜轨滑下后停在水平导轨上，求θ角多大时金属杆所停位置与墙面的距离最大，并求此最大距离x m .
【解析】 (1)由电磁感应定律E ＝ΔΦΔt ＝ΔB
Δt dL 3
由欧姆定律得I ＝E
R
MN 棒上的电流大小I ＝1.25 A MN 棒上的电流方向：N →M .
(2)设导体棒滑出水平磁场后继续滑行x 后停下，由动能定理得
mgL 1 sin θ－μ1mgL 1cos θ－μ2(mg ＋B 0Id )(L 2－L 1cos θ)－μ2mgx ＝0代入数据得，0.16sin θ＋0.16cos θ－0.18＝0.2x
当θ＝45°时，x 最大 x ＝0.82－0.9＝0.23 m
x m ＝L 2＋x ＝(0.4＋0.23) m ＝0.63 m.
【答案】 (1)1.25 A N →M (2)45° 0.63 m
[综合提升练]
11．(2018·郑州一中高三上学期入学测试)如图所示，光滑的轻质定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为2 m 的重物，另一端系一质量为m 、电阻为R 的金属杆．在竖
直平面内有足够长的平行金属导轨PQ 、EF ，其间距为L .在Q 、F 之间连接有阻值为R 的电阻，其余电阻不计．一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B 0.开始时金属杆置于导轨下端QF 处，将重物由静止释放，当重物下降h 时恰好达到稳定速度而后匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦和接触电阻，重力加速度为g .
(1)求重物匀速下降时的速度v ；
(2)求重物从释放到下降h 的过程中，电阻R 中产生的热量Q R ；
(3)设重物下降h 时的时刻t ＝0，此时速度为v 0，若从t ＝0开始，磁场的磁感应强度B 逐渐减小，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出B 随时间t 变化的关系．
【解析】 (1)重物匀速下降时，金属杆匀速上升，金属杆受力平衡．设细线对金属杆的拉力为T ，金属杆所受安培力为F
由平衡条件得T ＝mg ＋F 由安培力公式得F ＝B 0IL 根据闭合电路欧姆定律I ＝E
R ＋R
根据法拉第电磁感应定律E ＝B 0L v 对重物由平衡条件得T ＝2mg 综合上述各式，解得v ＝2mgR
B 20L
2.
(2)设电路中产生的总热量为Q ，由能量守恒定律得 2mgh －mgh ＝12(2m )v 2＋1
2
m v 2＋Q
由串联电路特点知，电阻R 中产生的热量为Q R ＝1
2Q
则Q R ＝12mgh －3m 3g 2R 2
B 40L
4.
(3)金属杆中恰好不产生感应电流时，磁通量不变，则有Φ0＝Φ1 即B 0hL ＝B (h ＋x )L 式中x ＝v 0t ＋1
2
at 2
对系统，由牛顿第二定律有a ＝2mg －mg 2m ＋m ＝g
3
则磁感应强度B 随时间t 变化的关系为B ＝B 0h h ＋v 0t ＋g 6t
2＝6B 0h
6h ＋6v 0t ＋gt 2
.
【答案】 (1)2mgR B 20L 2 (2)12mgh －3m 3g 2R 2B 40L 4 (3)6B 0h
6h ＋6v 0t ＋gt 2
12．(2018·江苏盐城市射阳二中高三上学期期中)如图甲所示，足够长的粗糙斜面与水平面成θ＝37°固定放置，斜面上平行虚线aa ′和bb ′之间有垂直斜面向上的有界匀强磁场，间距为d ＝1 m ，磁感应强度B 随时间t 变化规律如图乙所示．现有一质量为m ＝0.1 kg ，总电阻为R ＝10 Ω，边长也为d ＝1 m 的正方形金属线圈MNPQ ，其初始位置有一半面积位于磁场中，在t ＝0时刻，线圈恰好能保持静止，此后在t ＝0.25 s 时，线圈开始沿斜面下滑，下滑过程中线圈MN 边始终与虚线aa ′保持平行．已知线圈完全进入磁场前已经开始做匀速直线运动．求：(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)
(1)前0.25 s 内通过线圈某一截面的电量； (2)线圈与斜面间的动摩擦因数；
(3)线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中，电阻上产生的焦耳热．
【解析】 (1)0.25 s 内，根据法拉第电磁感应定律，有 E ＝ΔB Δt ·d 22＝2－10.25×1
2 V ＝2 V
感应电流I ＝E R ＝2
10 A ＝0.2 A
0．25 s 内通过线圈某一截面的电量 q ＝I ·Δt ＝0.2×0.25 C ＝0.05 C.
(2)根据楞次定律，线圈内感应电流为顺时针方向 0．25 s 时，线圈开始沿斜面下滑 mg sin 37°＝μmg cos 37°＋BId 代入数据：0.6＝μ×0.8＋2×0.2×1 解得：μ＝0.25.
(3)设线圈最后匀速运动时的速度为v ，感应电动势 E ＝Bd v ① 感应电流I ＝E R
②
安培力F 安＝BId ③ 联立①②③得F 安＝B 2d 2v
R
匀速运动时，对线圈根据平衡条件得 mg sin 37°＝μmg cos 37°＋B 2d 2v
R
代入数据：0.6＝0.2＋22×12v
10
解得v ＝1 m/s
根据能量守恒定律，有mg sin 37°(d ＋d 2)＝12m v 2＋μmg cos 37°(d ＋d
2)＋Q
代入数据：0.6×32＝12×0.1×12＋0.2×3
2＋Q
解得：Q ＝0.55 J.
【答案】 (1)0.05 C (2)0.25 (3)0.55 J。